Minimale Kopplung

BeMinimale Kopplung, Minimale Substitution oder auch Prinzip der minimalen elektromagnetischen Wechselwirkung beschreibt ein Prinzip der Quantenmechanik zur Einführung der Elektromagnetischen Wechselwirkung in die Gleichungen freier Teilchen. Das Prinzip legt die durchzuführende Ersetzung im Hamiltonoperator eines freien Teilchens fest, um seine Wechselwirkung mit einem Elektromagnetischen Feld zu erreichen.

Das Prinzip der minimalen Kopplung

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Dynamik eines Teilchen durch die Schrödingergleichung

$i\hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}={\hat {H}}$

beschrieben. Dabei ist $\psi$ die Wellenfunktion des Teilchens und ${\hat {H}}$ der Hamiltonoperator. Für ein freies Teilchen der Masse $m$ ist der Hamiltonoperator als ${\hat {H}}=\left({\hat {\vec {p}}}\right)^{2}/(2m)$ gegeben, für ein Teilchen in einem Potenzial $V$ als ${\hat {H}}={\hat {\vec {p}}}^{2}/(2m)+V({\vec {x}})$ mit dem Impulsoperator ${\hat {\vec {p}}}$.

Zur Ankopplung eines geladenen Teilchens an das Elektromagnetische Feld werden folgende Ersetzungen in der Schrödingergleichung durchgeführt:

Der Impulsoperator ${\hat {\vec {p}}}$ im Hamiltonoperator des zu beschreibenden Systems wird durch

${\hat {\vec {p}}}\longrightarrow {\hat {\vec {p}}}-{\frac {q}{c}}{\vec {A}}({\vec {x}},t)$

ersetzt. Dabei ist die Stärke der Ankopplung des Teilchens an das Feld $q$ die elektrische Ladung des Teilchens, $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und ${\vec {A}}$ das Vektorpotenzial des elektromagnetischen Feldes.

Außerdem wird auf der linken Seite der Schrödingergleichung die Zeitableitung durch

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\longrightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\phi ({\vec {x}},t)$

ersetzt. Wobei $\phi$ das Skalarpotenzial des Elektromagnetischen Feldes ist.

In der relativistischen Quantenmechanik, dessen Analogon der Schrödingergleichung die Diracgleichung ist, können beide Ersetzungen zu einer Einzigen zusammengefasst werden. Im Rahmen des Tensorkalküls der Relativitätstheorie werden das Skalarpotenzial und Vektorpotenzial des Elektromagnetischen Feldes zu einem Viererpotenzial zusammengefasst:

$A^{\mu }=(\phi /c,-{\vec {A}})^{T},\,\mu =0,1,2,3$.

Der Impulsoperator ist in der relativistischen Quantenmechanik auch ein Vierervektor, der Viererimpuls:

$p^{\mu }=({\hat {E}}/c,{\hat {\vec {p}}})^{T},\,\mu =0,1,2,3$, ${\hat {E}}$ ist der Energieoperator.

Das Prinzip der Minimalen Kopplung verlangt nun die Ersetzung

$p^{\mu }\longrightarrow p^{\mu }-{\frac {q}{c}}A^{\mu }$.

In der Ortsdarstellung stimmt die minimale Kopplung mit der aufgrund von Eichinvarianz geforderten kovarianten Ableitung überein.

Klassische Mechanik

In der Hamiltonschen Mechanik wird die Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung $q$ und Masse $m$ im elektromagnetischen Feld mit der Hamiltonfunktion

$H={\frac {1}{2m}}\left({\vec {p}}-{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\right)^{2}+q\phi$

beschrieben, die sich ausgehend von der Lorentzkraft herleiten lässt. Dabei werden das elektrische Feld ${\vec {E}}({\vec {x}},t)$ und das magnetische Feld ${\vec {B}}({\vec {x}},t)$, wie in der Elektrodynamik üblich, durch die Potenziale $\phi ({\vec {x}},t)$ und ${\vec {A}}({\vec {x}},t)$ beschrieben:

${\vec {E}}=-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$,

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$.

