Dirac-Gleichung

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Die Dirac-Gleichung beschreibt in der Quantenmechanik die Eigenschaften und das Verhalten eines fundamentalen Fermions mit Spin 1/2 (zum Beispiel Elektron, Quark). Sie wurde 1928 von Paul Dirac entwickelt[1] und erfüllt die Anforderungen der speziellen Relativitätstheorie.

Die Dirac-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung gleicher Ordnung in Raum und Zeit, im Einklang mit der von der Relativitätstheorie geforderten Invarianz unter Lorentz-Transformationen. Im nichtrelativistischen Grenzfall (\tfrac{v}{c} \to 0) geht sie in die Pauli-Gleichung über. Jede Lösung der Dirac-Gleichung entspricht einem möglichen Zustand des betreffenden Teilchens, mit der Besonderheit, dass zur Darstellung dieses Zustands vier räumliche Wellenfunktionen nötig sind (s. Dirac-Spinor), statt zwei in der nichtrelativistischen Theorie oder einer einzigen im Fall von spinlosen Teilchen. Für die von der Dirac-Gleichung beschriebenen Teilchen ergibt sich:

  • Für ein Teilchen im elektrostatischen Feld einer Punktladung ergibt sich das Wasserstoffspektrum mit seiner Feinstruktur.
  • Das Teilchen hat einen Eigendrehimpuls (Spin), der die Quantenzahl 1/2 besitzt und deshalb nicht auf die Rotation einer Masse zurückgehen kann.
  • Trägt das Teilchen eine elektrische Ladung, ist mit dem Spin auch ein magnetischer Dipol verknüpft. Im Vergleich mit dem magnetischen Dipol, den das Teilchen durch eine Rotationsbewegung bei gleich großem Drehimpuls hervorrufen würde, hat das mit dem Spin verbundene Moment die doppelte Stärke (s. Anomales magnetisches Moment des Elektrons).
  • Zu dem Teilchen existiert ein Antiteilchen mit derselben Masse und demselben Spin, aber mit entgegengesetzter Ladung und magnetischem Moment.

Alle genannten Eigenschaften entsprechen den experimentellen Befunden. Zur Zeit der Entdeckung der Dirac-Gleichung 1928 waren die vier erstgenannten schon bekannt, nicht aber ihre gemeinsame Grundlage. Die letztgenannte Eigenschaft wurde durch die Dirac-Gleichung vorhergesagt, und der erste Nachweis eines Antiteilchens gelang 1932 Carl David Anderson[2] (s. Positron).

Der in der Diracgleichung vorkommende Differentialoperator spielt auch in der Mathematik (Differentialgeometrie) eine große Rolle (Dirac-Operator).

Dirac-Gleichung eines ungeladenen Teilchens[Bearbeiten]

Die Dirac-Gleichung ist ein System von vier gekoppelten partiellen Differentialgleichungen für die vier Komponentenfunktionen des Dirac-Spinors \psi(x). Die Variable x steht hier für x=(x^0,x^1,x^2,x^3) \,, worin der obere Index Null die Zeit t=x^0 und die Indizes 1 bis 3 die Ortskoordinaten (x^1,x^2,x^3) bezeichnen.

In natürlichen Maßeinheiten mit c=1=\hbar lautet die Dirac-Gleichung für ein ungeladenes Teilchen der Masse m


\left[  \mathrm i \sum_{\mu=0}^3 \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} - m \right]\, \psi(x)  
= 0\,.

Der Ausdruck in eckigen Klammern ist ein Dirac-Operator.

Die konstanten Gamma- oder Dirac-Matrizen \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2 und \gamma^3 wirken im Raum der vier Komponenten des Spinors und koppeln sie miteinander. Die Produkte von zwei Gamma-Matrizen haben die folgenden Eigenschaften:

\gamma^{\mu}\,\gamma^{\nu} =- \gamma^{\nu}\,\gamma^{\mu} \quad (\,\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}\,),
\gamma^{0}\gamma^{0} = - \gamma^{1}\gamma^{1} = - \gamma^{2}\gamma^{2} = -\gamma^{3}\gamma^{3} = 1

Damit bilden sie eine Clifford- oder Dirac-Algebra.

Wird der Dirac-Operator \textstyle  \mathrm i \sum_{\mu=0}^3 \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + m auf beide Seiten der Dirac-Gleichung angewendet, entkoppen die vier Differentialgleichungen und man erhält für jede Komponente von \psi die Klein-Gordon-Gleichung:


\Bigl[\frac{\partial^2}{(\partial {x^{0}})^2}-\frac{\partial^2}{(\partial {x^{1}})^2}-\frac{\partial^2}{(\partial {x^{2}})^2}-\frac{\partial^2}{(\partial {x^{3}})^2}
+m^2\Bigr]\,\psi(x)=0

Die zweimalige Anwendung eines Dirac-Operators führt also auf die Klein-Gordon-Gleichung, weshalb die Dirac-Gleichung auch als die "Wurzel" aus der Klein-Gordon-Gleichung angesehen wird. Für ein Teilchen in einem Impulseigenzustand ergibt die Klein-Gordon-Gleichung (in der Reihenfolge ihrer Terme) -E^2 + \vec{p}^{\,2} +m^2 =0, also die relativistische Energie-Impuls-Beziehung eines Teilchens der Masse m\,.

Jede irreduzible Darstellung der Dirac-Algebra besteht aus 4\times 4-Matrizen. In der Standard- oder Dirac-Darstellung haben sie die folgende Form. Verschwindende Matrixelemente mit Wert Null sind dabei nicht angeschrieben


\begin{array}{c c}
\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 &  &  &  \\  & 1 &  &  \\  &  & -1 &  \\  &  &  & -1 \end{pmatrix}\,,&
\gamma^1 = \begin{pmatrix}  &  &  & 1 \\  &  & 1 &  \\  & -1 &  &  \\ -1 &  &  &  \end{pmatrix}\,,\\ \,& \,\\
\gamma^2 = \begin{pmatrix}  &  &  & -\mathrm i \\  &  & \mathrm i &  \\  &  \mathrm i & &
\\ -\mathrm i &  &  &  \end{pmatrix}\,, &
\gamma^3 = \begin{pmatrix}  &  & 1 &  \\  &  &  & -1 \\ -1 &  &  &  \\  & 1 &  &  \end{pmatrix} \,.
\end{array}

In dieser Darstellung gehen die beiden unteren Komponenten des Spinors im nichtrelativistischen Grenzfall wie \frac{v}{c} gegen Null. Damit eignet sie sich besonders für die Behandlung langsam bewegter Elektronen. In der dazu mathematisch und physikalisch äquivalenten Weyl-Darstellung ist das Spinor-Transformationsverhalten bei Lorentztransformationen einfach, in der ebenfalls äquivalenten Majorana-Darstellung ist die Dirac-Gleichung ein reelles Gleichungssystem. Weitere Darstellungen erhält man durch Äquivalenz-Transformationen.

Die vier Gamma-Matrizen lassen sich in symbolischer Schreibweise zu dem kontravarianten 4-Vektor

 \gamma ^{\mu} =   \begin{pmatrix}\gamma^0 \\\gamma^1  \\  \gamma^2  \\  \gamma^3 \end{pmatrix}

zusammenfassen. Dann hat der erste Term der Dirac-Gleichung die Form eines Skalarprodukts der Vektoren  \gamma ^{\mu} und  \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}. Dieses ist bei Lorentztransformation jedoch nicht invariant, denn  \gamma ^{\mu} bleibt konstant. Die Lorentzinvarianz der Dirac-Theorie ergibt sich erst dadurch, dass der Dirac-Operator auf einen Spinor \psi wirkt, dessen vier Komponenten geeignet mittransformiert werden. Im Endergebnis geht damit eine Lösung \psi(x)  der Dirac-Gleichung durch Lorentztransformation in eine Lösung der entsprechend transformierten Dirac-Gleichung über.

