Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen

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Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (auch: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen oder Cauchy-Riemann-Gleichungen) im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reell-wertiger Funktionen. Sie schlagen eine Brücke von den reell-differenzierbaren Funktionen \R^2 \rightarrow \R^2 zu den komplex-differenzierbaren der (komplexen) Funktionentheorie \C \rightarrow \C.

Zum ersten Mal tauchen sie 1752 bei d'Alembert auf[1]. Euler verband dieses System 1777 mit den analytischen Funktionen[2]. Im genuin funktionentheoretischen Kontext erscheinen sie 1814 bei Cauchy[3] und 1851 in Riemanns Dissertation[4].

Definition[Bearbeiten]

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen u,v \colon \R^2 \rightarrow \R in zwei reellen Variablen  x,\,y:

\left.\begin{align} 
\frac{\partial u}{\partial x}(x, y) &= \frac{\partial v}{\partial y}(x, y) & \qquad \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x, y) &= -\frac{\partial v}{\partial x}(x, y) & \qquad 
\end{align}\right\} (CRDG)

Hauptanwendung[Bearbeiten]

1:1 Entsprechung[Bearbeiten]

Sei U eine offene Teilmenge, z. B. ein Gebiet, \subset \C und f \colon U \rightarrow \C eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen. Wir bilden die kanonische Entsprechung \C \longleftrightarrow \R^2 als Erstes auf der Argumentseite zu z=:x+\mathrm{i}y durch die Setzung x:=\operatorname{Re}(z), \;y:=\operatorname{Im}(z) \in \R und zu U durch

\tilde{U} := \{(x,y)\in\R^2\ |\ x+\mathrm{i}y \in U\};

als Zweites auf der Seite der Funktionswerte zu f(z)=:u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y) durch die 2 reellwertigen Funktionen u(x,y):=\operatorname{Re}(f(z)), \; v(x,y):=\operatorname{Im}(f(z)) \;\; \colon \tilde{U} \rightarrow \R. Schließlich sei

\tilde{f} : \tilde{U} \rightarrow \R^2 mit \tilde{f}(x,y) := (u(x,y), v(x,y))

die Entsprechung zu f.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Theorem:
    Eine Funktion f ist in U komplex differenzierbar genau dann, wenn ihre Entsprechung \tilde{f} in \tilde{U} partielle Ableitungen besitzt und diese die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.
  • Das Theorem klärt den Zusammenhang zwischen der komplexen Differenzierbarkeit von f und der (reellen) Differenzierbarkeit von \tilde{f}.
  • Das Theorem hilft beim Beweis des cauchyschen Integralsatzes.
  • Insgesamt ergibt sich in der (komplexen) Funktionentheorie eine Äquivalenz der Begriffe komplex differenzierbar, holomorph, analytisch (beliebig oft differenzierbar) und integrierbar mit Unabhängigkeit des Integrals vom Integrationsweg.
  • Mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen kann man zeigen, dass u und v harmonische Funktionen sind, sofern f holomorph ist.

Herleitung[Bearbeiten]

Wenn f in U komplex differenzierbar ist, dann existiert

f'(z_{0})=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})=\lim_{\underset{h\in\C}{h\to0}}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}

für jedes z_0\in U. Wir können die partiellen Ableitungen nach x,y\in\tilde{U} mit Hilfe der Kettenregel auf Ableitungen nach z=x+\mathrm{i}y zurückführen:

\frac{\partial f}{\partial x}(z_{0})=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})}_{f'(z_{0})}\underbrace{\frac{\partial z}{\partial x} (z_{0}) }_{1}=f'(z_{0})
\frac{\partial f}{\partial y}(z_{0})=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})}_{f'(z_{0})}\underbrace{\frac{\partial z}{\partial y} (z_{0}) }_{\mathrm{i}}=\mathrm{i}f'(z_{0})

Mit f=u+\mathrm{i}v folgt aus diesen beiden Beziehungen:

\begin{align}
f'(z_{0}) &= \frac{\partial f}{\partial x}(z_{0}) = \frac{\partial u}{\partial x}(z_{0}) +\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}(z_{0}) \\
\mathrm{i} f'(z_{0}) &= \frac{\partial f}{\partial y}(z_{0}) = \frac{\partial u}{\partial y}(z_{0}) +\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial y}(z_{0}) \\
\end{align}

Die zweite Zeile wird mit \tfrac{1}{\mathrm i}=-\mathrm i umgeformt zu:

\begin{align}
f'(z_{0}) \; &= -\mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial y}(z_{0}) = -\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}(z_{0}) +\frac{\partial v}{\partial y}(z_{0}) &= \frac{\partial v}{\partial y}(z_{0}) -\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}(z_{0}) & \\
\end{align}

Da die rechten Seiten in Real- und Imaginärteil aufgeteilt sind, erhält man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRDG):

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}

Polarkoordinaten[Bearbeiten]

Natürlich kann man die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen auch in anderen Koordinaten als den kartesischen darstellen. Im Folgenden wird die Darstellung in Polarkoordinaten erläutert. Eine Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform ist z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}. Dies führt dazu, dass man die partiellen Ableitungen von f nach r beziehungsweise \phi zu betrachten hat. Für diese gilt

\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial f}{\partial z}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f'\, \quad\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{\partial z}{\partial\phi}\frac{\partial f}{\partial z}=\mathrm{i}r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f'.

