Innenwinkel

Innenwinkel α, β, γ eines Dreiecks

Die Innenwinkel eines Polygons sind in der Geometrie die Winkel, die durch zwei benachbarte Seiten des Polygons eingeschlossen werden und im Inneren der Figur liegen. Die Ecken des Polygons bilden dabei die Scheitelpunkte der Winkel. Jedes $n$-Eck besitzt genau $n$ Innenwinkel.

Bezeichnungen

Werden die Ecken eines Polygons mit $A,B,C,\ldots$ bezeichnet, so werden die Innenwinkel meist $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ genannt. Die Ecke $A$ ist dabei der Scheitelpunkt des Winkels $\alpha$, die Ecke $B$ der Scheitelpunkt des Winkels $\beta$ und so weiter. Ein Nebenwinkel eines Innenwinkels wird Außenwinkel genannt. Die Außenwinkel werden üblicherweise mit $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Nach dem Winkelsummensatz beträgt die Summe der Innenwinkel eines nicht überschlagenen $n$-Ecks in der euklidischen Geometrie stets $(n-2)\cdot 180^{\circ }$. In einem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme demnach stets $180^{\circ }$, in einem Viereck stets $360^{\circ }$ und in einem Fünfeck stets $540^{\circ }$.

• Innen- und Außenwinkel ergänzen sich an jeder Ecke eines Polygons zu $180^{\circ }$. Nach dem Außenwinkelsatz ist jeder Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

• Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Tangentenvielecks, beispielsweise eines Dreiecks oder einer Raute, treffen sich im Mittelpunkt des Inkreises. In einem Dreieck teilt jede Innenwinkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten.

Spezialfälle

• Ein Dreieck, bei dem alle Innenwinkel kleiner als $90^{\circ }$ sind, heißt spitzwinkliges Dreieck. Beträgt einer der Innenwinkel exakt $90^{\circ }$, so spricht man von einem rechtwinkligen Dreieck. Ist ein Innenwinkel größer als $90^{\circ }$, so wird das Dreieck stumpfwinkliges Dreieck genannt.

• In einem regelmäßigen Polygon sind alle Innenwinkel gleich groß und messen jeweils ${\tfrac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }$. In einem gleichseitigen Dreieck messen demnach alle Innenwinkel $60^{\circ }$, in einem Quadrat $90^{\circ }$ und in einem regelmäßigen Fünfeck $108^{\circ }$.

• In einem konvexen Polygon sind alle Innenwinkel kleiner oder gleich $180^{\circ }$. Bei einem nichtkonvexen Polygon existiert mindestens eine einspringende Ecke mit einem Innenwinkel von mehr als $180^{\circ }$.

Literatur

• Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Springer, 2014, ISBN 978-3-658-02081-1. 

Weblinks

Wiktionary: Innenwinkel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen