Bonferroni-Ungleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni[Bearbeiten]

Die Bonferroni-Ungleichungen werden nicht unbedingt zurecht nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.[1]

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.[2]

Die erste der folgenden Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolesche Ungleichung bezeichnet; oft werden die Ungleichungen aber auch ohne Namensbezug genannt.

Erste Ungleichung[Bearbeiten]

Im Folgenden seien E_i beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal{A},\Pr). Es bezeichne \Pr(E_i) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E_i und \bigcup_{i=1}^nE_i die Vereinigungsmenge der Ereignisse E_1,\dots,E_n. Dann gilt:


\Pr\left( \bigcup_{i=1}^nE_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \Pr\left(E_i\right)
.

Es gilt auch allgemeiner:


\Pr\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i \right) \leq \sum_{i=1}^\infty \Pr\left(E_i\right)

Diese Ungleichungen werden auch Boolesche Ungleichungen genannt.

Beweis[Bearbeiten]

Setzt man

A_i = E_i \setminus \left(\bigcup_{j=1}^{i-1} E_j\right),

dann sind die A_i paarweise disjunkt und es gilt

\bigcup_i A_i = \bigcup_i E_i.

Damit folgt

\Pr\left(\bigcup_i E_i\right) = \Pr\left(\bigcup_i A_i\right) = \sum_i \Pr(A_i) \leq \sum_i \Pr(E_i).

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen A_i \subseteq E_i und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.[3]

Zweite Ungleichung[Bearbeiten]

Im Folgenden seien wieder E_i beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,  \mathcal{A},\Pr). Ferner bezeichne  \overline{E_i} = \Omega \setminus E_i das Komplement von  E_i . Dann folgt:


\Pr\left(\bigcap_{i=1}^nE_i\right) \geq 1-\sum_{i=1}^n \Pr\left(\overline{E_i}\right)

Beispiele[Bearbeiten]

  • Sei \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne E_1=\{2,4,6\} das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und E_2=\{5,6\} das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfeln. Offensichtlich gilt \Pr(E_1) = \frac{1}{2} und \Pr(E_2) = \frac{1}{3}. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln

\Pr \left( E_1 \cup E_2 \right)
\leq \Pr \left( E_1 \right) + \Pr \left( E_2 \right) 
= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .
  • Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln

\Pr \left( E_1 \cap E_2 \right)
\geq 1 - \Pr \left( \overline{E_1} \right) - \Pr \left( \overline{E_2} \right) 
= 1 - (1-\frac{1}{2}) - (1-\frac{1}{3}) = - \frac{1}{6}
Das Ergebnis liefert also keine brauchbare Aussage, da jede Wahrscheinlichkeit ohnehin größer oder gleich Null ist. Für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln folgt jedoch

\Pr \left( E_1 \cap \overline{E_2} \right)
\geq 1 - \Pr \left( \overline{E_1} \right) - \Pr \left( E_2 \right) 
= 1 - (1-\frac{1}{2}) - (1-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} .

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129.
  2.  J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
  3. Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7. S. 15.