Impulsraum und Slash-Notation[Bearbeiten]

Neben der eben beschriebenen Form im Ortsraum, kann die Dirac-Gleichung auch im Impulsraum aufgeschrieben werden. Sie lautet dann


\Bigl[  \gamma^\mu p_\mu - m \Bigr]\, \psi(p) = 0\,.

wobei zur Abkürzung die einsteinsche Summenkonvention benutzt wurde. (Diese besagt, dass über gleiche Indizes summiert wird.) In der noch weiter vereinfachten Feynman-Slash-Notation wird das Skalarprodukt mit den Gamma-Matrizen durch einen Slash ausgedrückt. Es gibt sich im Ortsraum:


\Bigl[ i \partial \!\!\!/\ - m \Bigr]\, \psi(x) = 0\,,

und im Impulsraum gilt:


\Bigl[  p\!\!\!/\ - m \Bigr]\, \psi(p) = 0\,.

Eichinvarianz und elektromagnetische Wechselwirkung[Bearbeiten]

Wenn \psi(x) die Dirac-Gleichung löst, dann löst auch der mit einer Phase multiplizierte Spinor \mathrm e^{\mathrm i\,q\,\alpha}\,\psi die Dirac-Gleichung. Da alle physikalisch messbaren Größen mit jedem Faktor \psi auch einen konjugiert komplexen Faktor \psi^* enthalten, sind sie und die Dirac-Gleichung invariant unter dieser Phasentransformation des Dirac-Spinors \psi.

Wird darüber hinaus die Invarianz unter allen Phasentransformationen gefordert, die stetig differenzierbar von Zeit und Ort abhängen,

\psi^\prime(x) =  \mathrm e^{\mathrm i\,q\,\alpha(x)}\,\psi(x)\,,

müssen die partiellen Ableitungen in der Dirac-Gleichung durch eine sogenannte kovariante Ableitung

D_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu} + \mathrm i \,q\,A_\mu

ersetzt werden. Die hier auftretenden vier Funktionen A_\mu heißen in der Physik Viererpotential oder Eichfeld. Mathematisch handelt es sich um eine Konnexion oder einen Zusammenhang. Definiert man das transformierte Eichfeld durch

A_\mu^\prime = A_\mu - \frac{\partial\alpha (x)}{\partial x^\mu}\,,

dann löst \psi die Dirac-Gleichung mit dem Eichfeld A_\mu


\Bigl(  \mathrm i \sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}
- q\, \sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu A_\mu - m \Bigr)\, \psi(x)  = 0

oder in Slash-Notation


\bigl(  \mathrm i \partial \!\!\!/\ - q\, A\!\!\!/\ - m \bigr)\, \psi(x)  = 0

genau dann, wenn der transformierte Dirac-Spinor die Dirac-Gleichung mit dem transformierten Eichfeld erfüllt. Transformationen, deren Parameter so wie hier die Phase \alpha(x) beliebig von Zeit und Ort abhängen dürfen, heißen in der Physik lokale Eichtransformationen.

Bei dem Eichfeld handelt es sich um das skalare Potential Φ und das Vektorpotential \vec{A} der Elektrodynamik,

(A_0,A_1,A_2,A_3)=(\phi, -A_x,-A_y,-A_z)\,.

Wenn man sie wie angegeben transformiert, bleiben die elektrische und magnetische Feldstärke

\vec{E} = - \vec{\nabla} \phi -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\quad \mbox{sowie}\quad\vec{B} = \operatorname{rot} \vec{A}

und alle anderen messbaren Größen unverändert.

