Paraboloid

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Elliptisches Paraboloid
Hyperbolisches Paraboloid

Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik) und wird in den einfachsten Fällen entweder durch eine Gleichung

  • P1\colon z=x^2+y^2, elliptisches Paraboloid, oder
  • P2\colon z=x^2-y^2, hyperbolisches Paraboloid,

beschrieben.

Offensichtlich enthalten beide Flächen viele Parabeln als ebene Schnitte (s. u.). Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:

  • P1 besitzt als Höhenschnitte (z=\text{const}) Kreise.
  • P2 besitzt als Höhenschnitte Hyperbeln oder Geraden (für z=0).

Eigenschaften von P1[Bearbeiten]

Rotationsparaboloid mit Parabeln und Höhenkreisen

Tangentialebenen an P1[Bearbeiten]

Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) an den Graphen einer differenzierbaren Funktion f hat die Gleichung

z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).

Für f(x,y)=x^2+y^2 ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (x_0,y_0,x_0^2+y_0^2)

z=2x_0x+2y_0y-(x_0^2+y_0^2).

Ebene Schnitte von P1[Bearbeiten]

Das elliptische Paraboloid P1 ist eine Rotationsfläche und entsteht durch Rotation der Parabel z=x^2 um die z-Achse. Ein ebener Schnitt von P1 ist:

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur z-Achse) ist.
  • eine Ellipse oder ein Punkt oder leer, falls die Ebene nicht senkrecht ist. Eine horizontale Ebene schneidet P1 in einem Kreis.
  • ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist.

Affine Bilder von P1[Bearbeiten]

Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von P1. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den Gleichungen

P1_{ab}\colon z=\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2},\ a,b >0.

P1_{ab} besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten Ebene in einer Parabel geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls a\ne b gilt.

P1_{ab} ist

  • symmetrisch zu den xz- bzw. yz-Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur z-Achse, d. h. (x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z) lässt P1_{ab} invariant.
  • rotationssymmetrisch, falls a= b ist.

Bemerkung:

  1. Ein Rotationsparaboloid (d. h. a=b) hat als Parabolspiegel große technische Bedeutung, da alle Parabeln mit der Rotationsachse als Achse denselben Brennpunkt besitzen.
  2. Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz Paraboloid genannt.
  3. Ein elliptisches Paraboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent (s. projektive Quadrik).

Eigenschaften von P2[Bearbeiten]

hyperbolisches Paraboloid: Parabeln, Geraden
hyperbolisches Paraboloid: Geraden

Tangentialebenen an P2[Bearbeiten]

Für f(x,y)=x^2-y^2 ist die Gleichung der Tangentialebene (s. o.) im Punkt (x_0,y_0,x_0^2-y_0^2)

z=2x_0x-2y_0y-x_0^2+y_0^2.

Ebene Schnitte von P2[Bearbeiten]

P2 ist (im Gegensatz zu P1) keine Rotationsfläche. Aber wie bei P1 sind bei P2 auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte Parabeln:

Der Schnitt einer Ebene mit P2 ist

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur z-Achse) ist und eine Gleichung ax+by+c=0, a\ne \pm b hat.
  • eine Gerade, falls die Ebene senkrecht ist und eine Gleichung y=\pm x+c hat.
  • ein sich schneidendes Geradenpaar, falls die Ebene eine Tangentialebene ist (s. Bild).
  • eine Hyperbel, falls die Ebene nicht senkrecht und keine Tangentialebene ist (s. Bild).

Bemerkung:

  1. Die Schnittparabeln mit Ebenen parallel zur xz- oder yz-Ebene sind alle kongruent zur Normparabel z=x^2.
  2. Eine nicht senkrechte Ebene, die eine Gerade enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine Tangentialebene.
  3. Da die Fläche P2 Geraden enthält, ist sie eine Regelfläche.
  4. Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (wie Zylinder und Kegel), ist aber nicht abwickelbar (wie Zylinder und Kegel), da die Gaußkrümmung in jedem Punkt nicht 0 ist. Die Gaußkrümmung ist überall <0. (Bei einer Kugel ist die Gaußkrümmung überall >0.) Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine Sattelfläche.
  5. Durch eine Drehung des Koordinatensystems um die z-Achse um 45 Grad geht die Gleichung z=x^2-y^2 in die einfachere Gleichung z=2xy über.
hyperbolisches Paraboloid mit Hyperbeln als Höhenschnitte
Bahnhof von Warszawa Ochota, Beispiel eines hyperbolischen Paraboloids als Dach

Affine Bilder von P2[Bearbeiten]

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von P2. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den Gleichungen

P2_{ab}:\ z=\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2},\ a,b >0.

P2_{ab} ist

  • symmetrisch zu den xz- bzw. yz-Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur z-Achse, d. h. (x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z) lässt P2_{ab} invariant.

Bemerkung:

  1. Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (s. Bild), da sie leicht mit Geraden (Balken) modelliert werden können.
  2. Ein hyperbolisches Paraboloid ist projektiv zum einschaligen Hyperboloid äquivalent.

Grenzfläche zwischen Scharen von elliptischen und hyperbolischen Paraboloiden[Bearbeiten]

ellipt. Paraboloid, parabol. Zylinder (Grenzfläche), hyperbol. Paraboloid

Lässt man in den Gleichungen

z=x^2 + \frac{y^2}{b^2} (Schar von elliptischen Paraboloiden)

und

z=x^2 - \frac{y^2}{b^2} (Schar von hyperbolischen Paraboloiden)

den Parameter  b gegen \infty laufen, so erhält man die Gleichung der gemeinsamen Grenzfläche

 z=x^2.

Dies ist die Gleichung eines Zylinders mit einer Parabel als Querschnitt (parabolischer Zylinder), s. Bild.

Formeln für ein Rotationsparaboloid[Bearbeiten]

Die Formeln gelten für ein Rotationsparaboloid, das von einer zur z-Achse senkrechten Ebene (xy-Ebene) in der Höhe h abgeschnitten wird. Der Schnittkreis besitzt den Radius r.

Volumen 
V = \frac{\pi}{2} \cdot r^2 \cdot h
Oberfläche (ohne Deckkreisfläche)
 A_O = \frac{\pi r}{6 h^2} \cdot \left[ \left( r^2+4 h^2\right)^{\frac{3}{2}} - r^3 \right]
Höhe des Schwerpunkts
h_S = \frac{2}{3}\cdot h

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Paraboloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien