Kugelwellentransformation

Kugelwellentransformationen (Englisch: Spherical wave transformations) lassen die Form von Kugelwellen, als auch die Gesetze von Optik und Elektrodynamik in allen Inertialsystemen invariant. Sie entsprechen der bereits im 19. Jahrhundert bekannten Gruppe der „Transformationen durch reziproke Radien“ oder der Gruppe der konforme Transformation der Kugelgeometrie von Sophus Lie. Sie wurde 1909 von Harry Bateman und Ebenezer Cunningham erstmals benutzt, und erhielten von Bateman ihren Namen. Da in Kugelwellentransformationen die Zeit als vierte Dimension im Sinne des Minkowski-Raumes benutzt wird, haben sie eine gewisse Analogie zu den Lorentz-Transformationen der speziellen Relativitätstheorie. Dabei zeigt sich, dass die konforme Gruppe die Lorentz-Gruppe und Poincaré-Gruppe als Untergruppen enthält, wobei letztere eine Symmetrie aller Naturgesetze einschließlich der Mechanik repräsentieren, während die konforme Gruppe nur gültig ist für bestimmte Bereiche wie die Elektrodynamik.

Ein Spezialfall der Lieschen Kugelgeometrie ist die ebenfalls im 19. Jahrhundert bereits bekannte „Transformation durch reziproke Richtungen“, welche erzeugende Operatoren der „Laguerre-Gruppe“ sind. Sie bildet nicht nur Kugeln in Kugeln sondern auch Ebenen in Ebenen ab. Wird hier die Zeit als vierte Dimension benutzt, ergibt sich eine vollständige Analogie zur Lorentz-Gruppe.

Transformation durch reziproke Radien

Entwicklung im 19. Jahrhundert

William Thomson (1845-1847) benutzte Abbildungen, welche als „Transformationen durch reziproke Radien“ bezeichnet werden und konnte damit Probleme der Elektrostatik mittels Inversion lösen. Joseph Liouville (1847, 1850) verdeutlichte ihre mathematisches Bedeutung indem er zeigte, dass sie zu den konforme Transformationen gehört. Sie erzeugt folgende quadratische Form:

$\delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)$.

Er selbst und in viel allgemeinerer Weise Sophus Lie (1871) stellten fest, dass die dazugehörigen Transformationsgruppe je nach Wahl von $\lambda$ in verschiedene Typen unterteilt werden kann: $\lambda =1$ die Euklidische Gruppe der gewöhnlichen Bewegungen; $\lambda \neq 1$ Ähnlichkeitsabbildungen; und bei $\lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}$, mit $k$ als Inversionsradius, ergeben sich die Transformationen durch reziproke Radien:

$x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Eine wesentliche Eigenschaft der konformen Transformationen ist, dass sie Winkel erhalten und Sphären in Sphären transformieren (siehe Konforme Gruppe, Möbiustransformation). Lie (1871) erweiterte darüber hinaus die Gruppe im Rahmen der sogenannten „Lieschen Kugelgeometrie“ auf $n$ Dimensionen, sodass.

$\delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)$.

Darboux (1887) schrieb sie in einer Form, wo bei Angabe des Radius einer Kugel mit bestimmtem Vorzeichen der Radius der anderen Kugel bestimmt werden konnte:

${\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}$

Eine weitere Berechnungsmethode von Kugelproblemen bildet die sogenannte isotrope Projektion. Bateman verwies dabei besonders auf Darboux (1872) (analog dazu siehe auch die Beschreibung von Klein (1894)): Es seien sowohl die Mittelpunktskoordinaten als auch der Radius zweier Kugeln $x,y,z,r$ und $x',y',z',r'$ im dreidimensionalen Raum $S_{3}$ gegeben. Wenn sich die Kugeln gleichsinnig berühren, ist ihre Gleichung gegeben mit

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(r-r')^{2}=0$.

Wird $t=ir$ gesetzt wird, entsprechen sie den folgenden rechwinkligen Koordinaten in einem vierdimensionalen Raum $S_{4}$:

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(t-t')^{2}=0$.

