Siebzehneck

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regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck (Heptadekagon) ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, welche durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Hier geht es um das regelmäßige Siebzehneck, welches siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977; Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Dreieck

Der Zentriwinkel α hat einen Wert von \tfrac{360^\circ}{17} \approx 21{,}17647059^\circ.

Das Verhältnis der Länge einer Seite zum Umkreisradius beträgt:

s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}367499035633141

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, das heißt, es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass der Kosinus des Zentriwinkels der Formel

\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)

entspricht, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt.

Im Jahre 1825 veröffentlichte Johannes Erchinger erstmals eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige Siebzehneck in 64 Schritten. Eine animierte Darstellung dieser Konstruktion folgt weiter unten.

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten]

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^{17} - 1 = 0 zugrunde, deren Lösungen − es handelt sich um die 17-ten Einheitswurzeln − in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch von geschachtelten Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der „ersten“ von 1 verschiedenen Lösung \zeta=e^{2\pi i/17}). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[1] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl p gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen 1, \ldots, {p - 1} können nämlich mit einer sogenannten Primitivwurzel g\ in der Form 1, g, g^2, \ldots, g^{p-2} aufgezählt werden, wobei im Fall p = 17\ konkret g = 3\ gewählt werden kann:

1, 3 \cdot 1 = 3, 3 \cdot 3 = 9, 3 \cdot 9 - 17 = 10, 3 \cdot 10 - 17 = 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

\zeta,\ \zeta^3,\ \zeta^9,\ \zeta^{10},\ \zeta^{13},\ \zeta^5,\ \zeta^{15},\ \zeta^{11},\ \zeta^{16},\ \zeta^{14},\ \zeta^8,\ \zeta^7,\ \zeta^4,\ \zeta^{12},\ \zeta^2,\ \zeta^6,

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[2]

  • Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
  • Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
  • Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel \zeta + \zeta^{16} = \zeta + \zeta^{-1}=2cos(2\pi/17).

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form 2^{2^k}+1 durchführen. Fünf solche Primzahlen, die Fermat'sche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Konstruktion[Bearbeiten]

Exakte Konstruktion[Bearbeiten]

exakte Konstruktion
  1. Zeichnen eines großen Kreises k1 (des späteren Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um O,
  2. Zeichnen eines Durchmessers AB,
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m, welche k1 in C und D schneidet,
  4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO,
  5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA,
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels OFA,
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels zwischen m und w1, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G.
  8. Konstruktion der Senkrechten s zu w2 auf dem Punkt F,
  9. Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen s und w2. Schnittpunkt mit AB ist Punkt H.
  10. Konstruktion des Thaleskreises k2 über HA. Die Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  11. Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft. Die Schnittpunkte mit AB sind die Punkte L und N (dabei liegt N sehr nahe am Mittelpunkt M von k2).
  12. Konstruktion einer Tangente zu k3 durch N.

Die Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Ausgangskreis k1 sind die Punkte P3 und P14 des regelmäßigen Siebzehnecks. Mit A = P0 lassen sich durch je siebenmaliges Abtragen des Abstandes d1 in jede Richtung auf dem Kreis alle weiteren Punkte des Siebzehnecks finden.

Variation:

1. bis 5. wie vorher

6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels OFA, Schnittpunkt mit AB ist Punkt Q.

7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels zwischen m und w1, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G.

8. Konstruktion eines Kreises k4 um Q, der durch F verläuft, Schnittpunkt von k4 mit AB ist H.

Weiter mit Schritt 10 der vorherigen Konstruktion.

Animation der Konstruktion Erchingers[Bearbeiten]

Konstruktion des Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal in 64 Schritten nach Johannes Erchinger


Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, S. 101–118.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 9783834807762, S. 68 (online)
  2. Details siehe Bewersdorff, S. 71-74

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Siebzehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien