Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/007

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Analyse der Folgen eines Wechsels (alle Konstellationen)

Annahme: Symmetrische Zufalls-Verteilung der Objekte und zufällige Tor-Wahl des Kandidaten. Der Moderator gibt keine zusätzlichen regelwidrigen Informationen preis.
Es gibt nur ein einziges Auto. Aus diesem Grund enthält das nicht gewählte Torepaar somit vorherbestimmt zwangsläufig immer zumindest eine Ziege
Der Moderator öffnet ein in jenem nicht gewählten Torepaar somit zwangsläufig vorhandenes Ziegentor. Dieses sichere Ereignis tritt immer ein.

Auto hinter Tor	Kandidat wählt Tor	Das nicht gewählte Torepaar enthält immer ( ! ) zumindest 1 Ziege aber in 2/3 der Fälle auch das Auto	Verlust bei Wechsel nur in 3 von 9 Fällen: Nur dann, wenn zufälligerweise ursprünglich aus drei Toren das einzige Tor mit dem Auto gewählt war, also nur in einem Drittel aller Fälle	Gewinn bei Wechsel in 6 von 9 Fällen: Immer dann, wenn eines der beiden Ziegentore gewählt war	Moderator öffnet Ziegentor	Folge eines Wechsels:
1	1	Ziege ⇔ Ziege	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 2 oder Ziegentor 3 öffnet		2 oder 3	Auto-Tor  1 war gewählt, Wechsel schadet
1	2	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	3	Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt
1	3	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	2	Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt
2	1	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	3	Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt
2	2	Ziege ⇔ Ziege	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 3 öffnet		1 oder 3	Auto-Tor  2 war gewählt, Wechsel schadet
2	3	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	1	Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt
3	1	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	2	Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt
3	2	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	1	Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt
3	3	Ziege ⇔ Ziege	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 2 öffnet		1 oder 2	Auto-Tor  3 war gewählt, Wechsel schadet
Gewinn- Chance	${\tfrac {1}{3}}$	$0$           ${\tfrac {2}{3}}$	Diese Chancen-Verteilung 1/3 : 0 : 2/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles
Verlust- Risiko	${\tfrac {2}{3}}$	$1$           ${\tfrac {1}{3}}$	Diese Risiko-Verteilung 2/3 : 1 : 1/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles

In jenem 1/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat zufällig auf Anhieb dasjenige der drei Tore mit dem einzigen Auto gewählt hat, würde er durch einen Wechsel verlieren.
Das sind nur 3 von 9 Möglichkeiten, also in nur 1/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Verlust des schon gewählten Autos und schadet.

In den restlichen 2/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat jedoch eines der beiden Ziegentore gewählt hat, gewinnt er das Auto durch einen Wechsel.
Das sind 6 von 9 Möglichkeiten, also in 2/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Gewinn des Autos.

• Ohne zu wechseln: Der Kandidat gewinnt nur dann, wenn seine erste Wahl auf das eine Tor mit dem Auto gefallen war (Wahrscheinlichkeit 1/3).
  
• Mit einem Wechsel: Der Kandidat gewinnt immer dann, wenn seine erste Wahl auf eine der beiden Nieten gefallen war (Wahrscheinlichkeit 2/3).
  
• Durch ein Wechseln verdoppelt der Kandidat seine Gewinnchance zweifelsfrei von 1/3 auf 2/3.

Gemäß Spielregel gibt es von Anfang an nur drei Möglichkeiten

Der Kandidat wählt in jedem Fall eines der drei Tore mit einer Gewinnchance von 1/3. Da es nur ein einziges Auto gibt, befindet sich somit hinter dem nicht gewählten Torepaar zumindest eine Ziege, dennoch hat das nicht gewählte Torepaar eine Gewinnchance von 2/3. Dieser Sachverhalt ist in allen "drei Fällen" gleich, egal ob der Kandidat Tor 1, Tor 2 oder Tor 3 wählt. Wichtig ist allein, dass das nicht gewählte Torepaar gegenüber dem vom Kandidaten gewählten Einzeltor die doppelte Gewinnchance besitzt und sich dennoch in jedem Fall dort zumindest eine Ziege befindet. Diese beiden Sachverhalte sollte der Kandidat immer berücksichtigen (Mathematiker ließen das bisher meist außer Acht). Dabei kann es somit effektiv nur die folgenden "drei verschiedene Konstellationen" geben:

1.: Der Kandidat wählt das Tor mit der "einen Ziege", das nicht gewählte Torepaar enthält die "andere" Ziege und das Auto.
2.: Der Kandidat wählt das Tor mit der "anderen Ziege", das nicht gewählte Torepaar enthält dann die "eine" Ziege und das Auto.
3.: Der Kandidat wählt das Tor mit dem einzigen Auto, und nur dann (also nur in 1/3 der Fälle) enthält das nicht gewählte Torepaar beide Ziegen.

Das nicht gewählte Torepaar besteht aus zwei Toren, je mit einer Gewinnchance von 1/3 und einem Nietenrisiko von 2/3.
Daraus ergibt sich, dass das nicht gewählte Torepaar gemäß Spielregel eine Gewinnchance von 2/3 und ein Nietenrisiko von 1 1/3 auf sich vereinigt, weiters enthält das nicht gewählte Torepaar bekanntermaßen immer zumindest eine Ziege. Obwohl jedes der beiden nicht gewählten Tore – für sich betrachtet – eine Gewinnchance von durchschnittlich 1/3 und ein Nietenrisiko von durchschnittlich "nur" 2/3 besitzt, besagt die Spielregel dennoch: In jedem dieser drei Fälle befindet sich hinter zumindest einem der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares zwangsläufig und mit absoluter Sicherheit zumindest eine Ziege (es gibt nur ein Auto). Eines der beiden (egal welches) ist ein "garantiertes Ziegentor" im nicht gewählten Torepaar. Hinter dem "anderen Tor", seinem "Partnertor" im nicht gewählten Torepaar, wird sich gemäß Spielregel in durchschnittlich nur 1/3 der Fälle die zweite Ziege, jedoch in durchschnittlich immerhin 2/3 der Fälle das Auto befinden. Jenes "Partnertor" vereinigt somit von vornherein immer die gesamte Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von 2/3 auf sich. Dabei ist es von vornherein völlig belanglos, welches der beiden nicht gewählten Tore das "garantierte Ziegentor" mit der Gewinnchance von Null und dem Nietenrisiko von 1 ist, und welches das "andere, das privilegierte Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3 und einem Nietenrisiko von nur 1/3. Diese Belanglosigkeit liegt zwar klar auf der Hand, wird jedoch selbst von Mathematikern nicht immer genügend berücksichtigt. Nochmals: Die Frage: "Welches der beiden Tore?" ist von vornherein völlig belanglos und absurd, sie wird sich im Spielverlauf niemals stellen. Denn dadurch, dass der Moderator – nachdem der Kandidat sein Tor gewählt hatte – ein Ziegentor öffnet, ist sie ja bereits beantwortet worden: Das geöffnete Ziegentor hatte von Beginn an eine Gewinnchance von absolut Null und ein Nietenrisiko von absolut 1, und damit hatte das dann noch verschlossene, nun zum Wechsel angebotene Tor bereits von Anfang an eine Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 und ein Nietenrisiko von durchschnittlich nur 1/3. Der Moderator hat diese Frage also bereits beantwortet, und ein retrogrades Rätselraten darüber und die Suche nach "mathematischen Beweisen dafür" ist schlicht absurd.

1. In 1/3 der Fälle wählt der Kandidat zufällig das Tor mit dem Auto, dann befindet sich sogar hinter jedem Tor des nicht gewählten Torepaares je eine Ziege und Wechseln schadet.
2. Der Kandidat wählt "das eine" der beiden Ziegentore (in 1/3 der Fälle, Wechseln nützt)
3. Der Kandidat wählt "das andere" der beiden Ziegentore (in 1/3 der Fälle, Wechseln nützt), denn in diesen beiden Fällen, also jenen 2/3 der Fälle, in denen der Kandidat ein Ziegentor gewählt hatte, befindet sich hinter dem nicht gewählten Torepaar mit absoluter Sicherheit die zweite der beiden Ziegen (sie wird vom Moderator später hergezeigt), aber auch das durch die Spielregel zugesagte Auto. Wechseln bringt somit in 2/3 der Fälle das Auto als Gewinn, und es schadet nur in 1/3 der Fälle.

Für diesen schlichten Sachverhalt bedarf es keinerlei weiterer "Beweise", schon gar nicht unnötiger "Wahrscheinlichkeitsrechnungen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten". Diese Wahrscheinlichkeitsrechnungen beeinflussen den gegebenen Sachverhalt nicht. Sie sind nur ein völlig isoliertes Problem von Mathematikern, die den schlichten Sachverhalt in (meist ungelenke) Formeln übersetzen wollen und dabei stets nur eine kleine Untermenge der vorhandenen Information verwenden. Dass solch ungelenke Wahrscheinlichkeitsrechnungen seit Jahrzehnten aber dennoch zuhauf in kurioser, ja skurriler sogenannter "Fachliteratur" am Markt angeboten worden sind und noch immer als "unerlässlich" angeboten und ebenso ernsthaft als "unerlässlich" diskutiert werden ist ein eigenes Kapitel wert, etwa als "wissenschaftlicher Beweis erfolgreicher Vernebelung einfacher Sachverhalte und Raffinesse zur permanenten Irreführung der geduldigen Leserschaft ..." oder "Unvermögen mancher Mathematiker, schlichte Sachverhalte darzustellen".

Das Paradoxon: Der fatale "50:50-Trugschluss" – Warum das Dilemma für die große Mehrzahl für immer ungelöst bleiben wird

Das "Besondere" am Ziegenproblem liegt darin, dass es sich, gemäß Spielregel vorherbestimmt, effektiv um drei Tore mit völlig unterschiedlicher Charakteristik handelt. Diese von vornherein unterschiedliche Charakteristik der drei Tore sollte jedoch tunlichst unerkannt bleiben, um die Marktchancen von sogenannter "Fachliteratur" nicht zu gefährden.

Die drei Tore besitzen gemäß Spielregel eine völlig unterschiedliche Charakteristik. Es handelt sich

1. um das durch den Kandidaten "ursprünglich gewählte Tor" (egal welches) mit vom Anfang bis zum Ende des Spieles exakt durchschnittlicher Gewinnchance (1/3) und von Anfang bis zum Ende des Spieles durchschnittlichem Verlustrisiko (2/3), wie gesagt sind das Durchschnittswerte,
2. weiters um ein imperatives "garantiertes Nietentor" mit einer Gewinnchance von Null und einem Verlustrisiko von 1 (der Moderator wird jene Niete später dann ja zeigen),
3. und damit um ein drittes, von vornherein "privilegiertes" Tor mit der hohen Gewinnchance von 2/3 und einem niedrigen Verlustrisiko von nur 1/3 (Durchsnittswerte!).

Diese laut geltender Spielregel vorherbestimmte, unterschiedliche Charakteristik der drei Tore wird nicht auf den ersten Blick erkannt, gilt jedoch in jedem Fall von Anfang an.

Jedes der drei Tore besitzt a priori eine Gewinnchance von durchschnittlich 1/3 und ein Nieten-Risiko von durchschnittlich 2/3. Für das durch den Kandidaten gewählte Tor gilt dies sogar bis zum Schluss des Spieles.

Das eigentliche "Paradoxon" liegt an der Struktur jener beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore, denn jenes nicht gewählte Torepaar muss, durch die Spielregel vorherbestimmt, zwingend immer zumindest eine Ziege enthalten (es gibt nur ein Auto), obwohl seine ebenso vorherbestimmte gemeinsame Gewinnchance in jedem Fall und bis zum Schluss des Spieles bei durchschnittlich 2/3 liegt. Dieser Sachverhalt ist durch die Spielregel gegeben und bedarf keines mathematischen Beweises.

Dies ist also das eigentliche Paradoxon: Die Gewinnchance jedes der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares beträgt durchschnittlich je 1/3, in Summe beträgt die Gewinnchance des Torepaares von Anbeginn durchschnittlich total 2/3, trotz des dort absolut garantierten "Nietentores" das selbst keinerlei Gewinnchance haben kann. Ohne jeden weiteren "mathematisch geführten Beweis" kann die Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von durchschnittlich 2/3 deshalb niemals beide Tore in gleicher Weise betreffen, sondern letztlich immer nur ein einziges Tor, das von vornherein "privilegierte" Tor. Dieser durch die Spielregel gegebene Sachverhalt bedarf wie dargelegt keines weiteren mathematischen Beweises.

Zur Verdeutlichung:
Die Ausgangslage gemäß Spielregel lautet: Es gibt nur ein einziges Auto, und bei dem nicht gewählten Torepaar geht es um eine Gruppe von zwei Toren, egal um welche auch immer.
Die gemeinsame "Gewinnchance" jenes nicht gewählten Torepaares wird laut Spielregel in jedem Fall durchschnittlich 2/3 betragen und dessen gemeinsames "Ziegen-Risiko" durchschnittlich 4/3   (1 1/3).
Eines jener beiden Tore enthält jedoch imperativ, gemäß Spielregel vorherbestimmt, mit absoluter Sicherheit (1/1 oder 3/3) eine Ziege und hat somit gemäß Spielregel von Anfang an eine Gewinnchance von genau Null, es ist damit von vornherein das durch die Spielregel immer garantierte "imperative Nietentor" in jenem Torepaar. Dennoch beträgt die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares durchschnittlich 2/3. Da die gemeinsame Gewinnchance jener zwei Tore gemäß Spielregel durchschnittlich 2/3 beträgt, ist bereits durch die Spielregel von Anfang an konkludent gegeben, dass folglich stets "das andere" jener beiden Tore von vornherein die vorherbestimmte Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 auf sich allein vereinigt: Es ist das "privilegierte" Tor. Seine "Gewinnchance" beträgt gemäß Spielregel vorherbestimmt durchschnittlich 2/3 und sein "Ziegen-Risiko" durchschnittlich nur 1/3.

Allerdings ist noch unbekannt, welches jener beiden Tore (des nicht gewählten Torepaares) die durch die Spielregel "vorherbestimmte Ziege" verbirgt (das "absolute Nietentor"), und welches das "andere", das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der doppelten Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 und dem halben Verlustrisiko von durchschnittlich nur 1/3 ist. Das zu wissen wäre eminent wichtig, ist jedoch wohlgemerkt in diesem Stadium des Spieles noch völlig belanglos! Der Kandidat wählt soeben erst "sein" Tor, und der Moderator wird diese Frage im Anschluss daran ohnehin beantworten, noch bevor sie gestellt wird.

Das anschließende (ebenso durch die Spielregel vorherbestimmte) Öffnen eines Ziegentores durch den Moderator bringt zwar keinerlei relevante zusätzliche Information hinsichtlich der Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch hinsichtlich der gemeinsamen Gewinnchance der beiden nicht gewählten Tore (von zusammen 2/3), es stellt dafür eben kein Ereignis dar. Durch das Öffnen des Ziegentores wird jedoch gezeigt, dass die besagte, von Anfang an feststehende Gewinnchance von 2/3 also allein das zweite, jetzt noch immer verschlossene, nicht gewählte Tor betrifft. Bei diesem noch verschlossen bleibenden Tor handelt es sich also um das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der − gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor − doppelten Gewinnchance von 2/3 und dem – gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor – nur halbem Verlustrisiko von 1/3.

Der Moderator hilft:
Zumindest eines der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore ist ein "absolutes Nietentor", es enthält imperativ eine Ziege, das andere nicht gewählte Tor ist das durch die Spielregel von Anfang an "privilegierte Tor" mit einer vorherbestimmten Gewinnchance von 2/3. Der Moderator zeigt nun, welches der beiden nicht gewählten Tore eine Ziege enthält und offenbart damit jenes (noch verschlossen bleibende) "privilegierte Tor" mit der "a priori Gewinnchance" von 2/3.

Die Gewinnchance jenes Tores, das der Kandidat ursprünglich aus drei Toren ausgewählt hat, bleibt bis zum Schluss unverändert 1/3 (und dessen Ziegen-Risiko 2/3).
Die Gewinnchance des anderen, noch verschlossenen Tores (des durch den Moderator offenbarten "privilegierten Tores") betrug von Anfang an 2/3 (und dessen Nieten-Risiko nur 1/3).

Da nicht bekannt ist, hinter welchem der beiden nun letztlich noch verschlossenen Tore (dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten "durchschnittlichen Tor" mit einer Gewinnchance von 1/3 oder dem nicht gewählten, verschlossen gebliebenen "privilegierten Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3) sich der Gewinn verbirgt (zwei geschlossene Tore, hinter einem der beiden muss sich zwangsläufig das Auto befinden, hinter dem anderen Tor die zweite Ziege), wird irrtümlicherweise landläufig angenommen, dass jedes der beiden noch geschlossenen Tore die gleiche Chance biete und es daher keine Rolle spiele, ob dem Angebot zu wechseln gefolgt werde oder nicht (der berühmte fatale 50:50 -Trugschluss).

Das eigentliche Paradoxon des "Ziegenproblems" ist rein intuitiv nicht leicht aufzulösen. Der Grund dafür besteht darin, dass sämtliche hier relevanten, bereits durch die Spielregel vorherbestimmten zwingenden Konklusionen und die vorherbestimmte, von Anfang an durch die Spielregel festgelegte, unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore nicht ohne weiteres und auf den allerersten Blick erkennbar sind, obwohl dies – didaktisch aufbereitet – zum "Aha-Erlebnis" führen könnte. Dass dies nicht geschieht ist Gold wert. Die einschlägige Fachliteratur zu diesem Thema zeigt anschaulich: Unter striktem Ignorieren der durch die Prämissen der Spielregel bereits klar vorherbestimmten Konklusionen lassen sich publikumswirksam ganze Bibliotheken füllen, mit eindrucksvollen, aber in diesem Fall unnötigen mathematischen Wahrscheinlichkeits-Berechnungen und völlig überflüssigen, angeblich "wissenschaftlich unbedingt notwendigen mathematischen Beweisen", ohne das permanente "Ja, warum denn nur" des Paradoxons enthüllen zu wollen. Das Kennzeichnende für das ungelöste "Warum denn nur?" sind manche "Mathematiker", die selbst die bereits durch die Spielregel vorherbestimmten Konklusionen nicht sehen (können?) und die durch die Spielregel bereits klar festgelegte, völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Struktur der drei Tore nicht erkennen (wollen?). Die am Markt befindlichen und laufend neu angebotenen Publikationen bedienen sich bedingter Wahrscheinlichkeiten und kommen mit unnötigen mathematischen "Beweisen" auf Umwegen zwar schließlich dennoch zum selben Ergebnis, lassen aber die ungewisse Frage nach dem "Warum denn nur" weiterhin bewusst offen.

Und: die in manchen Publikationen angestellt gewesenen Überlegungen, der Moderator könnte allenfalls durch ein bestimmtes regelwidriges Verhalten auf die eine oder andere unsaubere Weise vielleicht doch zusätzliche Informationen preisgeben, was dann neue Rätsel aufgibt, ignorieren die vorgegebene Spielregel. Solche Verwirrspiele lenken vom eigentlichen Paradoxon des "Ziegenproblems" ab und sind zum Verständnis des scheinbaren Paradoxon wenig hilfreich, auch wenn sie aus "reputablen Quellen" zitiert werden. Der klare "Durchblick" des Publikums kann so verhindert werden, was für einschlägige "Fachliteratur" weitere Verkaufserfolge verspricht. Voraussetzung dafür: Die durch die Spielregel vorherbestimmte unterschiedliche Chancen-Charakteristik der drei Tore: ( ${\tfrac {1}{3}}$ : $0$ : ${\tfrac {2}{3}}$ ) beziehungsweise deren Risiko-Verteilung ( ${\tfrac {2}{3}}$ : $1$ : ${\tfrac {1}{3}}$ ) bleiben weiterhin tabu.

Des Kaisers neue Kleider

Das "Ziegen-Problem" veranschaulicht – ähnlich wie "Des Kaisers neue Kleider" – ein Phänomen: Gewieften interessierten Kreisen gelang und gelingt es, selbst über lange Zeiträume hinweg, sich unverzichtbar zu machen. Ein relativ schlichter Sachverhalt kann erfolgreich zum angeblich unbeweisbaren und unlösbaren magischen Problem stilisiert werden, das ohne aufwändige wissenschaftliche Bemühung und kostspielige (für den Autor lukrative) Beratung für immer unlösbar bliebe. Der klare Blick auf die Bestimmungen der Spielregel und die konsequente Beachtung aller sich daraus ergebenden schlüssigen Folgerungen sei "ein falscher Lösungsweg". Solchen "Fachleuten" gelingt es hier zu dekretieren, ohne "Beweise", die nur durch mathematische Wahrscheinlichkeitsberechnungen, unter Zuhilfenahme "bedingter Wahrscheinlichkeiten" erbracht werden könnten, bliebe der schlichte Sachverhalt angeblich undurchschaubar und letztlich für immer unlösbar. Ein solcher "Beweis" sei schlicht unabdingbar und "der einzig zulässige Lösungsweg". Die gläubige Mehrheit nahm und nimmt das für bare Münze an (die Verkaufserfolge sprechen für sich), und die nächste derartige "wissenschaftliche Veröffentlichung" zum Thema wartet bereits im Schaufenster?

Es gilt in erster Linie, die Anschaulichkeit der schlichten Problemstellung und damit das "Aha-Erlebnis" zu fördern, und nicht die angebliche Unerlässlichkeit mathematischer "Beweise" zu dekretieren und damit zu verwirren. Die (an sich völlig unnötigen) Bemühungen, den Sachverhalt auch in mathematischen Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung darzustellen sind anzuerkennen. Da sie aber immer als "zur Problemlösung unverzichtbar" dargestellt wurden, gehören sie als "historisches Phänomen" vom eigentlichen Ziegenproblem gelöst und unter dem Titel "skurrile Kuriositäten" in ein vom Paradoxon deutlich getrenntes Kapitel. -- Gerhardvalentin 12:49, 28. Dez. 2009 (CET)

Was hast du vor mit dieser Doctorarbeit? Nijdam 20:44, 24. Jun. 2009 (CEST)

Lieber Nijdam, die durch die Spielregel festgelegte völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore benötigst du offensichtlich nicht für deine Berechnungen. Rechne du also einfach weiter. . .   Und schreibe weiter an mathematischer Fachliteratur.    Liebe Grüße   --Gerhardvalentin 19:23, 20. Dez. 2009 (CET)

Ziegenproblem Alternativvorschlag

Auf der Suche nach einem Auto wählt der Kandidat Tor 1. Der Showmaster öffnet Tor 3, hinter dem sich eine Ziege verbirgt und schlägt dem Kandidaten vor, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, das Tor 2 zu wählen?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach Monty Hall, dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow Let's make a deal, in Deutschland Geh aufs Ganze!) ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Das Problem wurde 1990 in seiner wohlbekannten Form in einem Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant's "Ask Marilyn"-Kolumne im Parade Magazine formuliert:

Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief erzielte das Problem international auch außerhalb der Fachwelt hohe Aufmerksamkeit und führte zu heftigen Kontroversen. Sie erklärte die Lösung des Problems anhand einer Million Tore. Ihre Antwort lautete: "Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3."

Kontroversen

Es gibt zwei Hauptargumente, die zu Zweifeln an vos Savants Lösung führen. Während das erste Argument nicht stichhaltig ist und auf falsch angewendeter Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, verdeutlicht das zweite Argumemt, dass das Originalproblem ohne geeignete weitere Einschränkung keine eindeutige Lösung hat:

• Unter der Voraussetzung, dass der Showmaster den im nächsten Abschnitt ausgeführten Spielregeln folge, sei ein Wechsel des Tores nicht schlecht. Die Gewinnchance für das zweite Tor sei aber niemals 2/3 sondern generell nur 1/2, weil nach dem Öffnen eines Tores mit einer Ziege dahinter nur noch zwei geschlossene Tore zur Auswahl ständen. Die Chancen seien deshalb auf beide Tore immer gleichverteilt.
• Die Fragestellung im Leserbrief enthält keinerlei Hinweise darauf, dass der Showmaster einer bestimmten Verhaltensregel folgt. Solch eine Regel ließe sich nur mittels der Annahme ableiten, dass das Spiel mehrmals unter den gleichen Bedingungen wiederholt würde: Sie wählen ein beliebiges Tor, der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem eine Ziege steht, und Sie dürfen die Wahl ihres Tores ändern. Von solch einer Wiederholung des Spiels ist aber im Leserbrief keine Rede. Also basiert Savants Lösung auf willkürlichen Annahmen, die sie unzulässigerweise in den Leserbrief hinein interpretiert hat.

Das erste Argument wird von Marilyn vos Savants Lösung widerlegt, das Zweite wird anhand mehrerer Spielvarianten ausgeführt.

Allgemeine Gewinnwahrscheinlichkeit

Einfache Lösung

Der Kandidat wählt ein Tor ohne es zu öffnen. Da wir wissen, dass der Moderator mit Sicherheit ein anderes Tor mit einer Ziege öffnen wird und dem Kandidaten anbietet, das verbleibende Tor ebenfalls zu öffnen, kann er dem Kandidaten stattdessen auch anbieten, entweder sein zuerst gewähltes Tor oder aber die beiden anderen anfangs noch geschlossenen Tore selbst zu öffnen. Da der Kandidat nun ein Tor gegen zwei Tore tauschen darf, sollte er das natürlich tun und damit seine Gewinnchance auf p=2/3 verdoppeln. Die Antwort auf die Frage "Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?" ist also "Ja!"