Die Dirac-Gleichung mit kovarianter Ableitung und die Elektrodynamik sind invariant unter beliebigen zeit- und ortsabhängigen Transformationen der Phase des Dirac-Spinors. Der Parameter q in der kovarianten Ableitung bestimmt die Stärke der Ankopplung der elektromagnetischen Potentiale an den Dirac-Spinor. Er entspricht dabei genau der elektrischen Ladung des Teilchens.

Die Ersetzung der partiellen Ableitungen in der Dirac-Gleichung durch eine kovariante Ableitung koppelt die elektromagnetischen Potentiale an den Dirac-Spinor. Man spricht dabei von sog. minimaler Kopplung  im Gegensatz zu einem Kopplungsterm wie „magnetische Feldstärke mal Dirac-Spinor“, der auch eichinvariant wäre, aber nicht zur Ergänzung einer Ableitung zu einer kovarianten Ableitung erforderlich ist.

Schrödingerform[Bearbeiten]

Nach Multiplikation mit \gamma^0 kann man wegen (\gamma^0)^2=1 in der Dirac-Gleichung nach der Zeitableitung auflösen und die Dirac-Gleichung in die Form einer Schrödinger-Gleichung bringen,

\mathrm i \frac{\partial }{\partial t}\, \psi = H_{\text{Dirac}} \psi
H_{\text{Dirac}}= \sum_{k=1}^3 \alpha^k(-\mathrm i \frac{\partial }{\partial x^k} - q A^k)  + \gamma^0 m   + q \phi.

Die hier auftretenden 4×4-Matrizen \alpha^k=\gamma^0\,\gamma^k lassen sich kompakt mit Hilfe der Pauli-Matrizen mit Blöcken von 2×2-Matrizen schreiben:

 \alpha^k =  \begin{pmatrix}
    & \sigma^k \\
 \sigma^k   &  
  \end{pmatrix}\,,\,
k\in\{1,2,3\}\,,\quad
\gamma^0 = \begin{pmatrix}
1_{2\times2}  &  \\
  & -1_{2\times2}
  \end{pmatrix}\,.

Der Differentialoperator auf der rechten Seite der Schrödinger-Gleichung ist der zur Dirac-Gleichung gehörige Hamiltonoperator  H_{\text{Dirac}}\,. Die möglichen Energien des Teilchens sind Eigenwerte dieses Hamiltonoperators.

Dabei zeigt die mathematische Untersuchung im Fall eines ungeladenen Teilchens ( q=0), dass das Spektrum positive und negative Werte enthält, ebenso wie man aus der Energie-Impuls-Relation der Klein-Gordon-Gleichung E^2-\vec{p}^{\,2}=m^2 (in natürlichen Einheiten mit  c=1), die positiven und negativen Energiewerte E=\pm \sqrt{m^2+\vec{p}^{\,2}} erhält.

Da Teilchen mit negativer Energie nie beobachtet wurden und da eine Welt mit Teilchen, deren Energien nach oben und nach unten unbeschränkt ist, instabil wäre, postulierte Dirac, dass das Vakuum ein Dirac-See sei, in dem jeder denkbare Zustand negativer Energie schon besetzt sei, so dass weitere Elektronen nur positive Energien annehmen könnten. Füge man diesem Dirac-See genügend Energie, mindestens die Ruheenergie zweier Elektronen, hinzu, so könne man einem See-Elektron positive Energie verleihen und das entstehende Loch verhielte sich wie ein Zustand mit der restlichen, ebenfalls positiven Energie und der fehlenden, entgegengesetzten Ladung. So sagte Dirac die Existenz von Antiteilchen und die Paarerzeugung von Elektron-Positron-Paaren voraus, die ein Jahr später beobachtet wurden.

