Außenwinkel

Innenwinkel (blau) und Außenwinkel (grün) eines Dreiecks

Die Außenwinkel eines konvexen Polygons sind die außen anliegenden Winkel zwischen einer Seite und der Verlängerung der anderen Seite einer Ecke des Polygons. Jeder Außenwinkel ist der Nebenwinkel eines Innenwinkels und ergänzt diesen zu 180°. Die Summe der Außenwinkel eines Polygons ist unabhängig von der Anzahl seiner Ecken und ergibt stets 360°.

Nach dem Außenwinkelsatz ist in einem Dreieck jeder Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel. Die Winkelhalbierenden der Außenwinkel verschiedener Ecken eines Dreiecks schneiden sich in den Ankreismittelpunkten.

Bezeichnungen

Bezeichnungen von Innen- und Außenwinkeln am Viereck ABCD

Werden die Seiten eines konvexen Polygons über die Ecken hinaus verlängert, entstehen vier Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Derjenige Winkel, der im Inneren des Polygons liegt, heißt Innenwinkel des Polygons. Werden die Ecken des Polygons mit $A,B,C,\ldots$ bezeichnet, so werden die Innenwinkel meist $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ genannt. An jeder Ecke des Polygons findet sich ein dem Innenwinkel gegenüber liegender Scheitelwinkel, der gleich groß wie dieser ist und ebenso bezeichnet wird. Die beiden verbleibenden Winkel sind ebenfalls Scheitelwinkel und daher auch gleich groß. Sie werden Außenwinkel des Polygons genannt und üblicherweise mit

$\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$

bezeichnet (siehe Abbildung). Sowohl Innenwinkel als auch Außenwinkel eines Polygons sind eindeutig den Ecken des Polygons zugeordnet. Jeder Außenwinkel ist dabei der Nebenwinkel seines zugehörigen Innenwinkels, das heißt es gilt

$\alpha +\alpha '=\beta +\beta '=\gamma +\gamma '=\ldots =180^{\circ }$.

Den einem Außenwinkel zugehörigen Innenwinkel nennt man anliegenden Innenwinkel, während die übrigen Innenwinkel des Polygons nichtanliegende Innenwinkel genannt werden. Entsprechend wird jeder der beiden Außenwinkel, die einem Innenwinkel zugeordnet sind, als anliegender Außenwinkel bezeichnet und die übrigen Außenwinkel des Polygons als nichtanliegende Außenwinkel.

Eigenschaften

Illustration des Außenwinkelsatzes

Dreieck mit Außenwinkel­halbierenden (grün), Innenwinkel­halbierenden (rot), Inkreis (blau) und Ankreisen (orange)

Außenwinkelsätze

→ Hauptartikel: Außenwinkelsatz

Der Außenwinkelsatz der euklidischen Geometrie besagt, dass der Außenwinkel eines Dreiecks stets gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel ist. Es gilt demnach

$\alpha '=\beta +\gamma ,~\beta '=\alpha +\gamma ~{\text{und}}~\gamma '=\alpha +\beta$

(siehe die Abbildung für die dritte Gleichung). Der schwache Außenwinkelsatz besagt, dass der Außenwinkel eines Dreiecks stets strikt größer als jeder der beiden nichtanliegenden Innenwinkel ist, also

$\alpha '>\beta ,~\alpha '>\gamma ,~\beta '>\alpha ,~\beta '>\gamma ,~\gamma '>\alpha ~{\text{und}}~\gamma '>\beta$.

Aus dem schwachen Außenwinkelsatz folgt auch, dass jeder Innenwinkel stets strikt kleiner als jeder der beiden nichtanliegenden Außenwinkel ist.

Außenwinkelsumme

Die Innenwinkelsumme beträgt in einem konvexen Polygon mit $n$ Ecken

$\alpha +\beta +\gamma +\ldots =(n-2)\cdot 180^{\circ }$.

Da anliegende Innen- und Außenwinkel sich jeweils zu 180° ergänzen, ergibt sich damit für die Außenwinkelsumme eines konvexen Polygons mit $n$ Ecken

$\alpha '+\beta '+\gamma '+\ldots =(180^{\circ }-\alpha )+(180^{\circ }-\beta )+(180^{\circ }-\gamma )+\ldots =n\cdot 180^{\circ }-(n-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$.

Die Summe der Außenwinkel eines konvexen Polygons beträgt demnach unabhängig von der Anzahl der Ecken stets 360°. Hierbei werden je zwei kongruente Außenwinkel nur einmal gezählt.

Winkelhalbierende

In den Ecken eines konvexen Polygons schneiden sich die Winkelhalbierenden der zugehörigen Außen- und Innenwinkel stets in einem rechten Winkel.

In einem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der Außenwinkel verschiedener Ecken in den Ankreismittelpunkten $J_{A}$, $J_{B}$ und $J_{C}$ des Dreiecks. Jeder dieser drei Schnittpunkte liegt gleichzeitig auch auf der Winkelhalbierenden des jeweils nichtanliegenden Innenwinkels.

Weiterhin teilt die Außenwinkelhalbierende in einem Dreieck die verlängerte gegenüberliegende Seite des Dreiecks im Verhältnis der Längen der beiden dem Winkel anliegenden Seiten. Die Schnittpunkte der Außenwinkelhalbierenden mit den verlängerten gegenüberliegenden Seiten liegen dabei, sofern sie existieren, alle auf einer Geraden.

Verallgemeinerungen

Innen- und Außenwinkel an einer einspringenden Ecke

Nichtkonvexe Polygone

Innen- und Außenwinkel können auch bei nichtkonvexen Polygonen definiert werden. An einer einspringenden Ecke befinden sich die Außenwinkel allerdings dann im Inneren des Polygons. In diesem Fall wird den Außenwinkeln ein negatives Winkelmaß zugeordnet, sodass die Winkelsumme aus Außenwinkel und zugehörigem Innenwinkel weiterhin 180° beträgt. Auf diese Weise ergibt sich auch die Summe der Außenwinkel eines nichtkonvexen Polygons, wie im konvexen Fall, zu 360°.

Allgemeinere Geometrien

Der Begriff des Außenwinkels lässt sich auch in allgemeineren Geometrien, wie der absoluten Geometrie und der riemannschen Geometrie, definieren. Der schwache Außenwinkelsatz gilt auch in der absoluten Geometrie, während der Außenwinkelsatz in nichteuklidischen Geometrien nicht mehr richtig sein muss.

In der sphärischen Geometrie ist die Außenwinkelsumme eines Polygons stets kleiner als 360° während in der hyperbolischen Geometrie die Summe der Außenwinkel stets größer als 360° ist.

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie: Fachwissen Für Studium und Mathematikunterricht. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9826-5, S. 15–18. 
• Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0097-8, S. 236–238. 

Weblinks

Wiktionary: Außenwinkel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Außenwinkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Exterior Angle. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Exterior Angle Bisector. In: MathWorld (englisch).