Frequenzgang

Bode-Diagramm eines Tiefpasses:
sinusförmige Signale niedriger Frequenz passieren nahezu unverändert (Amplitudenverhältnis nahe 1, Phasenverschiebung nahe 0°)
Signale hoher Frequenz werden gefiltert (Amplitudenverhältnis gegen 0, Phasenverschiebung gegen -90°)

Der Frequenzgang beschreibt die Übertragung eines sinusförmigen Signals in einem linearem zeitinvariantem System (LZI-System). Das Ausgangssignal hat die gleiche Frequenz wie das Eingangssignal. Die Änderung seiner Amplitude und seiner Phasenlage ist lediglich von der gewählten Frequenz abhängig, beide “gehen mit der Frequenz”.

Die beiden Frequenzgang-Gleichungen sind der Amplitudengang und der Phasengang, die gemeinsam als Kurven über der Frequenz f oder über der Kreisfrequenz ω im Bode-Diagramm dargestellt und diskutiert werden können (siehe diskutierte Abbildung). Eine besonders übersichtliche Darstellung ist die Ortskurve des Frequenzgangs, weil hier sowohl der Amplituden- als auch der Phasengang in nur einem Diagramm enthalten sind.

Die Ortskurve ist eine Darstellung in der komplexen Zahlenebene. Die Übersetzung des in der Regel mit einer Differentialgleichung beschriebenen Zusammenhangs zwischen sinusförmigem Ein- und Ausgangssignal aus dem Original- oder Zeitbereich in den komplexen oder Bildbereich geschieht formal durch Anwenden der Fourier-Transformation. Beim Frequenzgang lässt sich diese Transformation auch anschaulich erklären.

Mit Hilfe des Frequenzganges lässt sich das Übertragungsverhalten eines LZI-Systems ebenso vollständig wie mit der Differentialgleichung beschreiben. Seine rechnerische Behandlung im Komplexen ist wesentlich leichter, was wichtig ist, wenn das betrachtete System aus mehreren Einzelsystemen - wie beispielsweise in Regelungen und elektrischen Schaltungen - zusammen gesetzt wird.

Ein anderer wichtiger Grund für die Verwendung des Frequenzgangs ist seine einfache experimentelle Gewinnung, in der Elektrotechnik zum Beispiel mit Hilfe eines Wobbelgenerators. Die Differentialgleichung kann bei bekanntem Frequenzgang durch Rück-Transformation aus dem Bild- in den Originalbereich gewonnen werden, was zu einem sichererem Ergebnis führt als ihre Aufstellung durch Anwenden der im System vermuteten physikalischen Gesetze. Die Rück-Transformation kann aber häufig entfallen, weil der Frequenzgang - bevorzugt in Form seiner Ortskurve - bereits zum Verständnis und zur technischen Gestaltung eines Systems genügt.

Anschauliche Herleitung der Ortskurve des Frequenzgangs

Ortskurve eines Tiefpasses: Amplitudenverhältnis A, Phasenverschiebung φ

Die beiden sinusförmigen Zeitfunktionen werden zunächst als im komplexen Koordinatenursprung mit vorgegebener Winkelgeschwindigkeit ω umlaufende Zeiger angesehen. Weil beim Frequenzgang nur das Amplitudenverhältnis und die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangssignal interessieren, werden die für einen Zeitpunkt gültigen Lagen beider Zeiger eingezeichnet und betrachtet. Der Zeiger der Eingangsfunktion wird auf die positive reale Achse gezeichnet (Zeitpunkt des Einfrierens gleich Zeitpunkt seines Nulldurchgangs). Als Bezugszeiger erhält er die Länge 1. Der Winkel zwischen ihm und dem Zeiger des Ausgangssignals ist die Phasenverschiebung, ihre positive Richtung ist der Gegen-Uhrzeigersinn. In der Zeichenebene ist nun Platz für beliebig viele andere Zeiger. Man wählt als Parameter die Frequenz und erhält davon abhängige Zeiger für das Ausgangssignal. Ortskurve ist die Verbindung der Spitzen dieser mit der Frequenz veränderlichen Zeiger, die Zeiger-Stiele werden nicht gezeichnet (siehe Abbildung).

Fourier-Transformation

LZI-Systeme werden durch die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung beschrieben:

$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}y^{(1)}+a_{0}y=b_{m}x^{(m)}+\ldots +b_{1}x^{(1)}+b_{0}x$

Die Anwendung der Fourier-Transformation auf die DGL ergibt den Frequenzgang als Bild-Funktion in der komplexen Zahlenebene:

$H(j\omega )={\frac {Y(j\omega )}{X(j\omega )}}={\frac {b_{m}(j\omega )^{m}+\ldots +b_{1}(j\omega )+b_{0}}{(j\omega )^{n}+a_{n-1}(j\omega )^{n-1}+\ldots +a_{1}(j\omega )+a_{0}}}$.

Formal ist der Frequenzgang der Bezug der Fouriertransformierten des Ausgangs-Signals Y(jω) auf die Fouriertransformierte des Eingangs-Signal X(jω).

Die Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die Gewichtsfunktion oder Impulsantwort:

$g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }H(j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega$.

Schreibweisen des Frequenzgangs:

• mit Real- und Imaginärteil

$H(j\omega )=\operatorname {Re} H(j\omega )+j\operatorname {Im} H(j\omega )$

• mit Betrag und Phase

$H(j\omega )=\left|H(j\omega )\right|e^{i\phi (j\omega )}$

$\left|H(j\omega )\right|={\sqrt {(\operatorname {Re} H(j\omega ))^{2}+(\operatorname {Im} H(j\omega ))^{2}}}$      Betrag

$\phi (j\omega )=\arctan \left({\frac {\operatorname {Im} H(j\omega )}{\operatorname {Re} H(j\omega )}}\right)$     Phase

Eine andere gängige Schreibweise für H(jω) ist G(jω).

Literatur

• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik I, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7
• Jan Lunze: Regelungstechnik 1. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-70790-5. 

Siehe auch

Übertragungsfunktion