Zu dieser Hamiltonfunktion gelangt man auch von der Hamiltonfunktion eines freien Teilchens (freies Teilchen bedeutet verschwindendes Potenzial $V=0$, $E$ ist die Gesamtenergie, $T$ die kinetische Energie)

$H=E=T+V={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}$.

Die Ersetzungen

${\vec {p}}\longrightarrow {\vec {p}}-{\frac {q}{c}}{\vec {A}}$,

$E\longrightarrow E-q\phi$,

führen genau auf die Hamiltonfunktion eines klassischen geladenen Teilchens im Elektromagnetischen Feld. Diese Ersetzungen entsprechen den oben für die Quantenmechanik angegebenen Ersetzungen. Für die erste Ersetzung ist die äquivalenz zur quantenmechanische Version offensichtlich. Die zweite Ersetzung entspricht auch gerade der zweiten Ersetzung für die Quantenmechanik, da in der zeitabhängigen Schrödingergleichung der Energieoperator ${\hat {E}}$ gerade $i\hbar \partial _{t}$ ist.

Eine Motivation der minimalen Kopplung ist, dass sie zur Eichinvatianz im Sinne der klassischen Elektrodynamik in den Bewegungsgleichungen, die sich aus den Hamiltonschen Gleichungen ergeben, führt. Die Hamiltonfunktion selbst ist dagegen in diesem Sinne nicht eichinvariant.

Eichfreiheit im Sinne der klassischen Elektrodynamik

Man spricht von Eichfreiheit, wenn sich die Potenziale $\phi$ und ${\vec {A}}$ frei wählen lassen, ohne das sich die Bewegungsgleichungen des Teilchens ändern. Anders ausgedrückt: Die resultierende Kraft auf das Teilchen darf durch umeichen der Potenziale nicht verändert werden. Die Kraft auf geladene Teilchen aufgrund von elektromagnetischen Feldern ist die Lorentzkraft ${\vec {F}}_{L}$.

${\vec {F}}_{L}=q{\vec {E}}+q{\vec {v}}\times {\vec {B}}$

Man darf nun solche Eichungen $\phi \longrightarrow \phi '$ bzw. ${\vec {A}}\longrightarrow {\vec {A}}'$ der Potenziale durchführen, die die Lorentzkraft nicht ändern, es muss also ${\vec {F}}_{L}={\vec {F}}_{L}'$ gelten. Es stellt sich heraus, dass folgende Eichungen die Bewegungsgleichungen invariant lassen

${\vec {A}}'={\vec {A}}+\nabla f$

$\phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}$

mit einer beliebigen skalaren Funktion $f({\vec {x}},t)$.

Wählt man die Weyl-Eichung, also eine Eichung in der das skalare Potenzial immer verschwindet

$f({\vec {x}})=c\int \phi ({\vec {(}}x),t)\mathrm {d} t$,

so muss nur die erste Ersetzung auf die Hamiltonfunktion eines freien Teilchens zur Ankopplung an das Elektromagnetische Feld durchgeführt werden.

Schrödingergleichung ohne Spin

Die Schrödingergleichung eines freien Teilchens ohne Spin lautet

$i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi (\mathbf {x} ,t)$.

Der Hamiltonoperator des freien Teilchens ist demnach ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}$. Anwenden des Prinzips der minimalen Kopplung führt auf den Hamiltonoperator eines geladen Teilchens ohne Spinterm im magnetischen Feld bzw. im elektromagnetischen Feld, unter Hinzunahme der Weyl-Eichung, führt auf

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {q}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}$.

Eichfreiheit im Sinne der Eichfeldtheorie

Alle messbaren physikalische Größen sind nur vom Betragsquadrat der Wellenfunktion $|\psi |^{2}=\psi \psi ^{*}$ abhängig. Daher ist die Wellenfunktion nur bis auf einen ortsabhängigen Phasenfaktor $e^{i\chi (\mathbf {x} ,t)}$ bestimmt. Die Zustände in der Quantenmechanik besitzen also ein freiwählbares Eichfeld $\chi (\mathbf {x} ,t)$. Berechnet man aber die freie Schrödingergleichung mit einer umgeeichten Wellenfunktion $\psi '=\psi e^{i\chi (\mathbf {x} ,t)}$ (es ist also $|\psi '|^{2}=\psi e^{i\chi (\mathbf {x} ,t)}\psi ^{*}e^{-i\chi (\mathbf {x} ,t)}=\psi \psi ^{*}=|\psi |^{2}$), so bleibt die Schrödingergleichung nicht forminvariant.

