Algebraische Menge

In der Mathematik, genauer in der Algebraischen Geometrie, sind irreduzible Varietäten durch algebraische (polynomielle) Gleichungen definierte Gebilde, die sich nicht in einfachere Teile zerlegen lassen.

Eine Varietät heißt irreduzibel, wenn sie nicht die Vereinigung zweier echter abgeschlossener Teilmengen ist. Es stellt sich heraus, dass eine Varietät genau dann irreduzibel ist, wenn die Polynome, die sie definieren, ein Primideal des Polynomrings erzeugen.

Zum Beispiel definiert die Gleichung $x^{2}-y^{2}=0$ keine irreduzible Varietät, weil sie sich in die Gleichungen $x-y=0$ und $x+y=0$ zerlegen lässt.

Definition

Eine (affine oder projektive) algebraische Varietät $X$ ist irreduzibel, wenn für jedes Paar abgeschlossener Untervarietäten $Y,Z\subset X$ mit

$Y\cup Z=X$

gilt, dass $Y=X$ oder $Z=X$ ist.

Mit anderen Worten: $X$ kann nicht als Vereinigung zweier echter abgeschlossener Teilmengen zerlegt werden. (Eine Menge $Y\subset X$ heißt abgeschlossen, wenn sie sich als Nullstellenmenge einer Familie von Polynomen beschreiben lässt, siehe Zariski-Topologie.)

Primideale

Ist $X\subset A^{n}$ eine affine Varietät, so ist ihr Verschwindeideal definiert als

$I(X):=\{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]\mid \forall (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in X:f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=0\}$

$I(X)$ ist ein Radikal-Ideal, es gilt also ${\sqrt {I(X)}}=I(X)$.

Ist der Körper algebraisch abgeschlossen, so ist die Abbildung der Radikalideale auf Varietäten, gegeben durch $J\to V(J)$ bijektiv. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch $X\to I(X)$. Die Abbildungen tauschen Mengeninklusionen um; Primideale entsprechen genau den irreduziblen Varietäten. Dies ist eine Konsequenz aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Im Falle eines von einem Polynom $P\in K\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ erzeugten Hauptideals $I(X)=(P)$ ist $(P)$ genau dann ein Primideal, wenn $P$ ein irreduzibles Polynom ist, sich also nicht als Produkt nichtkonstanter Faktoren zerlegen lässt.

Zerlegung einer Varietät in irreduzible Komponenten

Jede Varietät kann auf eindeutige Weise als endliche Vereinigung irreduzibler Untervarietäten $X_{i}$ mit $X_{i}\not \subset X_{j}$ für $i\not =j$ dargestellt werden.

Beispiele

• Wenn $\pi \colon X\to Y$ eine reguläre Abbildung zwischen projektiven Varietäten ist, und wenn $Y$ irreduzibel und alle Urbilder $\pi ^{-1}(p)$ irreduzibel von derselben Dimension sind, dann ist $X$ irreduzibel.
• Wenn $X\subset P^{n}$ eine irreduzible Varietät und $\Omega _{X}\subset P^{n*}\times X$ ihr universeller Hyperebenenschnitt ist, dann ist $\Omega _{X}$ irreduzibel.

Literatur

• Harris, Joe: Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-97716-3
• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, 2012, ISBN 978-3-8348-1964-2. 
• David Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-35650-1. 
• Joachim Hilgert: Mathematische Strukturen. Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben. Springer Spektrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48869-0.