Die Vorstellung eines Dirac-Sees gilt allerdings heute als unhaltbar [3] und ist durch die Feynman-Stückelberg-Interpretation ersetzt. Sie deutet die Dirac-Gleichung als Gleichung für ein Quantenfeld \psi(x), das ist mathematisch ein Operator, der in den quantenmechanischen Zuständen Teilchen oder Antiteilchen erzeugt oder vernichtet. Die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen während der Wechselwirkung des Elektrons mit dem Proton führt in der Quantenelektrodynamik zu einer kleinen Verschiebung der Energien verschiedener Zustände des Wasserstoffatoms, die ohne diese Erzeugungs- und Vernichtungsvorgänge gleiche Energie hätten. Die berechnete Größe dieser Lamb-Verschiebung stimmt innerhalb der Messgenauigkeit von sechs Stellen mit dem gemessenen Wert überein.

Die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen während der Wechselwirkung des Elektrons mit einem Magnetfeld ändert auch den Dirac-Wert g=2 des gyromagnetischen Faktors. Sie bewirkt ein sogenanntes anomales magnetisches Moment, von dem man auch als g-2-Anomalie spricht. Der in der Quantenelektrodynamik berechnete Wert von g stimmt mit dem gemessenen Wert auf 10 Dezimalstellen überein.

Herleitung des gyromagnetischen Faktors[Bearbeiten]

Wir gehen von der Schrödingerform der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld aus und spalten den Spinor in zwei Zweierspinoren auf. Dabei verwenden wir die Summationskonvention und schreiben die zu einem Indexpaar gehörige Summe nicht aus,

\mathrm i \, \partial_t \,
\begin{pmatrix} \varphi_1\\ \varphi_2\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}  \sigma^k\, \pi^k \,\varphi_2\\ \sigma^k\,  \pi^k \,\varphi_1\end{pmatrix} +q\, \phi \,
\begin{pmatrix}  \varphi_1\\  \varphi_2\end{pmatrix} + m\,
\begin{pmatrix}  \varphi_1\\ - \varphi_2\end{pmatrix}
  mit    \pi^k = -\mathrm i \partial_{x^k} - q\, A^k\,.

Wir unterstellen, dass sich das Teilchen nur langsam bewegt, so dass seine Energie nur wenig größer als die Ruheenergie ist. Das heißt, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruheenergie herrührt,


\begin{pmatrix}  \varphi_1\\  \varphi_2\end{pmatrix}
 = \mathrm e^{-\mathrm i\, m\,t }
\begin{pmatrix}  \varphi\\  \chi\end{pmatrix}\,,

die Zeitableitungen der Zweierspinoren \varphi und \chi klein sind,


\mathrm i \, \partial_t \,
\begin{pmatrix}  \varphi\\  \chi\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\sigma^k\,\pi^k\,  \chi \\  \sigma^k\,\pi^k\,  \varphi\end{pmatrix}
+q\, \phi \,\begin{pmatrix}  \varphi\\  \chi\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}  0\\  -2\,m\, \chi\end{pmatrix}\,.

In der zweiten Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie m\,. Daher ist \chi klein gegen \varphi und ungefähr gleich

\chi \approx \frac{\sigma^k\,\pi^k\,\varphi}{2\,m}\,.

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich


\mathrm i \, \partial_t \, \varphi=  \frac{(\sigma^k\,\pi^k)^2}{2\,m} \,\varphi
+q\, \phi\, \varphi\,.

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

( \sigma^k\,\pi^k)^{\,2}=\sigma^i\,\sigma^j \pi^i \pi^j=
(\delta^{ij}+\mathrm i \varepsilon^{ijk}\sigma^k) \pi^i \pi^j=
\vec{\pi}^2 - q\, \sigma^k\,B^k\,.

Der Spinor \varphi genügt daher der Pauli-Gleichung mit dem nicht-klassischen Wert g=2\,,


\mathrm i \, \partial_t \, \varphi=  \frac{\vec \pi ^{2}}{2\,m} \,\varphi +  q\,\phi\,\varphi -g\,\frac{q}{2\,m}\,S^k\,B^k\,\varphi\,.

