Mehrkörpersimulation

Die Mehrkörpersimulation (MKS) ist eine Methode der numerischen Simulation. Die Grundidee der Mehrkörpersimulation (MKS) besteht in der Simulation von räumlich bewegten Mechanismen, um Vorhersagen über deren Bewegungsabläufe im Zeitbereich (Positionen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) und der hierbei auftretenden Kräfte (Antriebskräfte, Lagerkräfte, Kontaktkräfte, ...) treffen zu können. Hierzu wird ein mechanisches Mehrkörpersystem bestehend aus einer endlichen Zahl von starren oder flexiblen Körpern, in ein mathematisch beschreibbares Ersatzmodell überführt. Die Kopplung der Körper erfolgt über masselose kinematische Verbindungselemente (Lager, Gelenke,…), welche die Bewegungsmöglichkeiten der beteiligten Körper durch die Verringerung der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems einschränken, oder über Kraftelemente wie z.B. Feder-/Dämpferelemente und Kontakte.

Die klassische MKS ging zunächst von sehr kleinen und daher vernachlässigbaren Deformationen der Körper aus (Starrkörpersimulation). Wesentliche Vereinfachungen sind hierbei die Konzentration der Bauteilmassen als Punktmassen im Körperschwerpunkt sowie die Annahme, dass die Abstände beliebiger Punkte eines Körpers zu jedem Zeitpunkt konstant sind. Später erfolgte eine Erweiterung um flexible Körper basierend auf dem Ansatz der modalen Reduktion sowie nichtlinearen FEM-Ansätzen.

Grundlagen

Die Analyse von Mehrkörpersystemen erfolgt durch die Aufstellung und Lösung von Bewegungsdifferentialgleichungen. Die Bewegungsdifferentialgleichungen beschreiben die dynamischen Eigenschaften des Mehrkörpersystems. Nur bei extrem einfachen Systemen, die sich im Normalfall durch lineare Bewegungsgleichungen oder einen einzelnen Freiheitsgrad auszeichnen, kann dies analytisch geschehen. MKS-Programme erstellen die Bewegungsdifferentialgleichungen eines Mehrkörpersystems automatisch und Lösen diese mit Hilfe von Methoden der numerischen Integration, z. B. dem Runge-Kutta-Verfahren. Ein wichtiger Aspekt ist hierbei die Auswahl der Ortsvektoren und Drehmatrizen, welche die Lage der Körper des System im Raum beschreiben.

Die Mehrkörpersimulation ist eine sehr grobe Vereinfachung der realen Welt. Um ein System detaillierter und genauer abzubilden, wird das Verfahren daher oft mit anderen Simulationsverfahren kombiniert. Dabei werden die Methoden der Finite-Elemente-Methode (FE), numerischen Strömungssimulation, Thermodynamik, Regelungstechnik, wie auch spezielle Programme für Reifen, Gummielemente, Hydrolager und weitere Konstruktionssimulationen in das Mehrkörpermodell integriert.

Bewegungsdifferenzialgleichungen

Die Komplexität und Anzahl der Bewegungsgleichungen hängen von der Art und Weise ab, wie die Position und Orientierung eines Körpers im Raum beschreiben wird. In kommerziell verfügbaren Programmen haben sich hier die absoluten Koordinaten und Relativkoordinaten durchgesetzt.

Absolute Koordinaten

Bei absoluten Koordinaten (oder kartesischen Koordinaten) wird der Ortsvektor jedes Körpers relativ zu einem ortsfesten Inertialkoordinatensystem beschrieben. Jeder Körper erhält unabhängig von kinematischen Lagern sechs Freiheitsgrade, welches im Lösungsalgorithmus zusammen mit den sogenannten Geschwindigkeitsgleichungen zu zwölf Bewegungsgleichungen pro Körper führt. Die Abbildung von kinematischen Lagern erfolgt über zusätzliche Zwangsbedingungen (algebraische Gleichungen) zwischen den entsprechenden Koordinaten der beteiligten Körpern, was die Anzahl der Gleichungen in dem zu integrierenden differential - algebraischen Gleichungssystem (DAE) weiter erhöht. Dieser Ansatz führt in der Regel zu einer hohen Anzahl an zu integrierenden Gleichungen mit dünnbesetzten Matrizen und einer konstanten Massenmatrix.

Relativkoordinaten

Im Fall von Relativkoordinaten, wird der Ortsvektor jeweils relativ zu seinem Vorgänger in einer kinematischen Kette bestimmt. Gelenkverbindungen führen dann zu einer Reduktion der Anzahl der zu integrierenden Gleichungen, da diese die Bewegungsmöglichkeiten zwischen den beteiligten Körpern einschränken. Auf der anderen Seite führt dieser Ansatz zu einer positionsabhängigen und damit zeitabhängigen Massenmatrix, die im Gegensatz zum absoluten Koordinatenansatz zu jedem Lösungszeitpunkt erneut invertiert werden müsste. Dieser Nachteil wird durch die Verwendung von rekursiven Formulierungen weitgehend eliminiert. Darüber hinaus führen Relativkoordinaten aufgrund der starken Kopplung der Koordinaten im beschreibenden Differentialgleichungssystem zu dicht besetzten Matrizen, die die Verwendung von sogenannten „Sparse Solvern“ ausschließen.

