65537-Eck

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Die Grafik zeigt als schwarze Linie auf weißem Hintergrund ein mit technischen Mitteln erzeugtes, tatsächliches 65537-Eck; es ist aber mit bloßem Auge von einem Kreis nicht unterscheidbar.
65537-Eck oder Kreis? Erst bei einer Skalierung auf über eine Milliarde Pixel Durchmesser wäre der Unterschied erkennbar

Das 65537-Eck ist eine geometrische Figur aus der Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch 65.537 Punkte, die durch ebenso viele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

Dieser Artikel befasst sich ausschließlich mit dem regelmäßigen 65537-Eck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Es ist in der grafischen Darstellung von einem Kreis praktisch nicht zu unterscheiden (siehe Abbildung rechts).

Konstruktion[Bearbeiten]

Das Besondere am 65537-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Euklidischen Werkzeuge Zirkel und Lineal theoretisch konstruiert werden kann. In der Praxis ist die Konstruktion jedoch unmöglich durchführbar. Die Zahl 65.537 ist die größte bekannte Fermatsche Primzahl:

65.537 = 2^{2^4}+1.

Carl Friedrich Gauß bewies im Jahre 1796, dass ein regelmäßiges Vieleck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz gleich einem Produkt verschiedener Fermatscher Primzahlen ist.

Im Jahr 1894 fand Johann Gustav Hermes nach mehr als zehnjähriger Anstrengung eine Konstruktionsvorschrift für das regelmäßige 65537-Eck und beschrieb diese in einem Manuskript von mehr als 200 Seiten, welches sich heute in einem speziell dafür angefertigten Koffer in der Mathematischen Bibliothek der Georg-August-Universität Göttingen befindet.

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten]

Der Konstruktion liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^{65537}  - 1 = 0 mittels geschachtelter Quadratwurzeln zugrunde. Diese Auflösung geschieht analog zum für das Siebzehneck beschriebenen Weg, wobei wie dort als Primitivwurzel wieder g = 3\ gewählt werden kann.

Proportionen[Bearbeiten]

Winkel[Bearbeiten]

Der Zentriwinkel hat den Wert \tfrac{360^\circ}{65{.}537} \approx 0^\circ 0' 19{,}8'' = 0{,}0055^\circ.

Der Innenwinkel hat den Wert \tfrac{65{.}537 - 2}{65{.}537} \cdot 180^\circ \approx 179^\circ 59' 40{,}2'' = 179{,}9945^\circ = 180^\circ - 0{,}0055^\circ.

Die Grafik zeigt ein Siebzehneck. Es hat deutlich erkennbare Ecken, kommt der Kreisgestalt aber sehr nah.
Bereits ein Siebzehneck nähert sich stark einem Kreis.

Veranschaulichung[Bearbeiten]

Zur Veranschaulichung der Proportionen dieser praktisch nicht darstellbaren Figur mögen folgende Überlegungen dienen:

  • Ob Turmuhr oder Wecker: Ein halber Tag hat 43200 Sekunden. Die Spitze des langsamen Stundenzeigers weist alle zwei Drittel einer Sekunde auf den nächsten 65537-Eck-Eckpunkt am 12-Stunden-Zifferblatt.
  • Was dem Innenwinkel auf 180° fehlt, ist genau der Zentriwinkel einer der 65537 Seiten: etwa 0,0055°. Hebt man eine 10 m lange, ideal biegesteife Stange an einem Ende 1 mm vom ideal planen Boden an, spannt man den praktisch identischen Winkel von 1/10000 (rad) Bogenmaß auf.
  • Wollte man ein 65537-Eck mit einer Seitenlänge von 1 cm zeichnen, hätte dieses einen Durchmesser von mehr als 200 m.
  • Zeichnete man allerdings ein 65537-Eck mit 20 cm Durchmesser auf ein Zeichenblatt, so betrüge die Seitenlänge etwa 1/100 mm, einen Bruchteil des Durchmessers des dünnsten menschlichen Haares.
  • Umschreibt man mit einem 65537-Eck die Erdkugel, so bekommen seine Seiten eine Länge von etwa 600 m; seine Ecken stehen dann nur 7,3 mm von der Erdoberfläche, seinem Inkreis, über.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Johann Gustav Hermes: Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Göttingen, 1894, S. 170–186 (online)

Weblinks[Bearbeiten]