Hauptvariante nach Marilyn vos Savant

Weil die im Leserbrief von Whitaker formulierte Fragestellung keine eindeutige Lösung zulässt, haben Krauss und Wang eine Neuformulierung des Ziegenproblems vorgeschlagen, die bestimmte zur eindeutigen Lösbarkeit fehlenden Zusatzinformationen bereitstellt:

Angenommen Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig hinter die Tore verteilt worden. Die Regeln der Spielshow sind folgende: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß was sich hinter den Toren befindet, muss nun eine der beiden verbleibenden Tore öffnen, und hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Wenn hinter beiden verbleibenden Toren jeweils eine Ziege steht, öffnet er eines der beiden Tore zufällig. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbleibenden Tor wechseln möchten. Nehmen Sie an Sie wählen Tor 1 und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann:"Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?" Ist es zu Ihrem Vorteil, Ihre Wahl zu ändern?

Um zu der Lösung von Marilyn vos Savant zu gelangen, ist lediglich zu ergänzen, dass bei der Zufallswahl des Showmasters zwischen zwei Ziegentoren beide Tore mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geöffnet werden.

Spielregeln

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde.

1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?

Tabellarische Lösung

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Es müssen sechs Fälle betrachtet werden um die Gleichwahrscheinlichkeit des Öffnens der Tore 2 und 3 durch den Moderator gemäß Regel 4 modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleichwahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

1		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 4)		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
2		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
3		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
4		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 4)		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
5		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
6		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet. Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei von drei dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Außerdem kann aus der Tabelle leicht abgelesen werden, dass wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt.

Formelle Lösung

Es sind die Ereignisse definiert:

$G_{i}\$: Der Gewinn ist hinter Tor i (i = 1, 2, 3)

$M_{j}\$: Der Moderator hat das Tor j geöffnet (j = 1, 2, 3)

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G_{2}|M_{3})\$, dass das Auto hinter Tor 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung (Regeln 1, 4 und 5) gelten folgende Voraussetzungen:

${\begin{aligned}&(1)&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&(4)&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{2}}\\&(5)&P(M_{3}|G_{2})=1\\&(5)&P(M_{3}|G_{3})=0\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.\end{aligned}}$

Der Kandidat sollte also wechseln um seine Gewinnchancen von anfangs 1/3 auf nun 2/3 zu verdoppeln.

Eine Million Tore

Das Ziegenproblem lässt sich auch erklären, indem man die Situation überspitzt. Es gibt dann eine Million Tore und hinter genau einem befindet sich das Auto. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, z.B. Tor 1, öffnet der Moderator alle anderen Tore, jeweils mit einer Niete dahinter, bis auf eines, z.B. Tor 777777. Hier ist es sofort einsichtig, dass der Kandidat wechseln sollte: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zuerst gewählten Tor richtig zu liegen, ist sehr gering. Wenn man die Zahl der Tore verringert, ändert sich nichts daran, dass der Kandidat das Tor wechseln sollte, nachdem der Moderator alle Nieten bis auf eine entfernt hat. Insbesondere gilt dies auch für den Fall mit drei Toren.

Andere Spielvarianten

Aus dem Leserbrief geht nicht hervor, dass sich der Moderator an bestimmte Verhaltensregeln hält. Selbst wenn er gemäß solcher Regeln handeln würde, wäre nicht gewährleistet, dass der Kandidat diese Regeln auch kennt. Darüberhinaus gibt die Problemstellung keine Auskunft darüber, ob sich der Kandidat in einer einmaligen Spielsituation befindet oder ob das Spiel schon häufiger stattgefunden hat. Im zweiten Fall wäre es denkbar, dass der Kandidat Verhaltensweisen des Moderators verallgemeinern und daraus bestimmte Regeln ableiten konnte. Wegen dieser Unklarheiten in der Fragestellung existieren verschiedene Interpretationsvarianten, von denen einige im Folgenden vorgestellt werden. Dabei wird immer Bezug genommen auf die im Leserbrief beschriebene konkrete Spielsituation. Außerdem wird vorausgesetzt, dass der Kandidat die Verhaltensregeln des Moderators kennt. Die Entscheidung des Kandidaten ist dann in bestimmten Spielsituationen trivial zu treffen. Kennte er diese Regeln nicht müsste er sich so entscheiden als ob der Moderator sich an keine Regel halten würde.

Keine Regel

In diesem Fall bleibt dem Kandidaten nichts weiter übrig als seine Wahl zufällig oder nach einem Münzwurf zu treffen. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demgemäß p=1/2.

Der nette Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor 1 nicht die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, wählt er natürlich jetzt Tor 2 und gewinnt sicher.

Der fiese Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor1 die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, bleibt er natürlich bei Tor 1 und gewinnt sicher.

Der faule Moderator

Der Moderator, der nicht gerne große Wege zurücklegt, öffnet am liebsten Tor 3, weil er dort in der Nähe seinen Standort als Showmaster hat. Wenn also hinter dem vom Kandidaten gewählten Tor 1 das Auto stände, dann würde er mit Sicherheit Tor 3 öffnen, auf keinen Fall aber Tor 2.

Tabellarische Lösung

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Obwohl es hier ausreichen würde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs Fälle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen Lösung in Marilyn vos Savant's Variante modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleichwahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

1		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
2		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
3		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
4		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
5		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
6		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet. Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demnach hier nur p = 1/2. Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.

Formelle Lösung

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})=1\\&P(M_{3}|G_{2})=1\\&P(M_{3}|G_{3})=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{1\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tatsächlich hinter Tor 1 befindet, gilt aber ebenfalls

${\begin{aligned}P(G_{1}|M_{3})&={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Der nicht eingeschränkte Moderator

Der Moderator, der alle Tore einschließlich des vom Kandidaten zuvor gewählten Tores 1 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit öffnet, öffnet zufällig Tor 3. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{2})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.\end{aligned}}$

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Der zufallsbestimmte Moderator

Wenn der Moderator die Möglichkeit hat, aus zwei Toren mit jeweils einer Ziege dahinter ein Tor auszusuchen (der Kandidat hat also das Tor mit dem Auto dahinter ausgewählt), dann öffnet er das Tor mit der höchstmöglichen Nummer mit der Wahrscheinlichkeit q und das Tor mit der niedrigeren Nummer mit der Wahrscheinlichkeit q* = 1 - q. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})=q\\&P(M_{3}|G_{2})=1\\&P(M_{3}|G_{3})=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{q\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{q+1}}.\end{aligned}}$

Diese Berechnung beschreibt den allgemeinen Fall, aus dem sich die Lösungen von Marilyn vos Savant (q = 1/2) und "Der faule Moderator" (q = 1) als Spezialfälle ableiten lassen.

