Chinesischer Restsatz

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Chinesischer Restsatz ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie.

Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen[Bearbeiten]

Eine simultane Kongruenz ganzer Zahlen ist ein System von linearen Kongruenzen


\begin{matrix}
x & \equiv & a_1 & \pmod{m_1} \\
x & \equiv & a_2 & \pmod{m_2} \\
  & \vdots &     &            \\
x & \equiv & a_n & \pmod{m_n} \\
\end{matrix}

für die alle x bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung x existiert, dann sind mit M := kgV(m_1, m_2, m_3, \ldots, m_n) die Zahlen x + kM \ (k \in \mathbb{Z}) genau alle Lösungen. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt.

Teilerfremde Moduln[Bearbeiten]

Herleitung[Bearbeiten]

Die Originalform des chinesischen Restsatzes stammt aus dem Buch Sūn Zǐ Suànjīng (chinesisch 孫子算經 / 孙子算经 ‚Sun Zis Handbuch der Arithmetik‘) des Mathematikers Sun Zi (vermutlich 3. Jhd.[1]) und wurde 1247 von Qin Jiushaos Shùshū Jiǔzhāng (數書九章 / 数书九章 ‚Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln‘) wiederveröffentlicht. Der Satz trifft eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind. Sie lautet:

Seien m_1, \ldots, m_n paarweise teilerfremde natürliche Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen a_1, \ldots, a_n eine ganze Zahl x, die die folgende simultane Kongruenz erfüllt:

x \equiv a_i \mod m_i für i = 1, \ldots, n

Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo M := m_1 m_2 m_3 \ldots m_n.

Das Produkt M stimmt hier wegen der Teilerfremdheit mit dem kgV überein.

Finden einer Lösung[Bearbeiten]

Eine Lösung x kann wie folgt ermittelt werden: Für jedes i sind die Zahlen m_i und M_i := M / m_i teilerfremd, also kann man z.B. mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zwei Zahlen r_i und s_i finden, so dass

r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i = 1.

Setze e_i := s_i \cdot M_i, dann gilt

e_i \equiv 1 \mod m_i
e_i \equiv 0 \mod m_j, \ j \neq i.

Die Zahl

x := \sum_{i=1}^n a_i e_i

ist dann eine Lösung der simultanen Kongruenz.

Beispiel[Bearbeiten]

Gesucht sei eine ganze Zahl x mit der Eigenschaft


\begin{matrix}
x & \equiv & 2 & \pmod 3 \\
x & \equiv & 3 & \pmod 4 \\
x & \equiv & 2 & \pmod 5 \\
\end{matrix}

Hier ist M = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60, \ M_1 = M/3 = 20, \ M_2 = M/4 = 15, \ M_3 = M/5 = 12. Mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet man

7 \cdot 3 + (-1) \cdot 20 = 1, also e_1 = -20
4 \cdot 4 + (-1) \cdot 15  = 1, also e_2 = -15
 5 \cdot 5 + (-2) \cdot 12 = 1, also e_3 = -24

Eine Lösung ist dann x = 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-15) + 2 \cdot (-24) = -133. Wegen -133 \equiv 47 \mod 60 sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 47 modulo 60.

Allgemeiner Fall[Bearbeiten]

Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung. Die genaue Bedingung[2] lautet: Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle i \neq j gilt:

a_i \equiv a_j \mod{} ggT(m_i, m_j).

Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem kgV der m_i.

Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z.B. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind.

Beispiel

Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1 lässt, und durch 7 teilbar ist. Gesucht ist also die kleinste positive Lösung x der simultanen Kongruenz


\begin{matrix}
x & \equiv & 1 & \mod 2 \\
x & \equiv & 1 & \mod 3 \\
x & \equiv & 1 & \mod 4 \\
x & \equiv & 1 & \mod 5 \\
x & \equiv & 1 & \mod 6 \\
x & \equiv & 0 & \mod 7 \\
\end{matrix}

Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden. Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu x \equiv 1 \mod \operatorname{kgV}(2, 3, 4, 5, 6), d.h. zu finden ist eine Lösung von


\begin{matrix}
x & \equiv & 1 & \mod 60 \\
x & \equiv & 0 & \mod 7 \\
\end{matrix}

Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem chinesischen Restsatz lösbar.

Direktes Lösen von simultanen Kongruenzen ganzer Zahlen[Bearbeiten]

Gegeben sind die beiden simultanen Kongruenzen:


\begin{matrix}
x & \equiv & a & \pmod{n} \\
x & \equiv & b & \pmod{m} \\
\end{matrix}

Wenn diese lösbar sind, das heißt a \equiv b \pmod d, so sind sie äquivalent mit der einfachen Kongruenz:


\begin{matrix}
x & \equiv & a - yn \frac{a-b}{d} & \pmod{ \frac{nm}{d}} \\
\end{matrix}

mit

d = \operatorname{ggT}(n,m) = yn + zm.

Dieses funktioniert auch mit nicht teilerfremden Zahlen n und m und stellt somit eine deutliche Erleichterung bei dem Lösen von simultanen Kongruenzen dar.

Ein System aus Kongruenzen lässt sich durch wiederholtes Anwenden dieser Vereinfachung lösen.

Aussage für Hauptidealringe[Bearbeiten]

Sei R ein Hauptidealring, dann lautet der chinesische Restsatz für R wie folgt:

Sind m_1, \ldots, m_n paarweise teilerfremd und m ihr Produkt, dann ist der Faktorring R/mR isomorph zum Produktring R/m_1 R \times \cdots \times R/m_n R durch den Isomorphismus


\begin{matrix}
f : & R/mR    & \to     & R/m_1R \times \cdots \times R/m_nR \\
  & x + mR & \mapsto & (x + m_1R, \ldots, x + m_nR)
\end{matrix}

Aussage für allgemeine Ringe[Bearbeiten]

Eine der allgemeinsten Formen des chinesischen Restsatzes ist eine Formulierung für einen beliebigen Ring R (mit Einselement).

Sind I_1, \ldots, I_n (beidseitige) Ideale, so dass I_i + I_j = R für i \neq j (man nennt die Ideale dann teilerfremd oder koprim), und sei I der Durchschnitt der Ideale, dann ist der Faktorring R/I isomorph zum Produktring R/I_1 \times \cdots \times R/I_n durch den Isomorphismus


\begin{matrix}
f : & R/I    & \to     & R/I_1 \times \cdots \times R/I_n \\
  & x + I & \mapsto & (x + I_1, \ldots, x + I_n).
\end{matrix}

(I ist auch gleich dem Produkt der I_j, falls R ein kommutativer Ring ist.)

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Beweis des Satzes im Beweisarchiv – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. J. J. O'Connor, E. F. Robertson: Sun Zi biography. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland, Dezember 2003, abgerufen am 5. August 2010 (englisch).
  2. Einen Beweis dafür, dass diese Bedingung hinreichend ist, findet man bei A. Bogomolny: Chinese Remainder Theorem, Theorem 2 auf Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (in englischer Sprache); die Notwendigkeit ist leicht zu sehen.