Bezug zur Lorentz-Transformation

Harry Bateman und Ebenezer Cunningham (1909) zeigten, dass die elektromagnetischen Gleichungen nicht nur lorentzinvariant, sondern auch skaleninvariant im obigen Sinne konform invariant sind.. Durch Einführung der Variable $u=ict$ gemäß dem Minkowski-Raum ergibt sich:

$\delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)$.

Dieser Ausdruck ist invariant unter der 15-dimensionaler Gruppe von konformen Transformationen $G_{15}$ der Lieschen Kugelgeometrie, also Transformationen durch reziproke Radien die Bateman aufgrund der Invarianz von Kugelwellen als „Kugelwellentransformation“ bezeichnete:

${\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u^{\prime }&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}}.\end{aligned}}$

Bateman bezog sich dabei auf Darbouxs Methode der isotropen Projektion und schrieb:

„When we use Darboux's representation of a point in $S_{4}$ by a spherical wave in $S_{3}$, the group $G_{15}$ becomes the group of spherical wave transformations which transform a spherical wave into a spherical wave. This group of transformations has been discussed by S. Lie; it is the group of transformations which transform lines of curvature on a surface enveloped by spherical waves into lines of curvature on the surface enveloped by the corresponding spherical waves.“

Analog zur vorherigen Unterleitung durch Liouville und Lie konnte Cunningham zeigen, dass diese Gruppe je nach Wahl von $\lambda$ weiter unterteilt werden kann:

(a) $\lambda =1$ enthält die Lorentz-Transformation, denn sie ist die Erweiterung der Euklidischen Gruppe der klassischen Mechanik zur 6-dimensionalen Lorentz-Gruppe oder 10-dimensionalen Poincaré-Gruppe $G_{10}$ mit Translationen.

(b) $\lambda \neq 1$ sind Skalen- oder Ähnlichkeitstransformationen. Sie entsprechen der Multiplikation der Lorentz-Transformation mit einem von $\lambda$ abhängigen Skalenfaktor. Mit $l={\sqrt {\lambda }}$ ergibt sich beispielsweise die von Poincaré (1905) gegebene Gestalt:

$x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)$.

Wird $l$ jedoch definitiv gesetzt, ist die Gruppeneigenschaft nur noch bei $l=1$ (die Lorentz-Gruppe) gegeben, wie von Poincaré und Einstein gezeigt wurde. Nur diese ist verträglich mit dem Relativitätsprinzip für alle Naturgesetze, während die Gruppe der konformen und Ähnlichkeitstransformationen mit verschiedenem $l$ nur einzelne Gebiete wie Optik und Elektrodynamik symmetrisch abbildet.

(c) Bei $\lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}$ ergibt sich schließlich die allgemeinste Variante, nämlich obige Kugelwellentransformation durch Inversionen (analog zu den Transformationen durch reziproke Radien in der Lieschen Kugelgeometrie).

Bateman und Cunningham diskutierten auch die Möglichkeit, dass konforme Transformationen den Übergang in konstant beschleunigte Bezugssysteme ermöglichen, was von ihnen und auch von späteren Autoren allerdings bezweifelt wurde. Felix Klein (1910) verwies auf den engen Zusammenhang der Methoden Batemans und Cunninghams und den Methoden der projektiven Geometrie, jedoch bemerkte er wie auch Einstein, dass die konforme Gruppe im Vergleich zur Lorentz-Gruppe nur eingeschränkt gültig ist:

„Für die Physik hat diese $G_{15}$ allerdings nicht dieselbe Bedeutung wie ihre Untergruppe, die $G_{10}$ der Lorentzgruppe. Es liegt dies daran, daß nur letztere eine Verallgemeinerung der $G_{10}$ der klassischen Mechanik ist (in die sie übergeht, wenn man die Lichtgeschwindigkeit unendlich setzt), eine allgemeine Physik aber ebensowohl die Mechanik wie die Elektrodynamik umfassen muß. Einstein drückte dieses Sachverhältnis mir gegenüber gelegentlich so aus: Die Transformation durch reziproke Radien wahrt zwar die Form der Maxwellschen Gleichungen, nicht aber den Zusammenhang zwischen Koordinaten und Maßergebnissen von Maßstäben und Uhren.“

Das Konzept der konformen Abbildung hat in Spezialgebieten der modernen Physik wieder an Bedeutung gewonnen, besonders in konforme Feldtheorien wie einigen Quantenfeldtheorien.

