Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$. Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer $C_{1}=3$ alle Zahlen dieser Form bis $C_{99}$ zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich $C_{53}$ konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle $C_{n}$ bis n=200 zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für n=141.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass $C_{141}$ eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von $C_{1}$ und $C_{141}$ alle Cullen-Zahlen von $C_{1}$ bis $C_{1000}$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass $C_{4713},C_{5795},C_{6611}$ und $C_{18496}$ ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen $C_{n}$ mit $n\leq 30000$ zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen $C_{n}$ für folgende $n$ bekannt:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … (Folge A005849 in OEIS)

Die bis dato größte bekannte Cullen-Zahl ist somit $C_{6679881}=6679881\cdot 2^{6679881}+1$ und hat 2010852 Stellen. Sie wurde von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis $n<13705481$ gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob $n$ und $C_{n}$ gleichzeitig prim sein darf.

Eigenschaften von Cullen-Zahlen

Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form $p=2n-1$, wobei $p$ eine Primzahl der Form $p=8k\pm 3$ sein muss. Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass wenn $p$ eine ungerade Primzahl ist, dass dann $p$ ein Teiler von $C_{m(k)}$ sein muss mit $m(k)=(2^{k}-k)\cdot (p-1)-k$ für $k\geq 0$.

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl $p$ teilt die Cullen-Zahl $C_{\frac {p+1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=-1$ ist.

Die Primzahl $p$ teilt die Cullen-Zahl $C_{\frac {3p-1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=+1$ ist.

Verallgemeinerte Cullen-Zahlen

Zahlen der Form $n\cdot b^{n}+1$ mit $n+2>b$ bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.

Die kleinsten $n$, für die $n\cdot b^{n}+1$ prim ist, sind die folgenden:

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … (Folge A240234 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von $b$ zwischen 1 und 30. Diese $n$ wurden zumindest bis 100000 untersucht. Wenn für $n$ die Bedingung $n+2>b$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl $n\cdot b^{n}+1$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

b	n, sodass n•bn+1 prim ist	untersucht bis	OEIS-Folge
1	1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, … (alle Primzahlen minus 1)	100000000000000000!alle Primzahlen	Folge A006093 in OEIS
2	1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, …	13705481	Folge A005849 in OEIS
3	2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, …	1200000	Folge A006552 in OEIS
4	(1), 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, …	250000	Folge A007646 in OEIS
5	1242, 18390, …	379575
6	(1, 2), 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, …	200000	Folge A242176 in OEIS
7	34, 1980, 9898, …	255681	Folge A242177 in OEIS
8	(5), 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, …, 749130, …	166666	Folge A242178 in OEIS
9	(2), 12382, 27608, 31330, 117852, …	222431	Folge A265013 in OEIS
10	(1, 3), 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, …	270026	Folge A007647 in OEIS
11	10, …	600000
12	(1, 8), 247, 3610, 4775, 19789, 187895, …	254519	Folge A242196 in OEIS
13	…	1000000
14	(3, 5, 6, 9), 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, …	246922	Folge A242197 in OEIS
15	(8), 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, …	136149	Folge A242198 in OEIS
16	(1, 3), 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, …	125000	Folge A242199 in OEIS
17	19650, 236418, …	281261
18	(1, 3), 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, …	203597	Folge A007648 in OEIS
19	6460, …	305777
20	(3), 6207, 8076, 22356, 151456, …	219976
21	(2, 8), 26, 67100, …	274099
22	(1, 15), 189, 814, 19909, 72207, …	137649
23	4330, 89350, …	177567
24	(2, 8), 368, …	134188
25	…	500000
26	117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, …	147626
27	(2), 56, 23454, …, 259738, …	215413
28	(1), 48, 468, 2655, 3741, 49930, …	200618
29	…	500000
30	(1, 2, 3, 7, 14, 17), 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, …	101757

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist $427194\cdot 113^{427194}+1$. Sie hat 877069 Stellen und wurde von einem US-Amerikanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.

