Siebzehneck

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regelmäßiges Siebzehneck
Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977; Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Dreieck

Das Siebzehneck (Heptadekagon) ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, welche durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Berechnungen ergeben sich aus den allgemeinen Formeln für Polygone.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Seitenlänge s = r_u \sqrt{2 \left(1- \cos \left(\frac{360^\circ}{17}\right)\right)}
Umfang U = r_u 17 \sqrt{2 \left(1- \cos \left(\frac{360^\circ}{17}\right)\right)}
Inkreisradius r_i = r_u \sqrt{\frac{1+ \cos \left(\frac{360^\circ}{17}\right)}{2}}
Fläche A = r_u^2  \frac{17}{2} \sqrt{1 - cos^2\left(\frac{360^\circ}{17}\right) }

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, das heißt, es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass der Kosinus des Zentriwinkels der Formel

\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)

entspricht, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Werte des Siebzehnecks, wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius und Fläche berechnen.

Das Verhältnis der Länge einer Seite zum Umkreisradius beträgt:

s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}367499035633141

Im Jahre 1825 veröffentlichte Johannes Erchinger erstmals eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige Siebzehneck in 64 Schritten. Eine animierte Darstellung dieser Konstruktion folgt weiter unten.

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten]

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^{17} - 1 = 0 zugrunde, deren Lösungen − es handelt sich um die 17-ten Einheitswurzeln − in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch von geschachtelten Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der „ersten“ von 1 verschiedenen Lösung \zeta=e^{2\pi i/17}). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[1] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl p gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen 1, \ldots, {p - 1} können nämlich mit einer sogenannten Primitivwurzel g\ in der Form 1, g, g^2, \ldots, g^{p-2} aufgezählt werden, wobei im Fall p = 17\ konkret g = 3\ gewählt werden kann:

1, 3 \cdot 1 = 3, 3 \cdot 3 = 9, 3 \cdot 9 - 17 = 10, 3 \cdot 10 - 17 = 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

\zeta,\ \zeta^3,\ \zeta^9,\ \zeta^{10},\ \zeta^{13},\ \zeta^5,\ \zeta^{15},\ \zeta^{11},\ \zeta^{16},\ \zeta^{14},\ \zeta^8,\ \zeta^7,\ \zeta^4,\ \zeta^{12},\ \zeta^2,\ \zeta^6,

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[2]

  • Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
  • Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
  • Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel \zeta + \zeta^{16} = \zeta + \zeta^{-1} = 2 \cos(2\pi/17).

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form 2^{2^k}+1 durchführen. Fünf solche Primzahlen, die Fermat'sche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Konstruktion[Bearbeiten]

Exakte Konstruktion[Bearbeiten]

exakte Konstruktion
  1. Zeichnen eines großen Kreises k1 (des späteren Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um O,
  2. Zeichnen eines Durchmessers AB,
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m, welche k1 in C und D schneidet,
  4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO,
  5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA,
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels OFA,
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels zwischen m und w1, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G.
  8. Konstruktion der Senkrechten s zu w2 auf dem Punkt F,
  9. Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen s und w2. Schnittpunkt mit AB ist Punkt H.
  10. Konstruktion des Thaleskreises k2 über HA. Die Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  11. Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft. Die Schnittpunkte mit AB sind die Punkte L und N (dabei liegt N sehr nahe am Mittelpunkt M von k2).
  12. Konstruktion einer Tangente zu k3 durch N. Die Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Ausgangskreis k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des regelmäßigen Siebzehnecks.
  13. Verbindung des Punktes A mit Eckpunkt P3 ist die Sehne d1 vom Kreis k1.
  14. Mit A gleich Eckpunkt P0 lassen sich durch je siebenmaliges Abtragen der Sehne d1 auf dem Kreis k1, ab dem Eckpunkt P3 entgegen dem Uhrzeigersinn bzw. ab dem Eckpunkt P14 im Uhrzeigersinn, alle weiteren Eckpunkte des Siebzehnecks finden.

Variation[Bearbeiten]

-Siebzehneck-Variation

Maßgebender Unterschied zum Original:

(Einige Bezeichnungen sind geändert.)

  • Ohne Winkelhalbierende w3, der Kreis k2 bestimmt den Punkt H.
  • Kreis k4 um den Punkt G' (Spiegelung des Punktes G) ergibt den gut erkennbaren Punkt N für die Konstruktion der Tangente.

