Gruppenisomorphismus

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Ein Gruppenisomorphismus ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird. Analog zu anderen Definitionen von Isomorphismen wird der Gruppenisomorphismus als ein bijektiver Gruppenhomomorphismus definiert. Ein Gruppenisomorphismus, der eine Gruppe auf sich selbst abbildet, ist ein Gruppenautomorphismus.

Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesätzen.

Definition[Bearbeiten]

Seien \left(G,\circ\right) und \left(H,\star\right) zwei Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus f \colon G\to H heißt Gruppenisomorphismus, falls f eine inverse Abbildung besitzt, das heißt, falls es einen Gruppenhomomorphismus g \colon H \to G mit f \circ g = \operatorname{id}_H und g \circ f = \operatorname{id}_G gibt. Äquivalent hierzu ist die Forderung, dass der Gruppenhomomorphismus f bijektiv ist.[1]

Bildet der Gruppenisomorphismus von \left(G,\circ\right) nach \left(G,\circ\right) ab, sind als Definitionsbereich und Bildmenge gleich, so nennt man den Gruppenisomorphismus auch Gruppenautomorphimus.[2]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Kern\left(f\right)=\left\{e_G\right\}
  • Sein Bild ist die ganze Gruppe, d.h.:
Bild\left(f\right)=H
  • Zu jedem Gruppenisomorphismus f\colon G\to H existiert eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion f^{-1}\colon H\to G.

Isomorphie von Gruppen[Bearbeiten]

Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.

Beispiele[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 13.
  2. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 14.