Ungleichung von Carathéodory

Die Ungleichung von Carathéodory, in englischsprachigen Quellen auch als Borel-Carathéodory inequality (französisch Inégalité de Borel-Carathéodory) oder als Hadamard-Borel-Carathéodory inequality genannt, ist eines aus einer ganzen Reihe von Resultaten, die auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie von dem Mathematiker Constantin Carathéodory beigesteuert wurden. Sie ergibt sich als Anwendung des Lemmas von Schwarz und liefert eine obere Schranke für den Betrag einer holomorphen Funktion auf einer in der komplexen Zahlenebene um dem Nullpunkt gelegenen abgeschlossenen Kreisscheibe. Die Carathéodory'sche Ungleichung gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine holomorphe Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$.

Weiter gegeben seien eine reelle Zahl $R>0$ und dazu die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq R\,\}$ vom Radius $R$, wobei ${\bar {S}}(0,R)\subset U$ gelten soll.

Dann gilt für $z\in \mathbb {C}$ und $r>0$ mit $0\leq |z|\leq r<R$ stets die Ungleichung

$|f(z)|\leq |f(0)|+{\frac {2r}{R-r}}\cdot \left(\max _{|z|=R}{\Re {f(z)}-\Re {f(0)}}\right)$ .

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 
• Fritz Rühs: Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 56). Dritte, berichtigte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976 (MR0486433). 
• Chen, Yin: Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques. In: Complex Variables. Theory and Application. An International Journal. Band 49, 2004, S. 747–757 (MR2098698 ).