Konstruktionsbeschreibung:

  1. bis 4. wie vorher
  2. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FB.
  3. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels OFB, Schnittpunkt mit AB ist Punkt Q.
  4. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels OFQ, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G.
  5. Spiegelung des Punktes G an die Senkrechte m, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G'.
  6. Konstruktion eines Kreises k2 um Q, der durch F verläuft, Schnittpunkt mit AB ist H.
  7. Konstruktion des Thaleskreises k3 über HB. Die Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  8. Konstruktion eines Kreises k4 um G', der durch J und K verläuft. Die Schnittpunkte mit AB sind die Punkte L und N.
  9. Konstruktion einer Tangente zu k4 durch N. Die Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Ausgangskreis k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die abschließenden Konstruktionsschritte sind gleich wie vorher.

Animation der Konstruktion Erchingers[Bearbeiten]

Konstruktion des Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal in 64 Schritten nach Johannes Erchinger


Exakte Konstruktion mit gegebener Seite[Bearbeiten]

  • Konzentrisch integriert ist ein Auszug der Konstruktion Siebzehneck mit gegebenem Umkreis, Ausführung Variation.
Die Arbeitsschritte 5. bis 13. sind daraus auszugsweise übernommen und passend zum Fortschritt der Konstruktion geändert.
01-Siebzehneck-Seite-gegeben-2
  1. Zeichnen einer horizontalen Geraden g1 die durch Punkt O verläuft.
  2. Zeichnen eines Kreises k0 um O, Durchmesser ist die gegebene Seite s, Schnittpunkte mit g1 sind A1 und B1.
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m, Schnittpunkte mit k0 sind C1 und F.
  4. Zeichnen von C1F, entspricht der gegebenen Seite s.
  5. Abtragen der Strecke FO auf die Senkrechte m, dreimal ab Punkt F, Schnittpunkte mit m sind E, R und D.
  6. Zeichnen eines Kreises k1 um O, der durch D verläuft, Schnittpunkte mit der Geraden g1 sind A und B, Schnittpunkt mit m ist C.
  7. Zeichnen von FB.
  8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels OFB, Schnittpunkt mit AB ist Q.
  9. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels OFQ, Schnittpunkt mit AB ist G.
  10. Spiegelung des Punktes G an die Senkrechte m, Schnittpunkt mit AB ist G'.
  11. Zeichnen eines Kreises k2 um Q, der durch F und C1 verläuft, Schnittpunkt mit AB ist H.
  12. Konstruktion des Thaleskreises k3 über HA, Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  13. Konstruktion eines Kreises k4 um G', der durch J und K verläuft, Schnittpunkte mit AB sind L und N.
  14. Konstruktion einer Parallelen zur Strecke OC ab Punkt N, Schnittpunkt mit k1 ist U.
  15. Verbindung des Punktes A mit Punkt U ist die Sehne d1 vom Kreis k1.
  16. Abtragen der Sehne d1 auf Kreis k1, dreimal im Uhrzeigersinn ab Punkt B, Schnittpunkte mit k1 sind P14, P11 und P8 (dieser Punkt P8 entspricht P8 in der Konstruktion mit gegebenem Umkreis, wenn Punkt B gleich P0 oder Punkt B gleich P17 ist).
  17. Zeichnen einer Geraden ab Punkt O durch P8.
  18. Konstruktion einer Parallelen zur Strecke AB ab Punkt F, Schnittpunkt mit der Geraden durch P8 ist der Eckpunkt E8 des entstehenden Siebzehnecks.
  19. Zeichnen eines Kreises k5 um O, der durch E8 verläuft, Schnittpunkt mit der Geraden g1 ist der Eckpunkt E17 des entstehenden Siebzehnecks.
  20. Konstruktion einer Parallelen zu AB ab Punkt C1, Schnittpunkt mit k5 ist der Eckpunkt E9.
  21. Zeichnen von O E9, Schnittpunkt mit k1 ist der Punkt P9 (dieser Punkt P9 entspricht P9 in der Konstruktion mit gegebenem Umkreis, wenn Punkt B gleich P0 oder Punkt B gleich P17 ist).
  22. Zeichnen von E8 E9, entspricht der gegebenen Seite s.
  23. Abtragen der Seite s auf dem Umkreis k5, vierzehnmal gegen den Uhrzeigersinn ab Eckpunkt E17.

Die Verbindungen der benachbarten Eckpunkte miteinander ergeben das regelmäßige Siebzehneck E1 bis E17.

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

1.0 Ähnliche Dreiecke

1.1 In der Konstruktion mit gegebenem Umkreis ist \mathbf{\triangle {P_8OP_9} \sim \triangle{E_8OE_9}} in der Konstruktion mit gegebener Seite.
1.2 Aufgrund der ähnlichen Dreiecke (aus 1.1) gilt:

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, S. 101–118.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 9783834807762, S. 68 (online)
  2. Details siehe Bewersdorff, S. 71-74

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Siebzehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien