Formel von Ascoli

Der Formel von Ascoli (englisch formula of Ascoli, benannt nach dem italienischen Mathematiker Giulio Ascoli) ist eine mathematische Formel, die im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionalanalysis und Geometrie angesiedelt ist. Sie gibt eine Beschreibung des Abstandes zwischen einem Raumpunkt und einer gegebenen affinen Hyperebene in einem reellen normierten Raum.

Darstellung der Formel

Die Formel lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ und sein Dualraum $X^{*}$ der reellwertigen stetigen linearen Funktionale, wobei sowohl die Norm von $X$ als auch die Operatornorm von $X^{*}$ mit ${\|\cdot \|}$ bezeichnet sein sollen.

Weiter gegeben sei eine affine Hyperebene $H\subset X$, wobei $H=\{x\in X\mid u^{*}(x)=\alpha \}$ gelten soll mit einer reellen Zahl $\alpha$ und einem Funktional $u^{*}\in {X^{*}\setminus \{0\}}$ .

Dann berechnet sich für einen beliebigen Raumpunkt $a\in X$ der Abstand $d(a,H)=\inf _{h\in H}{\|h-a\|}$ zwischen ihm und der Hyperebene nach der Formel

$d(a,H)={\frac {|u^{*}(a)-\alpha |}{\|u^{*}\|}}$.

Hintergrund

Die Ascoli'sche Formel lässt sich aus dem sogenannten Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie (englisch duality theorem of linear approximation theory) gewinnen, der folgendes besagt:

Seien $X$, $X^{*}$ und $\|\cdot \|$ gegeben wie oben.

Seien weiter ein Untervektorraum $V\subseteq X$ gegeben sowie ein Raumpunkt $a\in X$.

Dabei sei $V^{\perp }=\{x^{*}\in X^{*}\mid \forall v\in V\colon x^{*}(v)=0\}$ das orthogonale Komplement von $V$ in $X^{*}$.

Dann gilt für den Abstand $d(a,V)=\inf _{v\in V}{\|v-a\|}$ zwischen Raumpunkt und Untervektorraum die Formel

$d(a,V)=\max _{x^{*}\in V^{\perp }{\text{ und }}\|x^{*}\|\leq 1}{x^{*}(a)}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Die Fragestellung, die der Formel von Ascoli zu Grunde liegt, ist eng verwandt mit dem in der Analytischen Geometrie im Zusammenhang mit der Hesse'schen Normalform gestellten Problem, wie man den euklidischen Abstand eines Punktes von einer Geraden im ${\mathbb {R} }^{2}$ beziehungsweise von einer Ebene im ${\mathbb {R} }^{3}$ berechnet.
• Ist oben $u^{*}(h_{0})=\alpha$ für einen Raumpunkt $h_{0}\in H$, so berechnet sich der in der Ascoli'schen Formel behandelte Abstand auch nach der Formel $d(a,H)={\frac {|u^{*}(a-h_{0})|}{\|u^{*}\|}}$.
• Einem allgemeinen Lehrsatz des Mathematikers Werner Fenchel zufolge existiert das im obigen Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie auftretende Maximum stets.

Beispielrechnung

Im Vektorraum ${\mathbb {R} }^{3}=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} \}$ soll für die Ebene $H=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in {\mathbb {R} }^{3}\mid x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1\}$ und den Raumpunkt $a=(1,2,3)$ nach unterschiedlichen Normen der Abstand $d(a,H)$ berechnet werden; und zwar für die euklidische Norm $\|\cdot \|_{2}$, die Summennorm $\|\cdot \|_{1}$ und die Maximumsnorm $\|\cdot \|_{\max }$. Man erhält hier die folgenden Abstände:

(a) Für $\|\cdot \|_{2}$:

$d(a,H)={\frac {|1\cdot 1+3\cdot 2+1\cdot 3-1|}{\sqrt {1+3^{2}+1}}}={\frac {9}{\sqrt {11}}}$

(b) Für $\|\cdot \|_{1}$:

$d(a,H)={\frac {9}{\max\{1,3,1\}}}={\frac {9}{3}}$

(c) Für $\|\cdot \|_{\max }$:

$d(a,H)={\frac {9}{1+3+1}}={\frac {9}{5}}$

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 16., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0428-0, S. 280–281. 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. With stability considerations in Orlicz spaces (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 13). Walter de Gruyter & Co., Berlin 2011, ISBN 978-3-11-025020-6 (MR2760903). 

Siehe auch

• Hessesche Normalform