Überdeckungslemma von Wiener

Das Überdeckungslemma von Wiener (englisch Wiener covering lemma) ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Gebieten der Topologie, der Maßtheorie und der Harmonischen Analyse angesiedelt ist. Dieses Lemma wird dem US-amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener zugeschrieben und behandelt eine Fragestellung zu offenen Überdeckungen vom kompakten Teilmengen im euklidischen Raum und in Räumen vom homogenen Typ. Es ist verwandt mit einem ähnlichen Überdeckungslemma, welches auf den italienischen Mathematiker Giuseppe Vitali zurückgeht. Beide Lemmata sind bedeutungsvoll für die Herleitung von Sätzen zur Frage der punktweisen Konvergenz von Fourier-Reihen.

Formulierung

Das Lemma lässt sich angeben wie folgt:

Sei $X$ der n-dimensionale euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ oder – allgemeiner – ein Raum vom homogenen Typ mit den Konstanten $L$ und $K$.

Hier seien eine in $X$ kompakte Teilmenge $Y$ gegeben und zudem eine Familie ${\mathcal {B}}=\left(B(x_{j},r_{j})\right)_{j\in J}$ von offenen $X$-Kugeln, welche $Y$ überdecken.

Dann gilt:

Es gibt in ${\mathcal {B}}$ eine aus endlich vielen paarweise disjunkten $X$-Kugeln bestehende Teilfamilie $\left(B(x_{t},r_{t})\right)_{t\in T}\;,\;T\subset J\;,\;|T|<\infty ,$ derart, dass für $M=2K^{2}+K$ die $M$-fach vergrößerten $X$-Kugeln $\left(B(x_{t},Mr_{t})\right)_{t\in T}$ eine Überdeckung von $Y$ bilden.

Im Falle $X=\mathbb {R} ^{n}$ kann dabei $K=3$ und damit $M=3$ gewählt werden.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ein Raum vom homogenen Typ ist eine mathematische Raumstruktur $X=(X,d,\mu )$ über einer nichtleeren Grundmenge $X$ derart, dass $(X,d)$ ein semimetrischer Raum und $(X,\mu )$ ein Maßraum ist, woebi die folgenden Zusatzbedingungen gelten:
  • Die Semimetrik $d\colon {X\times X}\to [0,\infty ]$, welche die topologische Struktur von $(X,d)$ erzeugt, hängt ab von einer Konstanten $K\geq 1$, wobei für $x,y,z\in X$ stets $d(x,y)\leq K(d(x,z)+d(z,y))$ erfüllt ist.
  • Der Maßraumstruktur von $(X,\mu )$ liegt eine σ-Algebra ${\mathcal {A}}$ über der Grundmenge $X$ zugrunde, welche die borelsche σ-Algebra von $X$ sowie alle $X$-Kugeln $B(x,r)=\{p\in X\colon d(x,p)<r\};(x\in X\;,\;r>0)$ enthält.
  • $\mu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$ ist ein Maß auf ${\mathcal {A}}$,
    • welches einerseites für jede $X$-Kugel $B(x,r)$ die Ungleichungen $0<\mu {\bigl (}B(x,r){\bigr )}<\infty$ erfüllt,
    • welches andererseits eine Konstante $L>0$ aufweist, so dass für jede $X$-Kugel $B(x,r)$ die Ungleichung $\mu {\bigl (}B(x,2r){\bigr )}<L\mu {\bigl (}B(x,r)$ gilt,
    • und welches schließlich für die Punkte $x\in X$ stets der Bedingung $\mu (\{x\})=0$ genügt.
• Im Falle $X=\mathbb {R} ^{n}$ wird in der Regel die übliche euklidische Metrik und das Lebesgue-Maß als gegeben vorausgesetzt.
• Die Grundkonzeption der Räume vom homogenen Typ beruht auf Ideen, welche Kennan T. Smith und Lars Hörmander entwickelt haben und die in der heutigen Form im Wesentlichen von Ronald Raphael Coifman und Guido Weiss ausgearbeitet wurden. Eine weiter verallgemeinerte Auffassung des Konzepts gab Steven G. Krantz in seiner Monographie Explorations in Harmonic Analysis.
• Die Räume vom homogenen Typ sind nicht zu verwechseln mit den homogenen Räumen.

Das Lemma von Vitali

Das Lemma von Vitali besagt:

Ist $\left(I_{j}\right)_{j\in J}$ eine Familie von Intervallen von $\mathbb {R}$, so lässt sich daraus eine Intervallfolge $\left(I_{j_{m}}\right)_{m=1,2,3,\ldots }$ auswählen, welche die Ungleichung

$|\bigcup _{m=1}^{\infty }{I_{j_{m}}}|>{\frac {1}{4}}|\bigcup _{j\in J}{I_{j}}|$

erfüllt.

Literatur

• Ronald R. Coifman, Guido L. Weiss: Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes: étude de certaines intégrales singulières. Étude de certaines intégrales singulières (= Lecture Notes in Mathematics. Band 242). Springer Verlag, Berlin, New York 1971 (MR0499948). 
• Ronald R. Coifman, Guido Weiss: Extensions of Hardy spaces and their use in analysis. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 83, 1977, S. 569–645 (MR0447954). 
• Donggao Deng, Yongsheng Han: Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type. With a preface by Yves Meyer. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88744-7 (MR2039503). 
• Lars Hörmander: L^p estimates for (pluri-) subharmonic functions. In: Mathematica Scandinavica. Band 20, 1967, S. 65–78 (MR0234002). 
• Roberto A. Macías, Carlos Segovia: Lipschitz functions on spaces of homogeneous type. In: Advances in Mathematics. Band 33, 1979, S. 257–270 (MR0546295). 
• Yitzhak Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis (= Cambridge Mathematical Library). 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-54359-2 (MR1710388). 
• Steven G. Krantz: A Panorama of Harmonic Analysis (= Carus Mathematical Monographs. Band 27). The Mathematical Association of America, Washington, DC 1999, ISBN 0-88385-031-1 (MR1710388). 
• Steven G. Krantz: Explorations in Harmonic Analysis (= Applied and Numerical Harmonic Analysis. Band 27). Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 2009, ISBN 978-0-8176-4668-4 (MR2508404). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 

• K. T. Smith: A generalization of an inequality of Hardy and Littlewood. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 8, 1956, S. 157–170 (MR0086889). 
• Norbert Wiener: The Fourier Integral and Certain of its Applications. Dover Publications, Inc., New York 1959 (MR0100201 – An unaltered republication of the 1933 edition [University Press, Cambridge]).