Zeitkonstante

Die Zeitkonstante gibt allgemein den Zeitraum an, den ein exponentiell absinkender Prozess benötigt, um auf 1/e (etwa 36,8 %) seines Ausgangswertes abzusinken. Ein exponentiell ansteigender Prozess wächst in diesem Zeitraum auf 63,2 % des Endwertes. Diese Zeit ist nicht mit der Halbwertszeit zu verwechseln, die den Zeitraum für ein Absinken auf 50 % bezeichnet und 69,3 % der Zeitkonstante entspricht. Beispiele für exponentiell ablaufende Prozesse sind der Abbau eines Schadstoffes in Wasser, die Abkühlung eines Warmwasserspeichers, der radioaktive Zerfall und in elektrischen Stromkreisen die Aufladung von Kondensatoren über einen Widerstand. Einheit der Zeitkonstante ist die Sekunde.

Zeitkonstanten in der Nachrichtentechnik und Elektrotechnik

Zeitkonstanten (Formelzeichen: $\tau$, griechisch: tau) werden in der Nachrichtentechnik zur Beschreibung des Frequenzgangs von Filtern und Übertragungswegen verwendet, zum Beispiel bei der Entzerrung beim Tonband, beim Rundfunksender, bei der Schallplatte (Emphasis mit Präemphase und Deemphase) und bei der Übertragung in der Digitaltechnik. In der Elektrotechnik kennzeichnen sie die Zeitverläufe beim Aufladen von Kondensatoren oder beim Stromanstieg in Spulen.

Kondensator

Spannung U_c an der Kapazität nach dem Einschalten als Funktion der Zeit

Die Aufladung von Kondensatoren an einer konstanten Spannung über einen in Reihe zum Kondensator geschalteten Widerstand und die Entladung von Kondensatoren über einen Widerstand sind exponentiell ablaufende Vorgänge. Die Zeitkonstante $\tau$ der Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand ist das Produkt aus dem Widerstand R und der Kapazität C.

$\tau = R C$

Der Anstieg der Spannung erfolgt bei der Ladung des Kondensators nach

$u(t) = U_\mathrm{max} \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \,$

Näherungswerte für die Spannung des Kondensators in Bezug auf die Gleichspannung:

beim Laden	beim Entladen
1 · τ ≈ 63,2 %	1 · τ ≈ 36,8 %
2 · τ ≈ 86,5 %	2 · τ ≈ 13,5 %
3 · τ ≈ 95,0 %	3 · τ ≈ 4,98 %
4 · τ ≈ 98,2 %	4 · τ ≈ 1,83 %
5 · τ ≈ 99,3 %	5 · τ ≈ 0,674 %

Nach t = 5 · τ ist der Kondensator auf das (1 − e⁻⁵)-fache (ca. 99,3 %) der Spannung aufgeladen. Sofern keine besonders hohen Genauigkeitsanforderungen bestehen, betrachtet man den Ladevorgang damit als abgeschlossen.

Weitere Näherungswerte sind:

Anstiegszeit der Spannung von 20 % auf 80 % t_r ≈ 1,4 · τ

Anstiegszeit der Spannung von 10 % auf 90 % t_r ≈ 2,2 · τ

Anstiegszeit der Spannung von 0 auf 50 % t_H = ln 2 · τ ≈ 0,69 · τ

Bei RC-Gliedern ist der Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz f_c und Zeitkonstante:

$\tau = \frac{1}{2 \pi \, f_c}$

$f_c = \frac{1}{2 \pi \, \tau} = \frac{1}{2 \pi \, R C}$

Spule

Der Anstieg des Stromes in einer Reihenschaltung einer Spule L mit ihrer Induktivität und dem Widerstand R an einer konstanten Spannung und der Abfall des Stromes sind exponentiell ablaufende Vorgänge. Die Zeitkonstante der Reihenschaltung von Induktivität und Widerstand ist der Quotient aus der Induktivität und dem Widerstand:

$\tau=\frac{L}{R}$

Der Anstieg des Stromes erfolgt dabei nach:

$i(t) = \frac{U}{R} \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \,$

τ gibt die Zeit an, nach der der Strom durch die Induktivität ca. 63,2 % des Endstromes erreicht hat. Nach 5 · τ hat der Strom etwa 99,3 % seines Endwertes erreicht, man betrachtet den Einschaltvorgang damit meist als abgeschlossen.

Genormte Zeitkonstanten und Übergangsfrequenzen

Zeitkonstante τ in µs	Übergangsfrequenz fc in Hz	Entzerrungsnorm
7958	20	RIAA
3183	50	RIAA, NAB
1592	100	—
318	500	RIAA
200	796	—
140	1137	—
120	1326	MC
100	1592	—
90	1768	MC
75	2122	RIAA
70	2274	FM
50	3183	NAB, PCM
35	4547	DIN
25	6366	—
17,5	9095	AES
15	10610	PCM

Siehe auch

• Hochpass
• Tiefpass
• Bandpass

Weblinks

• Zeitkonstante und Übergangsfrequenz (Grenzfrequenz) (PDF-Datei; 228 kB)
• Frequenzgang und Entzerrung - Berechnung von Zeitkonstante und Grenzfrequenz