Schreibt man dagegen den Hamiltonoperator mit der minimalen Kopplung, so bleibt die Schrödingergleichung unter Eichung der Phase invariant. Dies nennt man Kovarianz. Die Forderung nach lokaler Eichfreiheit der Phase macht die Existenz der elektromagnetischen Felder daher zwingend notwendig. Theorien, in denen Wechselwirkungsfelder aufgrund von Invarianzen unter bestimmten Transformationen (hier lokale Phasentransformation) automatisch generiert werden heißen Eichfeldtheorien. Außerdem ist der Hamiltonoperator nun auch forminvariant unter Eichung der elektromagnetischen Potenziale. Die Ersetzung des Impulsoperators ${\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\hbar }{i}}\nabla$ durch ${\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {q}{c}}\mathbf {A}$ wird auch kovariante Ableitung genannt, da das Ersetzen der gewöhnlichen Ableitung (Impulsoperator) durch eine veränderte Ableitung (kovariante Ableitung) zur Forminvarianz der Schrödingergleichung führt. Die Verwandtschaft zur Kovarianten Ableitung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie wird im Abschnitt #Kovariante Ableitung erklärt.

Betrachtet man nun den Hamiltonoperator ${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {q}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}$ mit eingefügter minimaler Kopplung und den gleichen Hamiltonoperator ${\hat {H}}'$ bloß mit umgeeichtem Vektorpotenzial $\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla f$, so führt die gestrichene Schrödingergleichung

${\hat {H}}'\psi '=i\hbar {\frac {\partial \psi '}{\partial t}}$

auf die ungestrichene Schrödingergleichung

${\hat {H}}\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}$.

Beide Eichtransformationen heben sich also gegeneinander auf, so dass die Schrödingergleichung geschrieben mit kovarianter Ableitung forminvariant unter Eichtransformation der Potenziale und der Wellenfunktionen ist.

Schrödingergleichung mit Spin

Das Prinzip der minimalen Kopplung führt erst in der relativistischen Quantenmachanik (also bei Anwendung auf die Dirac-Gleichung) zu der quantitativen Kopplung zwischen geladenen Teilchen und Elektromagnetischen Feld, die bislang experimentell nachgewiesenen wurde. In der „klassischen“ Schrödingergleichung fehlt noch der Anteil der Wechselwirkung zwischen Elektron und Licht, der vom Spin des Elektrons abhängt. Um diesen Spin-Anteil auch in der nicht relativistischen Quantenmechanik über das Prinzip der minimalen Kopplung einzuführen, kann man einen Trick anwenden. Für die Paulimatrizen $\mathbf {\sigma }$ gilt für jede beliebige Matrix $\mathbf {a}$: $(\mathbf {\sigma } \mathbf {a} )^{2}=\mathbf {a} ^{2}$. Nun modifiziert man den freien Hamiltonoperator in der Schrödingergleichung mit dieser „versteckten“ Paulimatrix

${\frac {1}{2m}}{\hat {\mathbf {p} }}^{2}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {\sigma } {\hat {\mathbf {p} }})^{2}$.

Wenn man nun das Prinzip der minimalen Kopplung auf diesen modifizierten freien Hamiltonoperator anwendet, so erhält man

${\hat {H}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {\sigma } \left(\nabla -{\frac {iq}{\hbar c}}\mathbf {A} \right)\right)^{2}$.

Ausmultiplizieren unter Beachtung der Reihenfolge, sowie der Verwendung der oben angegebenen Definition des Magnetfeldes $\mathbf {B}$, ergibt

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\nabla -{\frac {iq}{c\hbar }}\mathbf {A} \right)^{2}-{\frac {q\hbar }{2mc}}\mathbf {\sigma } \cdot {\vec {B}}$.