Daraus folgt mit f=u+\mathrm{i}v:

0=\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}}{r}\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}^{2}}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}=\left(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial v}{\partial r}\right).

Da beide Klammern verschwinden müssen, gilt:

\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}

und

\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}.

Dies sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten.

Interpretation und alternative Betrachtungen[Bearbeiten]

Konforme Abbildungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Konforme Abbildung

Die komplexe Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist

0=f'+\mathrm{i}^{2}f'=\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}\quad \Rightarrow\quad \mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}

Diese Form der Gleichung entspricht der Forderung, dass in der Matrixdarstellung der komplexen Zahlen die Jacobi-Matrix die folgende Struktur hat

\left[\begin{array}{lr} a & -b\\ b & a\end{array}\right]     mit     a=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad b=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}

Die zu diesen Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern a und b nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum \R^2, dabei ist a=r\,\cos(\phi) und b=r\,\sin(\phi), wobei r\neq 0 der Skalierungsfaktor und \phi der Drehwinkel ist. Diese Abbildung ist somit winkeltreu; das heißt der Winkel zwischen zwei Kurven in der Ebene bleibt erhalten. Funktionen, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, sind also konform.

Der Cauchy-Riemann-Operator[Bearbeiten]

Hauptartikel: Wirtinger-Kalkül

In diesem Abschnitt wird eine kompaktere Schreibweise der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aufgezeigt. Dabei wird ersichtlich, dass in z holomorphe Funktionen unabhängig vom komplex konjugierten \bar{z} sein müssen.

Eine komplexe Zahl z und ihre komplex konjugierte \bar z hängen mit Realteil x und Imaginärteil y mittels der Gleichungen

\begin{align}
z & =x+\mathrm{i}y\ , \ & \bar{z} & =x-\mathrm{i}y\\
x & =\frac{z+\bar{z}}{2}\ , \  & y & =\frac{z-\bar{z}}{2\mathrm{i}}
\end{align}

zusammen.

Aufgrund dieses Zusammenhangs erscheint es sinnvoll die Differentialoperatoren

\begin{align}\partial:=\frac{\partial}{\partial z} & =\frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial y}\Bigr)\\
\bar{\partial}:=\frac{\partial}{\partial\bar{z}} & =\frac{\partial x}{\partial\bar{z}}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial\bar{z}}\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial y}\Bigr)\end{align}

zu definieren. Der Operator \bar{\partial} heißt Cauchy-Riemann-Operator und der Kalkül dieser Operatoren wird Wirtinger-Kalkül genannt. Mit der komplexe Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus dem vorigen Abschnitt erhält man die Gleichung

0=\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}=2\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=2\bar{\partial}f \,.

Hier konnte die partielle Ableitung nach der komplex konjugierten Variable identifiziert werden. Die Gleichung

\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0   bzw.   \bar{\partial}f = 0

ist eine alternative Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und bedeutet, dass wenn f holomorph ist, es unabhängig von \bar{z} sein muss. Somit können analytische Funktionen als wirkliche Funktionen einer komplexen Variable anstatt einer komplexen Funktion von zwei reellen Variablen angesehen werden.

Physikalische Interpretation[Bearbeiten]

Diese Interpretation verwendet nicht direkt komplexe Variablen. Es sei eine Funktion f gegeben mit f=u-\mathrm{i}v. Die skalaren Felder u und v sollen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen (beachte andere Vorzeichenkonvention):

\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}

Betrachte nun das Vektorfeld \vec{f} als reeller dreikomponentiger Vektor:

\vec{f} = \begin{bmatrix}u\\ v\\ 0\end{bmatrix}

Dann beschreibt die erste Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung die Quellenfreiheit:

0=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=\mathrm{div}\cdot\vec{f}

und die zweite Gleichung beschreibt die Rotationsfreiheit:

0=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=[\mathrm{rot}\cdot\vec{f}]_{3}

Somit ist \vec f quellenfrei und besitzt ein Potential. In der Hydrodynamik beschreibt solch ein Feld eine Potentialströmung.

Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in einer Veränderlichen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat die Darstellung

 \bar{\partial} u = f,

dabei ist \bar{\partial} der Cauchy-Riemann-Operator, f ist eine gegebene Funktion und u ist die gesuchte Lösung. Dass \bar{\partial} u = 0 den oben definierten homogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht, wird weiter oben im Artikel schon angesprochen. Die Theorie der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung ist für Lösungen in \C verschieden von Lösungen in \C^n mit n > 1 und wird hier in zwei unterschiedlichen Abschnitten angerissen.

Fundamentallösung[Bearbeiten]

Für Dimension n=1 ist die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators \textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} durch \textstyle \frac{1}{\pi z} gegeben. Das heißt die durch die Funktion \textstyle u(z) = \frac{1}{\pi z} erzeugte Distribution löst die Gleichung \textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} u(z) = \delta, wobei \delta die Delta-Distribution ist. Sei \textstyle \phi \in C_c^\infty(\C) eine glatte Testfunktion mit kompaktem Träger, dann sieht man die Gültigkeit der Aussage aufgrund

\begin{align}
\left( \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{1}{z},\phi \right)_{\mathcal{D} \times \mathcal{D}'} &= - \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\C} \frac{1}{z} \,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\phi(z) \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\
&= - \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\C \backslash B_\epsilon} 
\left( \frac{1}{z} \,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\phi(z) + \phi(z)\,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\frac{1}{z}\right) \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\
&=- \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\C \backslash B_\epsilon} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\phi(z)}{z}  \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}}  \frac{2\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} \int_{\R^2 \backslash B_\epsilon} \left( i\frac{\partial}{\partial x}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x+\mathrm{i}y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x+\mathrm{i}y} \right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\partial B_\epsilon} \left( \frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x + \mathrm{i}y} \mathrm{d} x + \mathrm{i}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x + \mathrm{i}y} \mathrm{d} y\right)\\
&= \lim_{\epsilon \to 0}  \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\partial B_\epsilon} \frac{\phi(z)}{z} \mathrm{d} z\\
&= \pi \phi(0).
\end{align}

Integraldarstellung[Bearbeiten]

Für f \in C^k(\C) mit k\geq 1 erhält man mit

u(\zeta) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_\C \frac{f(z)}{z - \zeta} \mathrm{d} z \mathrm{d} \bar{z}

eine Lösung der inhomogenen cauchy-riemannschen Differentialgleichung \bar{\partial} u = f mit u \in C^k(\C).

Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veränderlichen[Bearbeiten]

Im Folgenden sei n \in \N die Dimension des zugrundeliegenden Raum beziehungsweise die Anzahl der Komponenten einer Funktion.

Definition[Bearbeiten]

Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat in mehreren Veränderlichen ebenfalls die Darstellung

 \bar{\partial} u = f,

dabei ist \bar{\partial} der Dolbeault-Quer-Operator, f = (f_1, \ldots , f_n) ist eine gegebene (0,1)-komplexe Differentialform mit kompaktem Träger und u ist die gesuchte Lösung. Explizit bedeutet dies, dass das System

\frac{\partial u}{\partial \bar{z}_j} = f_j

von partiellen Differentialgleichungen für j = 1 , \ldots , n gelöst werden muss. Der Differentialoperator \tfrac{\partial}{\partial \bar{z}_j} ist der Cauchy-Riemann-Operator.

Notwendige Bedingung[Bearbeiten]

Für n > 1 ist die Voraussetzung \bar{\partial} f = 0 notwendig. Man sieht dies, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung den Dolbeault-Quer-Operator anwendet. So erhält man nämlich \bar{\partial} \bar{\partial} u = \bar{\partial} f, da für den Dolbeault-Operator auf Differentialformen \bar{\partial} \bar{\partial} = 0 gilt, muss \bar{\partial} f = 0 gelten. Da f eine (0,1)-Form ist, bedeutet \bar{\partial} f = 0 nicht, dass f eine holomorphe Differentialform ist, denn nur (p,0)-Formen, die diese Gleichung erfüllen, heißen holomorph.

Existenzaussage[Bearbeiten]

Sei f = (f_1, \ldots , f_n) eine (0,1)-Form mit \bar{\partial} f = 0 und f_j \in C_c^k(\C^n). Dann existiert eine Funktion u \in C_c^k(\C^n), so dass die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung \bar{\partial} u = f erfüllt ist.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. 1. Band. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4 (Springer-Lehrbuch).
  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. 2. revised edition. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X (North-Holland mathematical Library 7).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. J. d'Alembert: Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. 1752.
  2. L. Euler: Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. In: Nova Acta Acad. Sci. Petrop.. 10, 1797, S. 3–19.
  3. A.L. Cauchy: Mémoire sur les intégrales définies. 1, 1814, S. 319–506.
  4. B. Riemann: Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. .