Konforme Abbildung

Dieser Artikel beschreibt winkeltreue Abbildungen; für die konforme Abbildung in der Funktionentheorie siehe Biholomorphe Abbildung.

Abb.1: Ein rechtwinkliges Netz (oben) und sein Bild (unten) nach einer konformen Abbildung $f$ . Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich immer noch unter 90° schneiden.

Eine konforme Abbildung ist eine winkeltreue Abbildung, bei der also Winkel unverändert bleiben.

Die konformen Abbildungen des Minkowski-Raums auf sich selbst umfassen die Lorentz-Transformationen und Translationen, die die Metrik unverändert lassen, die Dilatationen, die die Metrik um eine glatte Funktion skalieren, sowie die speziellen konformen Transformationen, zu denen die Inversion an einer Kugeloberfläche gehört.

Wie die Lorentz-Transformationen und die Poincaré-Transformationen bilden auch die konformen Transformationen eine Lie-Gruppe, die konforme Gruppe.

Falls $U$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene $\mathbb C$ ist, dann ist die Funktion

$f \colon U \rightarrow \mathbb{C}$

konform genau dann, wenn sie holomorph oder anti-holomorph ist und ihre Ableitung ungleich null auf ganz $U$ ist. Die konformen Abbildungen bilden also die geometrische Veranschaulichung der komplex differenzierbaren (analytischen oder holomorphen) Funktionen einer komplexen Variablen (vgl. die Veranschaulichung reeller Funktionen durch ebene Kurven).

Inhaltsverzeichnis

1 Physikalische Anwendungen
- 1.1 Invarianz unter konformen Abbildungen
2 Konforme Abbildungen auf (semi-)riemannschen Mannigfaltigkeiten
3 Weblinks

Physikalische Anwendungen [Bearbeiten]

Abb. 2: Tragflügel und Kreis

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt, dass komplizierte Kurven auf einfachere abgebildet werden können. Das abgebildete Beispiel einer konformen Abbildung ist die Joukowski-Funktion (auch Schukowski-Funktion geschrieben). Bei dieser Abbildung wird das Joukowski-Profil auf einen Kreis abgebildet. Die Geschwindigkeit, mit der etwa Luftteilchen das (zweidimensionale) Tragflügel-Profil umströmen, wird einfacher berechenbar, wenn es um die Umströmung eines Kreiszylinders geht. Damit wird plausibel, dass die konformen Abbildungen in folgenden Gebieten eine wichtige Bedeutung haben, solange man Phänomene in der zweidimensionalen Ebene untersucht:

Strömungslehre (Aerodynamik, Hydrodynamik)
Elektrostatik (vgl. das elektrostatische Feld in Analogie zu Strömungsfeldern)
Wärmeleitung.

Invarianz unter konformen Abbildungen [Bearbeiten]

Im Falle des $d$ -dimensionalen Minkowski-Raumes gilt: Die Zusammenhangskomponente der 1 von der Gruppe der orientierungstreuen konformen Transformationen ist isomorph zur Gruppe $SO(d,2)$ , wenn $d > 2$ . Für $d=2$ ist diese Gruppe unendlichdimensional. Sie ist isomorph zu $\mathrm{Diff}_+(\mathbb R)\times \mathrm{Diff}_+(\mathbb R)$ , wobei $\mathrm{Diff}_+(\mathbb R)$ die unendlichdimensionale Gruppe der orientierungstreuen Diffeomorphismen von $\mathbb R$ auf sich bezeichnet.

Im Falle des $d$ -dimensionalen euklidischen Raumes ist die entsprechende Gruppe isomorph zu $SO(d+1,1)$ , $d \geq 2$ . Im Falle $d=2$ ist sie daher auch isomorph zur Gruppe der Möbiustransformationen.

Physikalische Systeme, die unveränderlich unter konformen Abbildungen sind, haben eine große Bedeutung in der Festkörperphysik und der Stringtheorie, wie auch in der Konformen Feldtheorie.

Konforme Abbildungen auf (semi-)riemannschen Mannigfaltigkeiten [Bearbeiten]

Seien $(M,g)$ und $(N,h)$ zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten bzw. semi-riemannsche Mannigfaltigkeiten. $g$ und $h$ bezeichnen die metrischen Tensoren. Zwei Metriken $g$ und $h$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ heißen in der riemannschen Geometrie konform äquivalent, falls $g= uh$ mit einer auf $M$ definierten positiven Funktion $u$ , die konformer Faktor genannt wird. Die Klasse konform äquivalenter Metriken auf $M$ heißt konforme Struktur.

Ein Diffeomorphismus $f:M\rightarrow N$ heißt konform, falls $h_{f(x)}(df_{x}(v),df_{x}(w))=e^{\sigma(x)}\cdot g_{x}(v,w)$ für alle Punkte $x\in M$ und Vektoren des Tangentialraumes $v,w\in T_{x}M$ . Man drückt das auch so aus, dass die Pullback-Metrik auf $M$ konform äquivalent zur Metrik von $M$ ist. Die Potenz $e^{\sigma(x)}$ soll andeuten, dass der Faktor stets größer als 0 ist, dass es sich also um einen konformen Faktor handelt. Ein Beispiel einer konformen Abbildung ist die stereographische Projektion der Kugeloberfläche auf die projektive Ebene (Ebene ergänzt durch den Punkt im Unendlichen).