PT1-Glied

PT₁-Glied im Strukturbild

Als PT₁-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung aufweist. Gebräuchliche Beispiele sind in der Elektrotechnik der Tiefpass (1. Ordnung) und im Maschinenbau das Feder-Dämpfer-System.

Die zugehörige Funktionalbeziehung im Zeitbereich ist die Differentialgleichung

$T \cdot \dot{y}(t) + y(t) = K \cdot u(t)$,

so dass die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich die Form

$G(s) = \frac{K}{1 + T \cdot s}$

hat. Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor und T , T > 0, die Zeitkonstante.

Bodediagramm

Beim PT₁-Glied ist $G(j\omega) = \frac{K}{1 + j\omega T}$. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

$|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{1 + \omega^2 T^2}}$

$\varphi(\omega) = -\arctan (\omega T)$

Amplitudengang

Bezeichnet $\omega_0 = \frac{1}{T}$ die Knick- bzw. Eckfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen:

$G(j\omega) = \begin{cases} K, & \mbox{wenn } \omega \ll \omega_0 \\ \frac{K}{j\frac{\omega}{\omega_0}}, & \mbox{wenn } \omega \gg \omega_0 \end{cases}$

bzw.

$|G|_{\mathrm{dB}} = \begin{cases} 20 \log K, & \mbox{wenn } \omega \ll \omega_0 \\ 20 \log K - 20 \log \frac{\omega}{\omega_0}, & \mbox{wenn } \omega \gg \omega_0 \end{cases}$

Für Frequenzen unterhalb der Eckfrequenz liegt die Betragskennlinie des PT₁-Gliedes parallel zur 0-dB-Linie im Abstand von K_dB und für große Frequenzen fällt sie mit 20 dB/Dekade. Bei der Knickfrequenz ω = ω₀ schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um −3 dB von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = 0,5 ω₀ bzw. ω = 2 ω₀ beträgt die Abweichung nur noch −1 dB.

Die Eckfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners 1 + Ts. Die Polstelle ist $- \frac{1}{T}$ und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckfrequenz ω₀ beschreibt.

Phasengang

Die Phasenverschiebung des PT₁-Gliedes beträgt bei kleinen Frequenzen 0°, bei großen Frequenzen −90° und bei der Knickfrequenz ω₀ −45°.

Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickfrequenz bei 0° beginnt und eine Dekade nach der Knickfrequenz bei −90° endet.

Bodediagramm eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

Sprungantwort

Die Sprungantwort des PT₁-Gliedes wird beschrieben durch

$a(t) = K (1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}})$

und hat den Verlauf einer e-Funktion. Der Verlauf nähert sich dem Endwert K an. Nach der Zeit t = T beträgt der Wert 0,63 K und nach t = 3 T bereits 0,95 K, es bleibt theoretisch aber immer eine minimale Abweichung vom Endwert erhalten. Die Tangente im Ursprung schneidet den Wert des Verstärkungsfaktors K nach der Zeit T. Der Betrag der Zeitkonstanten T bestimmt die Schnelligkeit des Gliedes.

Sprungantwort eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

Ortskurve

Die Ortskurve ($0 \leq \omega \leq \infty$) des PT₁-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse durch den vierten Quadranten für $\omega \to \infty$ in den Punkt 0.

$F(\mathrm j\omega)=\frac {K} {1 + \mathrm j\omega T_1}$

Die Komplexe Zahl im Nenner will man wegbekommen:

$F(\mathrm j\omega)=\frac {K} {1 + \mathrm j\omega T_1} \cdot \frac {1 - \mathrm j\omega T_1}{1 - \mathrm j\omega T_1}=\frac {K-\mathrm j\omega T_1 K}{1+\omega^2 T_1^2}$

dann erhält man Real- und Imaginärteil:

$\mathrm {Re}\left\{F(\mathrm j\omega)\right\}=\frac {K}{1+\omega^2 T_1^2}$

$\mathrm {Im}\left\{F(\mathrm j\omega)\right\}=\frac {-\omega T_1 K}{1+\omega^2 T_1^2}$

Damit errechnet sich Betrag und Phase

$\left |F\left (\mathrm j\omega \right) \right |=\frac {K}{\sqrt {1+\omega^2 T_1^2}}$

$\varphi(\omega)=\varphi\left(F(\mathrm j\omega)\right)=\arctan(-\omega T_1)=-\arctan(\omega T_1)$

Die Extremwerte ergeben sich folgendermaßen:

$\mathrm {Re}\left\{F(\mathrm j\omega \to 0)\right\}=K$

$\mathrm {Im}\left\{F(\mathrm j\omega \to 0)\right\}=0$

$\mathrm {Re}\left\{F(\mathrm j\omega \to \infty)\right\}=0$

$\mathrm{Im}\left\{F(\mathrm j\omega \to \infty)\right\}=0$

$|F(\mathrm j\omega \to 0)| = K$

$\varphi(\mathrm j\omega \to 0) = 0^\circ$

$|F(\mathrm j\omega \to \infty)| = 0$

$\varphi(\mathrm j\omega \to \infty) = -90^\circ$

Ortskurve eines PT₁-Gliedes (T = 1, K = 2)

Zeitdiskretes PT1-Glied

Das Verhalten eines PT1-Gliedes lässt sich mit der folgenden Formel zeitdiskret berechnen. Sie ist Grundlage zur Nachbildung dieses Reglertypes in der digitalen Signalverarbeitung.

Aus obiger Differentialgleichung folgt mit $\Delta t$ als der Schrittweite der Abtastung die Differenzengleichung:

$T \cdot \frac {y_{n}-y_{n-1}}{\Delta t} + y_{n} = K u_{n}$

Daraus erhält man

$\left(\frac T {\Delta t}+1\right ) \cdot y_{n} - \frac T {\Delta t} \cdot y_{n-1} = K u_{n}$

Auflösen nach $y_{n}$ ergibt:

$y_{n} = \frac {1}{\frac T {\Delta t}+1} \left [ K u_{n} + \frac T {\Delta t} \cdot y_{n-1} \right ]$

Mit

$T^{*} = \frac {1}{\frac T {\Delta t}+1}$

erhält man eine optimierte Formel mit nur zwei Multiplikationen:

$y_{n} = T^{*} \cdot ( K u_{n} -y_{n-1} ) + y_{n-1}$

Siehe auch

• Regler
• P-Glied
• I-Glied
• D-Glied
• PT2-Glied
• PID-Regler
• Totzeit-Glied