PT1-Glied

PT₁-Glied im Strukturbild

Als PT₁-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung aufweist. Ein gebräuchliches Beispiel ist in der Elektrotechnik der Tiefpass (1. Ordnung), der beispielsweise durch ein RC-Glied realisiert werden kann.

Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion des PT1 Gliedes ergibt sich aus dessen Differentialgleichung:

$T\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=K\cdot u(t)$

Die zugehörige komplexe Laplace-Übertragungsfunktion im Bildbereich hat die Form:

$G(s)={\frac {K}{1+T\cdot s}}$

Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor und T , T > 0, die Zeitkonstante. Für T < 0 hätte das System ein exponentiell aufklingendes Verhalten.

Bodediagramm

Bodediagramm eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

Beim PT₁-Glied ist $G(j\omega )={\frac {K}{1+j\omega T}}$ der Frequenzgang. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

$|G(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

$\varphi (\omega )=-\arctan(\omega T)$

Amplitudengang

Bezeichnet $\omega _{0}={\frac {1}{T}}$ die Knick- bzw. Eckkreisfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen:

$G(j\omega )={\begin{cases}K,&{\mbox{wenn }}\omega \ll \omega _{0}\\{\frac {K}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}},&{\mbox{wenn }}\omega \gg \omega _{0}\end{cases}}$

bzw. logarithmiert, in Dezibel:

$|G|_{\mathrm {dB} }={\begin{cases}20\log K,&{\mbox{wenn }}\omega \ll \omega _{0}\\20\log K-20\log {\frac {\omega }{\omega _{0}}},&{\mbox{wenn }}\omega \gg \omega _{0}\end{cases}}$

Für Kreisfrequenzen unterhalb der Eckkreisfrequenz liegt die Betragskennlinie des PT₁-Gliedes parallel zur 0-dB-Linie im Abstand von K_dB und für große Kreisfrequenzen fällt sie mit 20 dB/Dekade. Bei der Knickkreisfrequenz ω = ω₀ schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um −3 dB von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = 0,5 ω₀ bzw. ω = 2 ω₀ beträgt die Abweichung nur noch −1 dB.

Die Eckkreisfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners 1 + Ts. Die Polstelle ist $-{\frac {1}{T}}$ und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckkreisfrequenz ω₀ beschreibt.

Phasengang

Die Phasenverschiebung des PT₁-Gliedes beträgt bei kleinen Kreisfrequenzen 0°, bei großen Kreisfrequenzen −90° und bei der Knickkreisfrequenz ω₀ −45°.

Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickkreisfrequenz bei 0° beginnt und eine Dekade nach der Knickkreisfrequenz bei −90° endet.

Sprungantwort

Sprungantwort eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

Die Sprungantwort des PT₁-Gliedes wird beschrieben durch

$a(t)=K(1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}})$

und hat den Verlauf einer e-Funktion. Der Verlauf nähert sich dem Endwert K an. Nach der Zeit t = T beträgt der Wert 0,63 K und nach t = 3 T bereits 0,95 K, es bleibt theoretisch aber immer eine minimale Abweichung vom Endwert erhalten. Die Tangente im Ursprung schneidet den Wert des Verstärkungsfaktors K nach der Zeit T. Der Betrag der Zeitkonstanten T bestimmt die Schnelligkeit des Gliedes.

Ortskurve

Ortskurve eines PT₁-Gliedes (T = 1, K = 2)

Die Ortskurve ($0\leq \omega \leq \infty$) des PT₁-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse durch den vierten Quadranten für $\omega \to \infty$ in den Punkt 0.

$F(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{1+\mathrm {j} \omega T_{1}}}$

Komplex konjugiertes Erweitern liefert

$F(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{1+\mathrm {j} \omega T_{1}}}\cdot {\frac {1-\mathrm {j} \omega T_{1}}{1-\mathrm {j} \omega T_{1}}}={\frac {K-\mathrm {j} \omega T_{1}K}{1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}}$

sodass sich Real- und Imaginärteil explizit darstellen lässt:

$\mathrm {Re} \left\{F(\mathrm {j} \omega )\right\}={\frac {K}{1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}}$

$\mathrm {Im} \left\{F(\mathrm {j} \omega )\right\}={\frac {-\omega T_{1}K}{1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}}$

Damit errechnet sich Betrag und Phase

$\left|F\left(\mathrm {j} \omega \right)\right|={\frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}}}$

$\varphi (\omega )=\varphi \left(F(\mathrm {j} \omega )\right)=\arctan(-\omega T_{1})=-\arctan(\omega T_{1})$

Die Extremwerte ergeben sich folgendermaßen:

$\mathrm {Re} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to 0)\right\}=K$

$\mathrm {Im} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to 0)\right\}=0$

$\mathrm {Re} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to \infty )\right\}=0$

$\mathrm {Im} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to \infty )\right\}=0$

$|F(\mathrm {j} \omega \to 0)|=K$

$\varphi (\mathrm {j} \omega \to 0)=0^{\circ }$

$|F(\mathrm {j} \omega \to \infty )|=0$

$\varphi (\mathrm {j} \omega \to \infty )=-90^{\circ }$

Zeitdiskretes PT1-Glied

Das Verhalten eines PT1-Gliedes lässt sich mit dem einfachsten Integrationsverfahren (Euler explizit) zeitdiskret berechnen.

Aus obiger Differentialgleichung folgt mit der Schrittweite $\Delta t$ und dem Anfangswert $y_{0}$ die Differenzengleichung:

$y_{n+1}=y_{n}+{\frac {\Delta t}{T}}\cdot (Ku_{n}-y_{n}),\quad n=(0,1,\dotsc ,n_{\text{max}})$

Siehe auch

• Regler
• P-Glied
• I-Glied
• D-Glied
• PT2-Glied
• PID-Regler
• Totzeit-Glied