Vollständig positiver Operator

Vollständig positive Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um positive, lineare Operatoren zwischen C*-Algebren, bei denen die Fortsetzungen auf die Matrixalgebren ebenfalls positiv sind.

Definitionen

Eine stetige, lineare Abbildung $P:A\rightarrow B$ zwischen zwei C*-Algebren $A$ und $B$ heißt positiv, falls $P$ positive Elemente auf positive Elemente abbildet, das heißt, falls $P(a^{*}a)$ für jedes $a\in A$ die Form $b^{*}b$ für ein $b\in B$ hat.

Für $n\in \mathbb {N}$ sei $M_{n}(A)$ die C*-Algebra der $n\times n$-Matrizen über $A$. Diese ist isomorph zum Tensorprodukt aus $A$ und der C*-Algebra $M_{n}(\mathbb {C} )$ der komplexen $n\times n$-Matrizen. Die Abbildung $P:A\rightarrow B$ definiert Abbildungen

$P_{n}=P\otimes \mathrm {id} _{M_{n}(\mathbb {C} )}\,:M_{n}(A)\rightarrow M_{n}(B),\quad P_{n}((a_{i,j})_{i,j=1,\ldots n}):=(P(a_{i,j}))_{i,j=1,\ldots n}$.

$P$ heißt $n$-positiv, falls $P_{n}$ positiv ist. $P$ heißt vollständig positiv, falls $P$ $n$-positiv ist für alle $n\in \mathbb {N}$.

Beispiele

Jeder positive, lineare Operator auf einer kommutativen C*-Algebra ist vollständig positiv.

Jeder Zustand auf einer C*-Algebra ist vollständig positiv. Allgemeiner ist jeder positive Operator von einer C*-Algebra in eine kommutative C*-Algebra vollständig positiv.

Alle *-Homomorphismen sind vollständig positiv. Ist allgemeiner $\pi :A\rightarrow B$ ein *-Homomorphismus und $b\in B$, so definiert $P(a):=b^{*}\pi (a)b$ einen vollständig positiven Operator. Nach dem Satz von Stinespring gilt für vollständig positive Operatoren mit Norm kleiner gleich 1 die Umkehrung.

Die Transposition $P$ auf der C*-Algebra $M_{2}(\mathbb {C} )$ ist ein positiver Operator, der nicht vollständig positiv ist. Beispielsweise ist

${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}}\in M_{4}(\mathbb {C} )=M_{2}(M_{2}(\mathbb {C} ))$

ein positives Element, aber

$P_{2}{\big (}{\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}}{\big )}={\begin{pmatrix}P({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})&P({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}})\\P({\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}})&P({\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

ist nicht positiv, denn die Determinante ist gleich −1. Daher ist $P$ nicht 2-positiv.

Eigenschaften und Anwendungen

Kadison-Schwarz-Ungleichung

Es sei $P:A\rightarrow B$ eine 2-positive, lineare Abbildung zwischen C*-Algebren mit Einselement und es sei $P(1)=1$. Dann gilt die schwarzsche Ungleichung

$P(a)^{*}P(a)\leq P(a^{*}a)$ für alle $a\in A$.

Allgemeiner gilt für eine vollständig positive Abbildung

$P(a)^{*}P(a)\leq \|P\|P(a^{*}a)$ für alle $a\in A$,

was auch als Kadison-Schwarz-Ungleichung bekannt ist. Ist $P$ nur positiv, so gilt obige Ungleichung nur für normale Elemente.

Nukleare C*-Algebren

Nukleare C*-Algebren lassen sich wie folgt mittels vollständig positiver Operatoren charakterisieren: Eine C*-Algebra $A$ ist genau dann nuklear, wenn die Identität $\mathrm {id} _{A}$ punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz $(P_{i})_{i\in I}$ vollständig positiver Operatoren mit $\mathrm {dim} P_{i}(A)<\infty$ und $\|P_{i}\|\leq 1$ für alle $i\in I$ und $\textstyle \lim _{i\in I}\|P_{i}(a)-a\|=0$ für alle $a\in A$.

Liftungssatz von Choi-Effros

Es gilt folgende auch als Liftungssatz von Choi-Effros bekannte Aussage: Sei $A$ eine nukleare C*-Algebra und $P:A\rightarrow B/J$ ein vollständig positiver Operator mit $\|P\|\leq 1$ in die Quotientenalgebra der C*-Algebra $B$ nach dem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal $J$. Dann gibt es einen vollständig positiven Operator $Q:A\rightarrow B$ mit $\|Q\|\leq 1$ und $P=\pi \circ Q$, wobei $\pi :B\rightarrow B/J$ die Quotientenabbildung sei.