Woodall-Zahl

Eine Zahl der Form $W_{n}=n\cdot 2^{n}-1$ wird Woodall-Zahl oder auch Cullen-Zahl der zweiten Art genannt. Sie wurden als erstes von Allan J. C. Cunningham und H.J. Woodall im Jahr 1917 untersucht. Letzterer ist auch der Namensgeber dieser Zahlen. Inspiriert wurden sie durch James Cullens früheren Untersuchungen von den ähnlich definierten Cullen-Zahlen.

Momentan (Stand: November 2015) sind Woodall-Primzahlen $W_{n}$ für folgende $n$ bekannt:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, … (Folge A002234 in OEIS)

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden. Die bis dato größte bekannte Woodall-Zahl ist somit $W_{3752948}=3752948\cdot 2^{3752948}-1=938237\cdot 2^{3752950}-1$ und hat 1129757 Stellen. Sie wurde vom US-Amerikaner Matthew J. Thompson, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis $n<14508061$ gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Eigenschaften von Woodall-Zahlen

Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Eine von vielen Teiler-Eigenschaften ist die folgende:

Die Primzahl $p$ teilt die Woodall-Zahl $W_{\frac {p+1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=+1$ ist.

Die Primzahl $p$ teilt die Woodall-Zahl $W_{\frac {3p-1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=-1$ ist.

Verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Zahlen der Form $n\cdot b^{n}-1$ mit $n+2>b$ bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen. Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl. Die Bedingung $n+2>b$ ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl $p$ eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil $p=1\cdot (p+1)^{1}-1$ wäre.

Die kleinsten $n$, für die $n\cdot b^{n}-1$ prim ist, sind die folgenden:

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, … (Folge A240235 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von $b$ zwischen 1 und 30. Diese $n$ wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für $n$ die Bedingung $n+2>b$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl $n\cdot b^{n}-1$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

b	n, sodass n•bn-1 prim ist	untersucht bis	OEIS-Folge
1	3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (alle Primzahlen plus 1)	100000000000000000!alle Primzahlen	Folge A008864 in OEIS
2	2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, …	14508061	Folge A002234 in OEIS
3	(1), 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, …	1058000	Folge A006553 in OEIS
4	(1, 2), 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, …	1000000	Folge A086661 in OEIS
5	8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, …	1000000	Folge A059676 in OEIS
6	(1, 2, 3), 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, …	876000	Folge A059675 in OEIS
7	(2), 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, …	350000	Folge A242200 in OEIS
8	(1, 2), 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, …	513000	Folge A242201 in OEIS
9	10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, …	975000	Folge A242202 in OEIS
10	(2, 3, 8), 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, …	500000	Folge A059671 in OEIS
11	(2, 8), 252, 1184, 1308, …	500000
12	(1, 6), 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, …	500000
13	(2, 6), 563528, …	570008
14	(1, 3, 7), 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, …	500000
15	(2, 10), 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, …	500000
16	167, 189, 639, …	500000
17	(2), 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, …	400000
18	(1, 2, 6, 8, 10), 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, …	400000
19	(12), 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, …	400000
20	(1, 18), 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, …	250000
21	(2, 18), 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, …	200000
22	(2, 5), 140, 158, 263, 795, 992, …	200000
23	29028, …	200000
24	(1, 2, 5, 12), 124, 1483, 22075, 29673, 64593, …	200000
25	(2), 68, 104, 450, …	500000
26	(3, 8), 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, …	200000
27	(10, 18, 20), 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, …	450000
28	(2, 5, 6, 12, 20), 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, …	200000
29	26850, …	200000
30	(1), 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, …	200000

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist $1993191\cdot 4^{1993191}-1=1993191\cdot 2^{3986382}-1$. Sie hat 1200027 Stellen und wurde vom Russen Serge Batalov entdeckt.

Weblinks

• Cullen Numbers
• Woodall Numbers
• Bisher bekannte Cullen-Primzahlen
• Bisher bekannte Woodall-Primzahlen

Literatur

• J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.