Transformation durch reziproke Richtungen

Entwicklung im 19. Jahrhundert

Oben wurden im Zusammenhang mit Konformenen Transformationen bereits Koordinaten zusammen mit Radien von bestimmtem Vorzeichen benutzt, wodurch Kreise und Kugeln eine bestimmte Orientierung bekamen. Es ergab sich nun ein spezielle Transformation bzw. Geometrie innerhalb der Lieschen Kugelgeometrie, welche hauptsächlich von Edmond Laguerre (1880) formuliert und von ihm als „Transformation durch reziproke Richtungen“ bezeichnet wurde. Anschließend legte er zwischen 1800 und 1885 die Grundlagen einer Geometrie orientierte Kugeln und Flächen. (Laut Darboux und Bateman wurde ähnliche Zusammenhänge schon von Albert Ribaucour (1870) diskutiert.) Linien, Kreise, Flächen oder Kugeln die in einem bestimmten Sinne zu durchlaufen sind, werden als Halbgerade (Direktion), Halbkreis (Zyklus), Halbfläche, Halbkugel usw. bezeichnet. Als Tangente wird die Halbgerade bezeichnet die einen Zyklus an einem Punkt schneidet, sofern beide Elemente an diesem Berührungspunkt die gleicher Richtung haben. Die Transformation durch reziproke Richtungen bildet nun orientierte Kugeln unter sich als auch orientierte Ebenen unter sich ab, und lässt den „Tangentenabstand“ zweier Zyklen (der Abstand zwischen den Berührungspunkten je einer ihrer gemeinsamen Tangenten) invariant.

Jean Gaston Darboux analysierte 1887 diese Transformation und konnte folgenden Zusammenhang zeigen, wenn $R$ der Radius und $x,y,z$ das jeweilige Sphärenzentrum ist, und $k$ eine Funktion der Koordinaten:

${\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R.\end{aligned}}$,

wodurch er die Beziehung erhielt:

$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}$.

Die Transformation durch reziproke Richtungen wurde häufig als Laguerre-Transformation bezeichnet, wurde von Stephanos (1883) mittels Quaternionen dargestellt, und wurde beispielsweise von Müller (1898) und Smith (1900) näher untersucht. Dabei ergab sich, dass sie ein erzeugender Operator einer eigenen Gruppe ist (Laguerre-Gruppe).

Bezug zur Lorentz-Transformation

Bateman (1910, 1912) verwies darauf, dass die Transformation durch reziproke Radien in der von Darboux (1887) gegebenen Gestalt formal bereits einer Lorentz-Transformation in $z$-Richtung entspricht, sofern $R=ct$, $R'=ct'$, und die $k$-Terme durch Geschwindigkeiten ersetzt werden, und entwarf geometrische Darstellungen der relativistischen Lichtsphären anhand solcher Kugelsysteme Auch Timerding (1911) leiteten die Lorentz-Transformation in Analogie zu Laguerres Kugelgeometrie ab.

Im Zuge der Weiterentwicklung der Laguerre-Geometrie wurde festgestellt, dass die Laguerre-Gruppe tatsächlich isomorph zur Lorentz-Gruppe ist, siehe beispielsweise Coolidge (1916), Klein (1926), Blaschke (1929), Heinz Kunle und Fladt (1970), Benz Es stellte sich auch heraus, dass es eine noch größere Gruppe von Transformationen gibt, welche die Tangentialabstände invariant lässt, die „äquilonge“ Gruppe.

Siehe auch

• Geschichte der Lorentz-Transformation