Netz (Topologie)

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Ein Netz oder eine Moore-Smith-Folge stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar. Der Begriff geht auf Eliakim H. Moore und Herman L. Smith zurück, die ihn 1922 einführten.[1] Mit Cauchynetzen lässt sich der Begriff der Vollständigkeit metrischer Räume auf uniforme Räume verallgemeinern. Darüber hinaus kann man sie in der Integralrechnung zur Beschreibung der Riemann-Integrierbarkeit verwenden.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es soll vorab kurz erläutert werden, warum eine Verallgemeinerung von Folgen nötig ist. In einem metrischen Raum lässt sich die Topologie vollständig mittels Folgenkonvergenz charakterisieren: Eine Teilmenge ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede Folge in mit gilt: . Auch Eigenschaften wie Stetigkeit von Funktionen und Kompaktheit lassen sich über Folgen definieren (z. B. sind in metrischen Räumen Überdeckungskompaktheit und Folgenkompaktheit äquivalent).

In topologischen Räumen ist eine Teilmenge hingegen nicht mehr notwendigerweise abgeschlossen, wenn jede Folge einen Grenzwert in besitzt (z. B. mit der Ordnungstopologie).

Hier stellen Netze eine sinnvollere Verallgemeinerung dar: Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann abgeschlossen, wenn jedes Netz in , das in konvergiert, einen Grenzwert in besitzt. Auch Stetigkeit kann wie in metrischen Räumen definiert werden, wenn man „Folge“ durch „Netz“ ersetzt (siehe weiter unten; man beachte, dass es für Stetigkeit in topologischen Räumen keine äquivalente Definition mittels Folgen gibt).

Auch ist eine Menge kompakt genau dann, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz besitzt.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine gerichtete Menge und eine Menge ist ein Netz eine Abbildung . Meist schreibt man analog zu Folgen . Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

Teilnetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

und seien gerichtete Mengen, ein Netz in und eine Abbildung, die der folgenden Bedingung genügt:

(Eine solche Abbildung heißt konfinal). Dann nennt man das Netz ein Teilnetz des Netzes .

Konvergentes Netz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein topologischer Raum, so definiert man wie bei Folgen: Ein Netz heißt konvergent gegen , wenn gilt:

,

wobei den Umgebungsfilter von bezeichne. Man schreibt dann oder . Die formale Definition lässt sich so umschreiben: Für jede Umgebung von gibt es einen Anfangsindex in der gerichteten Menge , so dass Glieder des Netzes mit Index nach in der vorgelegten Umgebung enthalten sind.

Der Konvergenzbegriff lässt sich auf die Konvergenz eines Filters zurückführen: Hierzu definiert man den Abschnittsfilter als den von der Filterbasis

erzeugten Filter. Das Netz konvergiert genau dann gegen einen Punkt , wenn der zugehörige Abschnittsfilter gegen konvergiert, d. h. den Umgebungsfilter von enthält.

Häufungspunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Punkt heißt genau dann Häufungspunkt eines Netzes, wenn gilt:

,

d. h. jede Umgebung von wird an beliebig großen Positionen im Filter erreicht. Wiederum ist eine Charakterisierung über den Abschnittsfilter möglich: ist genau dann Häufungspunkt eines Netzes, wenn es Berührpunkt des Abschnittsfilters ist, d. h. wenn der Schnitt jeder Umgebung mit jedem Element des Filters nicht leer ist.

Eine weitere Charakterisierung ist über Teilnetze möglich: ist genau dann Häufungspunkt eines Netzen, wenn ein Teilnetz existiert, das gegen konvergiert.

Cauchynetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein uniformer Raum, so definiert man: Ein Netz auf heißt Cauchynetz, wenn zu jeder Nachbarschaft ein Index existiert, so dass alle Paare von Gliedern des Netzes mit späteren Indizes von der Ordnung benachbart sind, d. h. dass gilt. Die formalisierte Definition lautet

Vollständigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein uniformer Raum ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchynetz auf konvergent ist.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der abgeschlossenen Hülle

Ist eine Teilmenge des topologischen Raumes , dann ist genau dann ein Berührpunkt von (d. h. in der abgeschlossenen Hülle von enthalten), wenn es ein Netz mit Gliedern gibt, das gegen konvergiert.

Lokale Definition der Stetigkeit
  • Seien und topologische Räume. Eine Abbildung ist stetig im Punkt genau dann, wenn für jedes Netz in gilt: Aus folgt .
Riemann-Integral

Die Menge der Zerlegungen des reellen Intervalls , , wird durch die Inklusion zu einer gerichteten Menge:  : enthält alle Punkte von . Für eine reellwertige beschränkte Funktion auf werden durch die Obersumme

und die Untersumme

zwei Netze definiert. Die Funktion ist genau dann Riemann-integrierbar auf , wenn beide Netze gegen die gleiche reelle Zahl konvergieren. In dem Fall ist .

Statt der Ober- und Untersummen lassen sich auch Riemann-Summen verwenden, um die Riemann-Integrierbarkeit zu charakterisieren. Hierfür wird eine kompliziertere gerichtete Menge benötigt. Ein Element dieser Menge besteht also immer aus einer Zerlegung wie oben und einem zu der Zerlegung gehörenden Zwischenvektor von Zwischenstellen. Die Ordnung auf wird nun so definiert, dass ein Element echt kleiner als ist, wenn eine echte Teilmenge von ist.

Eine Funktion ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn das Netz

konvergiert. Der Grenzwert ist dann das Riemann-Integral.

Dieser Zugang ist zwar komplizierter als der mit Ober- und Untersummen, dafür funktioniert er auch bei vektorwertigen Funktionen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. E. H. Moore, H. L. Smith: A General Theory of Limits. In: American Journal of Mathematics. 44, Nr. 2, 1922, S. 102–121. doi:10.2307/2370388.