Literatur

• Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9
• Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23050-5
• Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004, ISBN 0521833299
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3
• Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik, Seite 54 f, Gruyter, August 2004, ISBN 3-11-018282-3
• Norbert Henze:Stochastik für Einsteiger. Vieweg 1997, ISBN 3-528-06894-9, S. 51-52, 105-107
• Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie, Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. 4. Juli 2006 (dartmouth.edu [PDF; abgerufen am 2. April 2008]). 

Weblinks

Commons: Ziegenproblem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Ziegenproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Visualisierte Demonstration und Evaluation des Ziegenproblems
• Recht anschauliche Beschreibung
• Die Zeit: Das Rätsel der drei Türen
• Matheprisma der Uni Wuppertal: Ziegenproblem – Online Simulation, bedingte und totale Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel

Siehe auch

• Gefangenenparadoxon
• Geh aufs Ganze!

Kommentare zu diesem Vorschlag

Die tabellarische Lösung wie auch die formelle zum „faulen Moderator“ sind schlicht falsch, weil sie irrig davon ausgehen: „Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat, gilt die gleiche Erklärung.“ Die korrekte Lösung findet sich im Abschnitt Analyse der Folgen eines Wechsels bei geänderter Strategie des Moderators (alle Konstellationen). -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 20:58, 29. Jun. 2009 (CEST)

Vielleicht liegt hier ein Missverständnis vor. Die tabellarische Lösung bezieht sich auf die Formulierung im Leserbrief, dass der Kandidat zunächst Tor 1 wählt. Wenn er stattdessen Tor 2 oder Tor 3 wählt, funktioniert die Lösung analog, natürlich für andere Tore, die der Moderator dann öffnen kann. Pro Vorwahl des Kandidaten gibt es 6 Fälle zu unterscheiden, das macht zusammen 18 Kombinationsmöglichkeiten und nicht nur 9. Außerdem dürfen in den jeweils 6 Fällen für die Lösung nur diejenigen betrachtet werden (bedingte Wahrscheinlichkeit), bei denen der Moderator das zuvor angegebene Tor öffnet. --89.50.33.228 21:50, 29. Jun. 2009 (CEST)

PS: Habs mal umformuliert...

Natürlich liegt hier ein Mißverständnis vor. Dieses liegt in der Annahme, bei veränderter Strategie des Moderators sei das Problem immer noch symmetrisch. (Ich habe insofern oben tatsächlich an der falschen Stelle eingehakt, sorry.) Korrekt ist, daß wenn der Kandidat Tor 1 wählt und der Moderator Tor 3 öffnet, Wechseln nur noch in 50% der Fälle gewinnt. Öffnet der Moderator jedoch Tor 2, gewinnt Wechseln in 100% der Fälle. Es bleibt dabei, daß der Kandidat in 2/3 der Fälle durch Wechseln gewinnt, wenn er zunächst Tor 1 gewählt hat. (Ebenso, wenn er zunächst Tor 2 oder Tor 3 gewählt hat). Falsch ist allerdings die Annahme, man müsse hier 18 gleichwahrscheinliche Kombinationsmöglichkeiten unterscheiden. Dies ist deshalb nicht nötig, weil hier jeweils zwei davon identisch sind, da der Moderator nicht mehr eines der verbliebenen Tore mit gleicher Wahrscheinlichkeit öffnet, falls der Kandidat von vornherein das Tor mit dem Auto gewählt hat. Er wählt hier vielmehr immer das Tor mit der höchsten Nummer. Daher bleiben nur neun gleichwahrscheinliche Kombinationen. Du bist herzlich eingeladen, für die von mir referenzierten Lösung eine Kombination aufzuzeigen, die fehlt oder (un)wahrscheinlicher ist als die anderen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:53, 30. Jun. 2009 (CEST)

PS. Auch in der symmetrischen Aufgabenstellung ist es nicht notwendig, statt der tatsächlichen zwölf unterschiedlichen Abspiele deren 18 zu betrachten. Dies dient nur zur Vereinfachung, um das Problem auf ein Laplace-Experiment abzubilden, IOW: 18 gleichwahrscheinliche Abspiele zu erhalten. Dem mathematisch auch nur gemäßigt Begabten gelingt es jedoch, mit der Tatsache umzugehen, daß die genannten zwölf Abspiele nicht gleichwahrscheinlich sind, sondern drei der neun möglichen Ausgangssituationen jeweils zwei gleichwahrscheinliche mögliche Ausgänge haben (siehe mein obiges Posting von vor einer Stunde). So ergeben diese drei Ausgangssituationen sechs mögliche Abspiele mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1/18, die anderen sechs Ausgangssituationen sechs weitere mögliche Abspiele mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1/9. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 08:54, 30. Jun. 2009 (CEST)

Mir ist nicht klar, worauf du hinauswillst. Möchtest du noch eine andere Spielvariante einfügen: "Der Noderator öffnet immer das Tor mit der höchsten Nummer."?

Du sagst:"Dem mathematisch auch nur gemäßigt Begabten gelingt es jedoch, mit der Tatsache umzugehen, daß [...] drei der neun möglichen Ausgangssituationen jeweils zwei gleichwahrscheinliche mögliche Ausgänge haben." Das gelingt anscheinend auch höher Begabten nicht immer. Wie ist es sonst zu erklären, dass manche hier den Unterschied zwischen Savants Lösung und der Lösung "Der faule Moderator" nicht unmittelbar wahrgenommen haben? Oder behauptest du, dass Letztere keine Lösung der Problemstellung im Leserbrief ist? --89.50.32.28 17:13, 1. Jul. 2009 (CEST)

PS: 1.Ich habe mal deine Anregung "Laplace-Experiment" im Vorschlag erwähnt.

