Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen

Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (auch: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen oder Cauchy-Riemann-Gleichungen) im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reell-wertiger Funktionen. Sie schlagen eine Brücke von den reell-differenzierbaren Funktionen $\R^2 \rightarrow \R^2$ zu den komplex-differenzierbaren der (komplexen) Funktionentheorie $\C \rightarrow \C$.

Zum ersten Mal tauchen sie 1752 bei d'Alembert auf. Euler verband dieses System 1777 mit den analytischen Funktionen. Im genuin funktionentheoretischen Kontext erscheinen sie 1814 bei Cauchy und 1851 in Riemanns Dissertation.

Definition

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen $u,v \colon \R^2 \rightarrow \R$ in zwei reellen Variablen  $x,\,y$:

$\left.\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}(x, y) &= \frac{\partial v}{\partial y}(x, y) & \qquad \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x, y) &= -\frac{\partial v}{\partial x}(x, y) & \qquad \end{align}\right\}$ (CRDG)

Hauptanwendung

1:1 Entsprechung

Sei $U$ eine offene Teilmenge, z. B. ein Gebiet, $\subset \C$ und $f \colon U \rightarrow \C$ eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen. Wir bilden die kanonische Entsprechung $\C \longleftrightarrow \R^2$ als Erstes auf der Argumentseite zu $z=:x+\mathrm{i}y$ durch die Setzung $x:=\operatorname{Re}(z), \;y:=\operatorname{Im}(z) \in \R$ und zu $U$ durch

$\tilde{U} := \{(x,y)\in\R^2\ |\ x+\mathrm{i}y \in U\}$;

als Zweites auf der Seite der Funktionswerte zu $f(z)=:u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$ durch die 2 reellwertigen Funktionen $u(x,y):=\operatorname{Re}(f(z)), \; v(x,y):=\operatorname{Im}(f(z)) \;\; \colon \tilde{U} \rightarrow \R$. Schließlich sei

$\tilde{f} : \tilde{U} \rightarrow \R^2$ mit $\tilde{f}(x,y) := (u(x,y), v(x,y))$

die Entsprechung zu $f$.

Eigenschaften

• Theorem:
  Eine Funktion $f$ ist in $U$ komplex differenzierbar genau dann, wenn ihre Entsprechung $\tilde{f}$ in $\tilde{U}$ partielle Ableitungen besitzt und diese die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.
• Das Theorem klärt den Zusammenhang zwischen der komplexen Differenzierbarkeit von $f$ und der (reellen) Differenzierbarkeit von $\tilde{f}$.
• Das Theorem hilft beim Beweis des cauchyschen Integralsatzes.
• Insgesamt ergibt sich in der (komplexen) Funktionentheorie eine Äquivalenz der Begriffe komplex differenzierbar, holomorph, analytisch (beliebig oft differenzierbar) und integrierbar mit Unabhängigkeit des Integrals vom Integrationsweg.
• Mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen kann man zeigen, dass $u$ und $v$ harmonische Funktionen sind, sofern $f$ holomorph ist.

Herleitung

Wenn $f$ in $U$ komplex differenzierbar ist, dann existiert

$f'(z_{0})=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})=\lim_{\underset{h\in\C}{h\to0}}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$

für jedes $z_0,z_0+h\in U$. Wir können die partiellen Ableitungen nach $x,y\in\tilde{U}$ mit Hilfe der Kettenregel auf Ableitungen nach $z=x+\mathrm{i}y$ zurückführen:

$\frac{\partial f}{\partial x}(z_{0})=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})}_{f'(z_{0})}\underbrace{\frac{\partial z}{\partial x} (z_{0}) }_{1}=f'(z_{0})$

$\frac{\partial f}{\partial y}(z_{0})=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})}_{f'(z_{0})}\underbrace{\frac{\partial z}{\partial y} (z_{0}) }_{\mathrm{i}}=\mathrm{i}f'(z_{0})$

Mit $f=u+\mathrm{i}v$ folgt aus diesen beiden Beziehungen:

$\begin{align} f'(z_{0}) &= \quad \frac{\partial f}{\partial x} &= \quad \frac{\partial u}{\partial x} +\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x} & \\ \mathrm{i} f'(z_{0}) &= \quad \frac{\partial f}{\partial y} &= \quad \frac{\partial u}{\partial y} +\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial y} & \\ \end{align}$

Die zweite Zeile wird mit $\tfrac{1}{\mathrm i}=-\mathrm i$ umgeformt zu:

$\begin{align} f'(z_{0}) \; &= -\mathrm{i} \frac{\partial f}{\partial y} &= -\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{\partial v}{\partial y} -\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y} & \\ \end{align}$

Da die rechten Seiten in Real- und Imaginärteil aufgeteilt sind, erhält man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRDG):