Dabei sind S^k = \tfrac{\sigma^k}{2} die Komponenten des Spin-Operators.

Im homogenen Magnetfeld gilt \phi=0\,,\,\vec{A}=\frac{1}{2}\,\vec B \times\vec{x}, und mit p^k = -\mathrm i\,\partial_{x^k}

(\vec p-q \vec A)^2 = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec{x}\times\vec p\cdot \vec{B} = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec L\cdot\vec B\,,

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in \vec{B} sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung


\mathrm i \, \partial_t \, \varphi=  \frac{\vec  p^{\,2}}{2\,m} \,\varphi
-\frac{q}{2\,m}\,(\vec{L} + g\, \vec{S} )\cdot\vec{B}\,\varphi\,.

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls \vec{L} und trägt nicht nur -\tfrac{q\,\hbar }{2\,m}\,\tfrac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B
zur Energie bei. Der Faktor \tfrac{q\,\hbar }{2\,m} ist das Magneton des Teilchens. In Drehimpulseigenzuständen ist \tfrac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke |\vec{B}|. Dagegen ergibt \tfrac{\vec S}{\hbar}\cdot\vec B ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird.[4]

Realisierungen in Hochenergie- und Festkörperphysik[Bearbeiten]

Die Dirac-Gleichung bildet (nach Quantisierung des zugehörigen klassischen Feldes [5]) die Grundlage der Relativistischen Quantenfeldtheorien der Hochenergiephysik. Erst seit wenigen Jahren [6] weiß man, dass auch bei nichtrelativistischen Energien Realisierungen existieren, nämlich bei Graphenen, das sind Schichtsysteme, die mit Graphit zusammenhängen. Und zwar braucht man hier nur den Grenzwert verschwindender Masse (sog. chiraler Limes) m=0 zu betrachten, und es ist zusätzlich die Lichtgeschwindigkeit c durch die Grenzgeschwindigkeit vF des Elektronensystems, die sog. Fermi-Geschwindigkeit zu ersetzen. Als Konsequenz sind bei diesem System Energie E und Impuls p zueinander proportional, E ~ p, während sonst bei nicht-relativistischen Elektronen E ~ p2 ist. Darüber hinaus ergeben sich zahlreiche weitere Besonderheiten.[6]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1.  PAM Dirac: The Quantum Theory of the Electron. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. A, Nr. 778, 1928, S. 610-624, doi:10.1098/rspa.1928.0023 (http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/117/778/610).
  2.  C. D. Anderson: The Positive Electron. In: Physical Review. 43, Nr. 6, 1933, S. 491-494, doi:10.1103/PhysRev.43.491 (PDF).
  3. J. Schwinger, A Report on Quantum Electrodynamics, in 'The Physicist's Conception of Nature', Reidel, Dordrecht, 1973, p. 415
  4. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S; J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls, und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.
  5. Oft spricht man von Zweiter Quantisierung
  6. a b Siehe den Artikel Graphen

Literatur[Bearbeiten]

Artikel[Bearbeiten]

  •  P. A. M. Dirac: The Quantum Theory of the Electron. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 117, Nr. 778, 1. Januar 1928, S. 610–624, doi:10.1098/rspa.1928.0023.
  •  P. A. M. Dirac: The Quantum Theory of the Electron. Part II. In: Royal Society of London Proceedings Series A. 118, 1. Februar 1928, S. 351–361.
  •  P. A. M. Dirac: A Theory of Electrons and Protons. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 126, Nr. 801, 1930, S. 360-–365 (http://www.jstor.org/stable/95359, abgerufen am 25. Februar 2011).
  •  Carl D. Anderson: The Positive Electron. In: Physical Review. 43, Nr. 6, 15. Februar 1933, S. 491–494, doi:10.1103/PhysRev.43.491.

Bücher[Bearbeiten]