Dies entspricht der Pauli-Gleichung, die die Dynamik eines nicht relativistischen Spin-1/2-Teilchens mit Ladung $q$ und Masse $m$ in einem elektromagnetischen Feld (ohne skalares Potenzial) beschreibt.

Dipolnäherung

Wie oben schon beschrieben ist die Schrödinger-Gleichung für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld und einem Potenzial $V$ durch

$i\hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\left({\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}-{\frac {q}{c}}{\vec {A}}({\vec {x}},t)\right)^{2}+q\phi ({\vec {x}},t)+V({\vec {x}})\right)\psi ({\vec {x}},t)=H$

gegeben. Obige Gleichung beschreibt z.B. ein gebundenes Elektron im Wasserstoff Atom.

Der Hamiltonoperator (rechte Seite) kann in zwei Teile aufgeteilt werden. Ein Teil beschreibt das quantenmechanische System selbst und das andere seine Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld.

$H_{0}={\frac {{\hat {\vec {p}}}^{2}}{2m}}+V({\vec {x}})$,

$H_{WW}=-{\frac {q}{2mc}}({\hat {\vec {p}}}\cdot {\vec {A}}({\vec {x}},t)+{\vec {A}}({\vec {x}},t)\cdot {\hat {\vec {p}}})+{\frac {q^{2}}{2mc^{2}}}{\vec {A}}^{2}({\vec {x}},t)+q\phi ({\vec {x}},t)$.

Betrachtet man nun die Situation in einem Elektromagnetischen Feld in der Strahlungseichung ($\phi =0$,$\nabla {\vec {A}}=0$ und daher $[{\vec {A}},{\hat {\vec {p}}}]=0$) und berücksichtigt nur die Kopplung in linearer Ordnung mit ${\vec {A}}$, so erhält man

$H_{WW}=-{\frac {q}{mc}}{\hat {\vec {p}}}\cdot {\vec {A}}({\vec {x}},t)$.

Das Vektorpotenzial kann außerdem als ${\vec {A}}({\vec {x}},t)\approx {\vec {A}}(t)$ angenähert werden. Solange die Wellenlänge $\lambda =2\pi k^{-1}$ sehr viel größer als die Ausdehnung des Atoms ist, kann das Vektorpotenzial als räumlich nahezu homogen über die Ausdehnung des Atoms angesehen werden. Schreibt man den Impulsoperator als kinetischen Impuls Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \vec{p}=m\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t}, so folgt<ref group="Ehlotzky" name="Ehlotzky2004">{{cite book|author=Fritz Ehlotzky|title=Quantenmechanik und ihre Anwendungen|url=http://books.google.com/books?id=gnfO3eqIXCoC&pg=PA306|accessdate=23. Dezember 2011|date=15 September 2004|publisher=Springer|isbn=978-3-540-21450-2}}, S. 306</ref> :<math>H_{WW}=-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{A}(t)=-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\vec{x}\vec{A}(t)\right]+\frac{q}{c}\vec{x}\frac{\mathrm{d}\vec{A}(t)}{\mathrm{d}t}} . In der Dipolnäherung ist das Elektrische Feld ${\vec {E}}(t)$ als ${\vec {E}}(t)=-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}(t)}{\mathrm {d} t}}$ gegeben. Dies führt auf

$H_{WW}=-q{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}(t)-{\frac {q}{c}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {x}}{\vec {A}}(t)\right]$.

Der letzte Term kann weggelassen werden, da die Hamiltonfunktion nur bis auf die totale zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion bestimmt ist. Schlussendlich ergibt sich der Wechselwirkungshamiltonian für ein gebundenes geladenes Teilchen in der Dipolnäherung zu

$H_{WW}=-q{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}(t)$.

Dieses Ergebnis wurde aus dem Prinzip der minimalen Kopplung hergeleitet und wird auch in der Quantenelektrodynamik verwendet. Ein häufig verwendeter Name für diesen Wechselwirkungshamiltonian ist auch „$E\cdot r$-Hamiltonian“, sprich „E mal r Hamiltonian”, da für die Ortskoordinate $x$ häufig $r$ verwendet wird.