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$

Polarkoordinaten

Natürlich kann man die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen auch in anderen Koordinaten als den kartesischen darstellen. Im Folgenden wird die Darstellung in Polarkoordinaten erläutert. Eine Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform ist $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}$. Dies führt dazu, dass man die partiellen Ableitungen von $f$ nach $r$ beziehungsweise $\phi$ zu betrachten hat. Für diese gilt

$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial f}{\partial z}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f'\, \quad\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{\partial z}{\partial\phi}\frac{\partial f}{\partial z}=\mathrm{i}r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f'.$

Daraus folgt mit $f=u+\mathrm{i}v$:

$0=\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}}{r}\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}^{2}}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}=\left(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial v}{\partial r}\right).$

Da beide Klammern verschwinden müssen, gilt:

$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}$

und

$\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}.$

Dies sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten.

Interpretation und alternative Betrachtungen

Konforme Abbildungen

→ Hauptartikel: Konforme Abbildung

Die komplexe Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist

$0=f'+\mathrm{i}^{2}f'=\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}\quad \Rightarrow\quad \mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}$

Diese Form der Gleichung entspricht der Forderung, dass in der Matrixdarstellung der komplexen Zahlen die Jacobi-Matrix die folgende Struktur hat

$\left[\begin{array}{lr} a & -b\\ b & a\end{array}\right]$     mit     $a=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad b=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$

Die zu diesen Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern $a$ und $b$ nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum $\R^2$, dabei ist $a=r\,\cos(\phi)$ und $b=r\,\sin(\phi)$, wobei $r\neq 0$ der Skalierungsfaktor und $\phi$ der Drehwinkel ist. Diese Abbildung ist somit winkeltreu; das heißt der Winkel zwischen zwei Kurven in der Ebene bleibt erhalten. Funktionen, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, sind also konform.

Der Cauchy-Riemann-Operator

→ Hauptartikel: Wirtinger-Kalkül

In diesem Abschnitt wird eine kompaktere Schreibweise der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aufgezeigt. Dabei wird ersichtlich, dass in $z$ holomorphe Funktionen unabhängig vom komplex konjugierten $\bar{z}$ sein müssen.

Eine komplexe Zahl $z$ und ihre komplex konjugierte $\bar z$ hängen mit Realteil $x$ und Imaginärteil $y$ mittels der Gleichungen

$\begin{align} z & =x+\mathrm{i}y\ , \ & \bar{z} & =x-\mathrm{i}y\\ x & =\frac{z+\bar{z}}{2}\ , \ & y & =\frac{z-\bar{z}}{2\mathrm{i}} \end{align}$

zusammen.

Aufgrund dieses Zusammenhangs erscheint es sinnvoll die Differentialoperatoren

$\begin{align}\partial:=\frac{\partial}{\partial z} & =\frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial y}\Bigr)\\ \bar{\partial}:=\frac{\partial}{\partial\bar{z}} & =\frac{\partial x}{\partial\bar{z}}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial\bar{z}}\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial y}\Bigr)\end{align}$

zu definieren. Der Operator $\bar{\partial}$ heißt Cauchy-Riemann-Operator und der Kalkül dieser Operatoren wird Wirtinger-Kalkül genannt. Mit der komplexe Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus dem vorigen Abschnitt erhält man die Gleichung

$0=\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}=2\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=2\bar{\partial}f \,.$

Hier konnte die partielle Ableitung nach der komplex konjugierten Variable identifiziert werden. Die Gleichung

$\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0$   bzw.   $\bar{\partial}f = 0$

ist eine alternative Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und bedeutet, dass wenn $f$ holomorph ist, es unabhängig von $\bar{z}$ sein muss. Somit können analytische Funktionen als wirkliche Funktionen einer komplexen Variable anstatt einer komplexen Funktion von zwei reellen Variablen angesehen werden.

Physikalische Interpretation

Diese Interpretation verwendet nicht direkt komplexe Variablen. Es sei eine Funktion $f$ gegeben mit $f=u-\mathrm{i}v$. Die skalaren Felder $u$ und $v$ sollen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen (beachte andere Vorzeichenkonvention):

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}$

Betrachte nun das Vektorfeld $\vec{f}$ als reeller dreikomponentiger Vektor:

$\vec{f} = \begin{bmatrix}u\\ v\\ 0\end{bmatrix}$

Dann beschreibt die erste Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung die Quellenfreiheit:

$0=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=\mathrm{div}\cdot\vec{f}$

und die zweite Gleichung beschreibt die Rotationsfreiheit:

$0=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=[\mathrm{rot}\cdot\vec{f}]_{3}$

Somit ist $\vec f$ quellenfrei und besitzt ein Potential. In der Hydrodynamik beschreibt solch ein Feld eine Potentialströmung.

Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in einer Veränderlichen

Definition

Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat die Darstellung

$\bar{\partial} u = f,$

dabei ist $\bar{\partial}$ der Cauchy-Riemann-Operator, $f$ ist eine gegebene Funktion und $u$ ist die gesuchte Lösung. Dass $\bar{\partial} u = 0$ den oben definierten homogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht, wird weiter oben im Artikel schon angesprochen. Die Theorie der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung ist für Lösungen in $\C$ verschieden von Lösungen in $\C^n$ mit $n > 1$ und wird hier in zwei unterschiedlichen Abschnitten angerissen.

Fundamentallösung

Für Dimension $n=1$ ist die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators $\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}}$ durch $\textstyle \frac{1}{\pi z}$ gegeben. Das heißt die durch die Funktion $\textstyle u(z) = \frac{1}{\pi z}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung $\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} u(z) = \delta$, wobei $\delta$ die Delta-Distribution ist. Sei $\textstyle \phi \in C_c^\infty(\C)$ eine glatte Testfunktion mit kompaktem Träger, dann sieht man die Gültigkeit der Aussage aufgrund

$\begin{align} \left( \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{1}{z},\phi \right)_{\mathcal{D} \times \mathcal{D}'} &= - \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\C} \frac{1}{z} \,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\phi(z) \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\ &= - \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\C \backslash B_\epsilon} \left( \frac{1}{z} \,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\phi(z) + \phi(z)\,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\frac{1}{z}\right) \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\ &=- \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\C \backslash B_\epsilon} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\phi(z)}{z} \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\ &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \frac{2\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} \int_{\R^2 \backslash B_\epsilon} \left( i\frac{\partial}{\partial x}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x+\mathrm{i}y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x+\mathrm{i}y} \right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\\ &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\partial B_\epsilon} \left( \frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x + \mathrm{i}y} \mathrm{d} x + \mathrm{i}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x + \mathrm{i}y} \mathrm{d} y\right)\\ &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\partial B_\epsilon} \frac{\phi(z)}{z} \mathrm{d} z\\ &= \pi \phi(0). \end{align}$

Integraldarstellung

Für $f \in C^k(\C)$ mit $k\geq 1$ erhält man mit

$u(\zeta) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_\C \frac{f(z)}{z - \zeta} \mathrm{d} z \mathrm{d} \bar{z}$

eine Lösung der inhomogenen cauchy-riemannschen Differentialgleichung $\bar{\partial} u = f$ mit $u \in C^k(\C)$.

Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veränderlichen

Im Folgenden sei $n \in \N$ die Dimension des zugrundeliegenden Raum beziehungsweise die Anzahl der Komponenten einer Funktion.

Definition

Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat in mehreren Veränderlichen ebenfalls die Darstellung

$\bar{\partial} u = f,$

dabei ist $\bar{\partial}$ der Dolbeault-Quer-Operator, $f = (f_1, \ldots , f_n)$ ist eine gegebene $(0,1)$-komplexe Differentialform mit kompaktem Träger und $u$ ist die gesuchte Lösung. Explizit bedeutet dies, dass das System

$\frac{\partial u}{\partial \bar{z}_j} = f_j$

von partiellen Differentialgleichungen für $j = 1 , \ldots , n$ gelöst werden muss. Der Differentialoperator $\tfrac{\partial}{\partial \bar{z}_j}$ ist der Cauchy-Riemann-Operator.

Notwendige Bedingung

Für $n > 1$ ist die Voraussetzung $\bar{\partial} f = 0$ notwendig. Man sieht dies, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung den Dolbeault-Quer-Operator anwendet. So erhält man nämlich $\bar{\partial} \bar{\partial} u = \bar{\partial} f$, da für den Dolbeault-Operator auf Differentialformen $\bar{\partial} \bar{\partial} = 0$ gilt, muss $\bar{\partial} f = 0$ gelten. Da $f$ eine (0,1)-Form ist, bedeutet $\bar{\partial} f = 0$ nicht, dass $f$ eine holomorphe Differentialform ist, denn nur (p,0)-Formen, die diese Gleichung erfüllen, heißen holomorph.

Existenzaussage

Sei $f = (f_1, \ldots , f_n)$ eine (0,1)-Form mit $\bar{\partial} f = 0$ und $f_j \in C_c^k(\C^n)$. Dann existiert eine Funktion $u \in C_c^k(\C^n)$, so dass die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung $\bar{\partial} u = f$ erfüllt ist.

Literatur

•  Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. 1. Band. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4 (Springer-Lehrbuch).
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. 2. revised edition. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X (North-Holland mathematical Library 7).