Räumliches Tensorprodukt

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Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.[1]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Norm , so dass

  • ist eine normierte Algebra
  • für alle

Ist eine solche C*-Norm, so ist die mit bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren und definieren lässt, so spricht man von einem -Tensorprodukt.[2]

Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt für alle .[3]

In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume und und isometrische *-Homomorphismen und , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt und betrachtet ein Element des algebraischen Tensorproduktes als Operator auf , der durch

definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung der Operatornorm von auf eine C*-Norm ist.

Unabhängigkeit von den Hilberträumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind und Zustände auf bzw. , so gibt es genau einen mit bezeichneten Zustand auf mit für alle und , den sogenannten Produktzustand aus und . Für ein Element des algebraischen Tensorproduktes gilt nun

wobei das Supremum über alle Zustände von , von und mit gebildet wird [4]. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.

Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird an Stelle von geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind und *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit bezeichneten *-Homomorphismus , so dass für alle . Sind beide und isometrisch oder *-Isomophismen, so hat dieselbe Eigenschaft.[5]
  • Ist eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt , so ist [6][7]. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien eine C*-Algebra und ein kompakter Hausdorffraum. sei die Menge aller stetigen Funktionen . Für , und definiere:

.

Damit wird zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus .[8]

Seien die C*-Algebra der komplexen -Matrizen und eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum operiere. Weiter sei die Algebra der -Matrizen mit Einträgen aus ; diese operiert in üblicher Weise auf , das heißt

Dadurch trägt die Norm von und man zeigt, dass , wobei auf abgebildet wird.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, §11.3
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.3
  4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1
  5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.3
  6. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.4.18
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.3.9
  8. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Beispiel 11.1.7

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9
  • R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1