Zeitkonstante

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Die Zeitkonstante T beschreibt eine charakteristische Größe eines dynamischen Systems. Ein komplexes dynamisches System kann durch n Zeitkonstanten Ti charakterisiert werden. Dimension der Zeitkonstante ist die Sekunde.

Die Zeitkonstante gibt allgemein die Zeitdauer t=T1/e an, die ein exponentiell absinkender Prozess benötigt, um auf 1/e (etwa 36,8 %) seines Ausgangswertes abzusinken. Ein exponentiell ansteigender Prozess wächst in diesem Zeitraum auf etwa 63,2 % des Endwertes.

Diese Zeitkonstante ist nicht mit der Halbwertszeit T1/2zu verwechseln, die eine Zeitdauer für ein Absinken auf 50 % bezeichnet und etwa 69,3 % der Zeitkonstante entspricht.

Beispiele für exponentiell ablaufende Prozesse sind der Abbau eines Schadstoffes in Wasser, die Abkühlung eines Warmwasserspeichers, der radioaktive Zerfall von Elementen und in elektrischen Stromkreisen das Aufladen von Kondensatoren oder der Strom durch eine Spule über einen Widerstand.

Zeitkonstanten in der Nachrichtentechnik und Elektrotechnik[Bearbeiten]

Die Zeitkonstante T=1/p eines Elements ist die charakteristische Größe bei der Laplace-Transformation. Zeitkonstanten (Formelzeichen: \tau, griechisch: tau) werden in der Nachrichtentechnik zur Beschreibung des Frequenzgangs von Filtern und Übertragungswegen verwendet, zum Beispiel bei der Entzerrung beim Tonband, beim Rundfunksender, bei der Schallplatte (Emphasis mit Präemphase und Deemphase) und bei der Übertragung in der Digitaltechnik. In der Elektrotechnik kennzeichnen sie die Zeitverläufe des Spannungsanstiegs beim Aufladen von Kondensatoren oder beim Stromanstieg in Spulen über einen ohmschen Widerstand.

Kondensator[Bearbeiten]

Spannung Uc an der Kapazität nach dem Einschalten als Funktion der Zeit

Die Aufladung von Kondensatoren an einer konstanten Spannung über einen in Reihe zum Kondensator geschalteten Widerstand und die Entladung von Kondensatoren über einen Widerstand sind exponentiell ablaufende Vorgänge. Die Zeitkonstante \tau der Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand ist das Produkt aus dem Widerstand R und der Kapazität C.

\tau = R C

Der Anstieg der Spannung erfolgt bei der Ladung des Kondensators nach

u(t) = U_\mathrm{max} \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \,

Näherungswerte für die Spannung des Kondensators in Bezug auf die Gleichspannung:

beim Laden beim Entladen
1 · τ ≈ 63,2 % 1 · τ ≈ 36,8 %
2 · τ ≈ 86,5 % 2 · τ ≈ 13,5 %
3 · τ ≈ 95,0 % 3 · τ ≈ 5,0 %
4 · τ ≈ 98,2 % 4 · τ ≈ 1,8 %
5 · τ ≈ 99,3 % 5 · τ ≈ 0,7 %

Nach t = 5 · τ ist der Kondensator auf das (1 − e−5)-fache (ca. 99,3 %) der Spannung aufgeladen. Sofern keine besonders hohen Genauigkeitsanforderungen bestehen, betrachtet man den Ladevorgang damit als abgeschlossen.

Weitere Näherungswerte sind:

Anstiegszeit der Spannung von 20 % auf 80 % tr ≈ 1,4 · τ
Anstiegszeit der Spannung von 10 % auf 90 % tr ≈ 2,2 · τ
Anstiegszeit der Spannung von 0 auf 50 % tH = ln 2 · τ ≈ 0,69 · τ

Bei RC-Gliedern ist der Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz fc und Zeitkonstante:

\tau = \frac{1}{2 \pi \, f_c}
f_c = \frac{1}{2 \pi \, \tau} = \frac{1}{2  \pi \, R C}

Spule[Bearbeiten]

Der Anstieg des Stromes in einer Reihenschaltung einer Spule L mit ihrer Induktivität und dem Widerstand R an einer konstanten Spannung und der Abfall des Stromes sind exponentiell ablaufende Vorgänge. Die Zeitkonstante der Reihenschaltung von Induktivität und Widerstand ist der Quotient aus der Induktivität und dem Widerstand:

\tau=\frac{L}{R}

Der Anstieg des Stromes erfolgt dabei nach:

i(t) = \frac{U}{R} \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \,

τ gibt die Zeit an, nach der der Strom durch die Induktivität ca. 63,2 % des Endstromes erreicht hat. Nach 5 · τ hat der Strom etwa 99,3 % seines Endwertes erreicht, man betrachtet den Einschaltvorgang damit meist als abgeschlossen.

Genormte Zeitkonstanten und Übergangsfrequenzen[Bearbeiten]

Zeitkonstante τ
in µs
Übergangsfrequenz fc
in Hz
Entzerrungsnorm
7958 20 RIAA
3183 50 RIAA, NAB
1592 100
318 500 RIAA
200 796
140 1137
120 1326 MC
100 1592
90 1768 MC
75 2122 RIAA
70 2274 FM
50 3183 NAB, PCM
35 4547 DIN
25 6366
17,5 9095 AES
15 10610 PCM

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]