2. In der aktuellen Fassung des Artikels wird die "Gleichwahrscheinlichkeit" bei Regel 4 überhaupt nicht gefordert. Da sind dann viele Interpretationen möglich... (nicht signierter Beitrag von 89.50.32.28 (Diskussion) 17:37, 1. Jul. 2009)

Der „faule Moderator“ öffnet immer das Tor mit der größten Nummer. Diese Formulierung ist logisch äquivalent zur der in der modifizierten Aufgabenstellung. Die angesprochenen Situation („daß [...] drei der neun möglichen Ausgangssituationen jeweils zwei gleichwahrscheinliche mögliche Ausgänge haben“) tritt nicht beim faulen Moderator auf, sondern bei der ursprünglichen Fragestellung, wie sie jetzt im Artikel ausgeführt ist. In der aktuellen Regel 4 heißt es: „Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.“ Das bedeutet sehr wohl Gleichwahrscheinlichkeit. Der faule Moderator hingegen öffnet immer Tor 3 oder das Tor, welches sich am nächsten an Tor 3 befindet, also das mit der höchsten Nummer. Daher gibt es nur 9 mögliche, gleichwahrscheinliche Abspiele. Hast Du die korrekte Lösung zum „faulen Moderator“ überhaupt gelesen? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 20:34, 1. Jul. 2009 (CEST)

OK, so langsam fang ich an zu kapieren was du meinst... Die tabellarische Lösung von "Der faule Moderator" in meinem Vorschlag ist tatsächlich redundant: die Fälle 4-6 sind Kopien der Fälle 1-3. Der Grund für die Doppelung ist die Vergleichbarkeit dieser Tabelle mit der tabellarischen Lösung von Savants Interpretation. Das finde ich wichtig für die OMA-Tauglichkeit des Vorschlags.

Bezogen auf die von dir favorisierte Lösung heißt das, dass man auf 6 der 9 Fälle verzichten könnte und sie reduziert auf die Zeilen 1, 4 und 7. Und wenn man diese Zeilen gemäß des Leserbriefs auswertet kommt man zu dem Ergebnis p = 1/2. Es wird ja vorausgesetzt:"Der Kandidat wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 3."

"Zufällig ausgewählt" heißt nicht unbedingt "gleichwahrscheinlich". Der Moderator könnte das Tor mit der höchstmöglichen Nummer mit p = 2/3 und das Tor mit niedrigerer Nummer mit p = 1/3 öffnen. Dann handelt es sich immer noch um eine Zufallsentscheidung, aber nicht mehr um Savants Lösung. --89.50.26.245 23:13, 1. Jul. 2009 (CEST)

In der beispielhaften Lösung der exakten Aufgabenstellung wird zwar vorausgesetzt: „Der Kandidat wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 3.“ Es wird aber ebenfalls - zutreffend! - angenommen, daß die Lösung aus Symmetriegründen analog ist für den Fall: „Der Kandidat wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 2.“ Dies ist aber gerade nicht der Fall, wie die korrekte Lösung zum „faulen Moderator“ zwanglos nachweist. Und deswegen ist das Ergebnis p = 1/2 falsch. Vielmehr gewinnt der Kandidat auch bei einem „faulen Moderator“ in 2/3 der Fälle durch Wechseln das Auto, und zwar genau dann, wnn er nicht von vornherein das Tor mit dem Auto gewählt hat. Hast Du die korrekte Lösung zum „faulen Moderator“ überhaupt gelesen? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:40, 2. Jul. 2009 (CEST)

Natürlich habe ich sie gelesen. Nehmen wir den Fall "Kandidat wählt Tor 1, Moderator öffnet Tor 2". Wenn der Kandidat jetzt wechselt gewinnt er sicher, denn wenn Tor 2 das Tor mit der höchstmöglichen Nummer ist, welches der "faule Moderator" öffnen kann, muss das Auto hinter Tor 3 sein. Das weiß der Kandidat, und damit ist die Gewinnwahrscheinlichkeit p = 1.

Es gibt für jede Kombination "Torwahl durch den Kandidaten/Toröffnung durch den Moderator" eine eindeutige Lösung für die Gewinnchancen p des Kandidaten. Die Lösungen sind aber unterschiedlich. Bei T1/T3 ist p=1/2. Bei T1/T2 ist p=1. Bei T2/T3 ist p=1/2, bei T2/T1 ist p=1. Und bei T3/T2 ist p=1/2, bei T3/T1 ist p=1. Da kommt die bedingte Wahrscheinlichkeit ins Spiel um die konkrete Spielsituation zu modellieren, also welches Tor der Moderator öffnet und damit in das Spielgeschehen eingreift. Der Kandidat hat einfach Pech, wenn wie im Leserbrief Tor 3 geöffnet wird. Er hoffte wahrscheinlich darauf, dass der faule Moderator nur Tor 2 öffnen kann und damit der Gewinn sicher ist...

Vielleicht hast du recht mit der Kritik an der Formulierung des Abschnitts "Der faule Moderator" im Vorschlag. Da kann man ja noch was verbessern. --89.50.20.20 13:01, 2. Jul. 2009 (CEST)

Ich würde gerne konkrete Einzelnachweise sehen, dass die Sekundärliteratur das Problem wie hier beschrieben behandelt, d.h. das Verhalten des Showmasters frei varitert. --Pjacobi 23:42, 29. Jun. 2009 (CEST)

Ich möchte mich Pjacobi's Hinweis anschließen, es wäre schön für die einzelnen Abschnitten direkt die Quellen anzugeben (sowie im englischen Interwiki). Ansonsten finde ich diesen Vorschlag durchaus brauchbar.

@pjacobi: Unabhängig von der Tatsache, das die Quellen in den Artikel sollten, wenn du auch einfach persönlichem Interesse wissen wolltest, wo welche Variation steht, dann kannst du das zur Zeit im englischen Interwiki nachlesen. Alles was online lesbar ist, findet sich auch in der Quellenliste auf dieser Diskussionseite.--Kmhkmh 00:26, 30. Jun. 2009 (CEST)

Ich wollte eigentlich weniger wissen, wo welche Variante steht, sondern ob es überhaupt sinnvoll und quellenbelegt, hier eine solche Variantenlandschaft auszubreiten. --Pjacobi 10:43, 30. Jun. 2009 (CEST)

Ok, die kurze Antwort dazu ist ja. Nachdem Presseecho auf die Diskussion des Problems durch vos Savant im Magazin Parade hat es eine ganze Reihe von Veröffentlichungen gegeben, die sich mit allen möglichen Varianten und Perspektiven beschäftigt haben.--Kmhkmh 10:54, 30. Jun. 2009 (CEST)

Kann man das bitte mal auf eine separate Seite auslagern?? Das macht doch keinen Sinn hier ganze Artikelvorschläge in die Disk zu quetschen. (Die Diskussion dazu könnte natürlich hier bleiben). --Itu 05:59, 18. Jul. 2010 (CEST)