Bei einem Vergleich, stehen bei den absoluten Koordinaten viele aber einfache Gleichungen wenigen aber komplexen Gleichungen bei den Relativkoordinaten gegenüber. Einfachere Gleichungssystem sind in der Regel effizienter lösbar, allerdings steigt der Aufwand und damit die Rechenzeit mit steigender Anzahl an Freiheitsgraden stark an. Dagegen ist der Zusammenhang zwischen Rechenzeit und Freiheitsgraden bei Relativkoordinaten linear und deshalb eher geeignet für große und komplexe MKS-Modelle. Aufgrund der geringeren Rechnerleistung am Anfang der Entwicklung von MKS-Programmen, konnten nur Modelle mit wenigen Freiheitsgraden gelöst werden. Daher basieren ältere MKS-Programme wie MSC.ADAMS auf absoluten Koordinaten, während neuere MKS-Programme wie RecurDyn den Ansatz mit Relativkoordinaten gewählt haben.

Die Formulierung der Bewegungsdifferenzialgleichungen erfolgt in kommerziellen Softwareprodukten mit dem Verfahren nach Newton-Euler mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit von d’Alembert und dem Prinzip der virtuellen Leistung von Jourdain oder durch die Aufstellung von Energiebilanzen nach Lagrange.

Flexible Mehrkörpersimulation

Eine besondere Methode in Verbindung mit der Mehrkörpersimulation ist die modale Reduktion. Hierbei wird ein Körper, dessen Flexibilität nicht zu vernachlässigen ist, anhand seiner externen Eigenschaften abgebildet. Hierzu muss jedoch vor der eigentlichen Simulation festgelegt werden, wo die Anschlusspunkte an das restliche System sind. Die Bewegung des flexiblen Körpers wird anschließend durch ein Reduktionsverfahren auf die Starrkörperbewegung sowie eine definierte Anzahl von Bewegungsfreiheitsgraden reduziert (z. B. Eigenformen aus einer Modalanalyse beim Craig-Bampton-Verfahren). Dank schneller Prozessoren und moderner Formulierungen des Gleichungssystems wird jedoch die direkte Integration von flexiblen Körpern immer beliebter. Dabei werden die Netze, wie sie aus der FE bekannt sind, und die Mehrkörpersysteme direkt in einem Gleichungssystem zusammengefasst.

Anwendungsgebiete

Kinematische Systeme sind Bestandteil unseres täglichen Lebens. Sie reichen von einfachen Pendeln bis zu kompletten Fahrzeugen. Mit der Mehrkörpersimulation kann der Bewegungsablauf solcher Systeme berechnet und analysiert werden. Die Simulation liefert Ergebnisse über Kräfte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kontakte der Körper.

Im Automobilbereich werden MKS-Systeme seit mehreren Jahren intensiv eingesetzt, z. B. zur Analyse von Fahrwerken. Hierfür gibt es besondere Erweiterungen der MKS-Programme. Ein weiteres Beispiel für den Einsatz der MKS ist die Analyse von Ladespielen bei Löffelbaggern. Es werden z. B. die dynamischen Belastungen in den Lagerpunkten berechnet.

Das MKS-Modell kann zusätzlich durch die Integration des Hydrauliksystems erweitert werden. Kräfte für die Bewegung des Auslegers werden dann aus der Hydrauliksimulation bereitgestellt. Die Integration einer FE-Analyse in das MKS-Modell ermöglicht eine Berechnung der Bauteilbelastungen während der Bewegung.

Beispiele für weitere Anwendungsgebiete:

• Bewegungsanalyse von komplexen kinematischen Systemen
• Ermittlung dynamischer Bauteilbelastungen
• Bereitstellung dynamischer Lastannahmen für die FEM
• Lokalisierung von Konstruktionsdefiziten existierender Maschinen
• Realisierung des Virtual Prototyping
• Beantwortung biomechanischer Fragestellungen

Kommerzielle Software

Es gibt verschiedene Arten von kommerzieller Software für die Mehrkörpersimulation wie z. B. Simcenter Motion von Siemens PLM, RecurDyn von FunctionBay, ThreeParticle/CAE von BECKER 3D, ADAMS von MSC Software bzw. durch den Unternehmenskauf jetzt ein Bestandteil von Hexagon, DS Simulia von Simpack bzw. durch den Unternehmenskauf jetzt ein Bestandteil von Dassault Systèmes.

Freie Software

Es gibt einige freie Pakete. Das vom Institut für Luft- und Raumfahrtwissenschaften und -technologien des Politecnico di Milano entwickelte MBdyn ist mit einigen Beispielen und einer Real-time-Version verfügbar. FreeDyn ist eine Software aus Österreich, die auch mechatronische Module hat.

Siehe auch

• Millennium-Simulation
• natürliche Einheiten

Literatur

• Georg Rill, Thomas Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation, 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017. ISBN 978-3-658-06084-8 (eBook).
• Christoph Woernle: Mehrkörpersysteme - Eine Einführung in die Kinematik und Dynamik von Systemen starrer Körper, 2. Auflage. Verlag Springer Vieweg, Berlin Heidelberg 2017. ISBN 978-3-642-15982-4 (eBook).
• Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik 3 – Kinetik, 12. überarbeitete Auflage. Verlag Springer Vieweg, Berlin Heidelberg 2012. ISBN 978-3-642-29529-4 (eBook).
• Edda Eich-Soellner, Claus Führer: Numerical Methods in Multibody Dynamics in European Consortium for Mathematics in Industry. Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 1998. ISBN 978-3-663-09828-7 (eBook) (englisch).
• Bernd Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics - A Differential-Algebraic Approach in Differential-Algebraic Equations Forum. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013. ISBN 978-3-642-35158-7 (eBook) (englisch).
• Ahmed A. Shabana: Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Developments in Multibody Systems Dynamics Vol. 1, 1997, S. 189 - 222.
• Sebastian von Hoerner: Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. I. In: Zeitschrift für Astrophysik. 50. Jahrgang, 1960, S. 184, bibcode:1960ZA.....50..184V. 
• Sebastian von Hoerner: Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. II. In: Zeitschrift für Astrophysik. 57. Jahrgang, 1963, S. 47, bibcode:1963ZA.....57...47V.