Kapillarwelle

Kapillarwellen auf dem Wasser

Kapillarwellen sind Transversalwellen an einer Flüssigkeitsoberfläche, deren Eigenschaften inklusive der Ausbreitungsgeschwindigkeit hauptsächlich von der Oberflächenspannung der Flüssigkeit abhängen. Dies ist bis zu einer Wellenlänge von etwa einem Zentimeter der Fall.

Mit steigender Wellenlänge gehen Kapillarwellen in Schwerewellen über, bei denen der Einfluss der Schwerkraft überwiegt.

Physikalische Beschreibung

Am höchsten Punkt eines Wellenberges ($y=h$) wirkt nach der Young-Laplace-Gleichung der Kapillardruck

$p_{\mathrm {kap} }=\sigma {\Bigl (}{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r^{\prime }}}{\Bigr )}={\frac {\sigma }{r}}$

mit

• der Oberflächenspannung $\sigma$ in N/m
• den Krümmungsradien der Oberfläche $r$ in Ausbreitungsrichtung und $r^{\prime }=\infty$ entlang des Wellenrückens. Hierbei gilt $r\approx 1/y^{\prime \prime }$ , wobei die Funktion $y(x)$ die Form der Oberfläche gemäß der Wellengleichung

$y(x)=h\cdot \sin(2\pi \cdot x/\lambda )$

angibt, mit

• der vertikalen Koordinate $y$
• der horizontalen Koordinate $x$
• der Amplitude $h.$

Somit ist auf dem Wellenberg der Kapillardruck durch

$p_{\mathrm {kap} }=\sigma {\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}h$

gegeben und für das Wellental mit entsprechend geändertem Vorzeichen.

Auf dem Wellenberg ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen geringer als im Wellental: Für einen Beobachter, der der Welle folgt haben die Teilchen in ersterem (betragsmäßig) die Geschwindigkeit $c_{\mathrm {kap} }-v$ und in letzterem die Geschwindigkeit $c_{\mathrm {kap} }+v$. Dabei ist $c_{\mathrm {kap} }$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle und $v$ der (halbe) Geschwindigkeitsunterschied. Für einen mit der Flüssigkeit ruhenden Beobachter bewegen sich die Teilchen (in guter Näherung) nicht. Die Propagation der Welle durch die Flüssigkeit entspricht für ihn einer Kreisbewegung der einzelnen Teilchen mit Radius $h$ und Radialgeschwindigkeit $v$. Dabei ist die Winkelgeschwindgkeit $\omega$ wie gewöhnlich mit der Wellenlänge $\lambda$ verbunden:

$\omega =v/h=2\pi ~c_{\mathrm {kap} }/\lambda$.

Die Differenz der kinetischen Energie pro Volumen (mit Flüssigkeitsdichte $\rho$)

$\Delta E_{\mathrm {kin} }/V=1/2~\rho ~(c_{\mathrm {kap} }+v)^{2}-1/2~\rho ~(c_{\mathrm {kap} }-v)^{2}=2~\rho ~c_{\mathrm {kap} }v={\frac {4\pi ~h~\rho ~c_{\mathrm {kap} }^{2}}{\lambda }}$

zwischen Berg und Tal entspricht einem auf dem Wellenberg wirksamen Druck, der dem dortigen Kapillardruck entgegensteht.

Aus der Bedingung, dass dieser dynamische Druckunterschied zwischen Wellenberg und Wellental gleich dem Kapillardruckunterschied zwischen diesen beiden Regionen ist, folgt somit für die Ausbreitungsgeschwindigkeit

$c_{\mathrm {kap} }={\sqrt {\frac {2\pi \cdot \sigma }{\rho \cdot \lambda }}}$.

Das bedeutet, dass Kapillarwellen eine anomale Dispersion haben, d. h., ihre nimmt mit steigender Wellenlänge $\lambda$ ab.

Siehe auch

• Kapillarwellenspektroskopie
• Wasserwelle
• Ultraschallvernebler

Literatur

• Erich Truckenbrodt: Elementare Strömungsvorgänge dichteveränderlicher Fluide sowie Potential- und Grenzschichtströmungen. In: Fluidmechanik. 4. Auflage. Band 2. Springer, 2008, ISBN 3-540-79023-3. 
• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8. 
• Joachim Grehn (Hrsg.): Metzler Physik. 2. Auflage. Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover 2005, ISBN 3-507-05209-1. 

Weblinks

• Vorlesungsskript über Hydraulik und Wasserwellen (PDF; 179 kB)
• Eintrag über Kapillarwellen im Sklogwiki