Wahrscheinlichkeiten in zeitlicher Abfolge

Nijdam, ich war oben leider nicht hinreichend deutlich, ich wollte, für Dich als anerkannten Mathematiker, dieses betonen: Vorhandene Informationen dürfen nicht notorisch unterschlagen werden

"Aha-Erlebnis" für den Leser: Alle Aspekte in der zeitlichen Abfolge sollen sorgfältig beachtet werden, um die Chancen und Risken zu verdeutlichen.
Die relevanten Schritte / Abschnitte:

1. "Vor der Torwahl" des Kandidaten
2. "Torwahl" durch den Kandidaten
3. "Öffnen eines Ziegentores" im nicht gewählten Torepaar durch den Moderator mit dem Angebot, auf das dort befindliche verschlossene "Partnertor" zu wechseln
4. "Letztentscheid" des Kandidaten, ob er das Angebot zum Wechseln ablehnt oder annimmt
5. "Offenlegung" des durch den Letztentscheid endgültig gewählten Torinhalts: Zweite Ziege oder Auto

In zeitlicher Abfolge:

1. "Vor der Torwahl" des Kandidaten sind die Wahrscheinlichkeiten aller drei Tore noch völlig gleich (Gewinnchance durchschnittlich je 1/3, Ziegenrisiko durchschnittlich je 2/3). Mehr ist in diesem Stadium darüber noch nicht bekannt.
2. Die "Torwahl" durch den Kandidaten führt dazu, dass nur noch das durch den Kandidaten ursprünglich gewählte Tor (übrigens als einziges) diese Chancen-Risken-Charakteristik bis nach dem Letztentscheid uneingeschränkt (ohne weiteren Informationen) beibehält.
   Für die beiden nicht gewählten Tore sind diese (weiterhin gültigen) Durchschnitts-Wahrscheinlichkeiten von nun an aber infolge einer dominanten Bestimmung der Spielregel dramatisch "relativiert" worden und gelten nur noch für jenes "Torepaar", also für die "Summe" der beiden nicht gewählten Tore, denn zumindest eines jener beiden Tore enthält nun imperativ eine garantierte Ziege und hat eine Gewinnchance von absolut Null. Diese Tatsache darf nicht ignoriert werden. Dabei ist es übrigens völlig unerheblich, welches der beiden Tore das garantierte Ziegentor ist. Danach braucht nicht gefragt zu werden, das spielt keinerlei Rolle, siehe unten: "garantiertes Ziegentor und privilegierte Partnertor". Für die Gesamtheit des nicht gewählten Torepaar liegen hingegen durch die ursprüngliche Torwahl des Kandidaten noch keinerlei weiteren, zusätzlichen Informationen vor, die Wahrscheinlichkeiten für die Gesamtheit des nicht gewählten Torepaares bleiben weiterhin, bis nach dem Letztentscheid, unverändert: Sowohl die Gewinnchance des gesamten nicht gewählten Torepaares (2/3, es sind zwei Tore) und dessen Ziegenrisiko (4/3, es sind zwei Tore) bleiben mangels weiterer Information unverändert. Wie gesagt: Die Chancen der zwei "einzelnen" Tore jenes Torepaares, jedes für sich allein betrachtet, ist jedoch seit der Torwahl des Kandidaten durch eine Dominante der Spielregel dramatisch verändert worden (sie enthalten bekanntlich ein imperatives Ziegentor, siehe unten).
3. Das "Öffnen eines Ziegentores" im nicht gewählten Torepaar durch den Moderator mit dem Angebot, auf das dort befindliche verschlossene "Partnertor" zu wechseln zeigt nur, "welches" der beiden nicht gewählten Tore ein (von Anfang an in jenem Torepaar durch die Spielregel garantiertes) Ziegentor ist, und damit gleichzeitig, welches das durch die Spielregel ebenso zwingend vorherbestimmte, erwartete "privilegierte Partnertor" ist. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten hingegen (Gewinnchancen des ursprünglich gewählten Tores von 1/3 und dessen Ziegenrisiko von 2/3, und auch die gemeinsame Gewinnchance der Gesamtheit des nicht gewählten Torepaares von total 2/3 sowie dessen Ziegenrisiko von total 4/3) bleiben von diesem "Öffnen" völlig unbeeinflusst: Hinsichtlich jener Wahrscheinlichkeiten kam mit dem "Öffnen" keinerlei relevante zusätzliche Information.
4. Der "Letztentscheid" des Kandidaten, ob er das Angebot zum Wechseln ablehnt oder annimmt verändert keine Wahrscheinlichkeiten
5. "Offenlegung" des durch den Letztentscheid endgültig gewählten Torinhalts: Zweite Ziege oder Auto (Nun Sicherheit anstatt bisher Wahrscheinlichkeit)

Nijdam, Du sagst korrekt: Das Ziegenrisiko jedes Tores ist durchschnittlich 2/3. Und ich ergänze: Für das vom Kandidaten ursprünglich gewählte Tor gilt dies (allerdings als einzigem der drei Tore) sogar uneingeschränkt von Anfang an, noch vor der "Torwahl" und in jedem Stadium des Spieles bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten. Für die beiden nicht gewählten Einzeltore galt dies aber nur vor der ersten Torwahl des Kandidaten uneingeschränkt so, danach nicht mehr. (nicht signierter Beitrag von Gerhardvalentin (Diskussion | Beiträge) 23:36, 31. Dez. 2009 (CET))

Danach dominieren für jene beiden Einzeltore zusätzliche Informationen:

Nach der Torwahl: Garantiertes Ziegentor und privilegierte Partnertor

Für die beiden nicht gewählten Einzeltore, jedes für sich allein betrachtet, gelten deren ursprüngliche Gewinnchance von 1/3 und deren ursprüngliches Ziegenrisiko von 2/3, nach der erfolgten "Torwahl", nur noch "auf den ersten Blick hin" vordergründig, jetzt aber nur noch als relativierte Durchschnittswerte. Denn dies ist nicht mehr die einzige Information über deren Einzel-Chancen. Denn mit der "Torwahl" kam eine dominante Information der Spielregel hinzu. Jetzt widersprechen jene – nicht mehr absoluten – Wahrscheinlichkeiten diametral einer Dominanten der Spielregel. Bei dem "nicht gewählten Torepaar" ist gleichzeitig zu berücksichtigen: Für die beiden Einzeltore sind dies nur noch relativierte Durchschnittswerte, und nur für die Summe jener beiden Tore, also "für das gesamte nicht gewählte Torepaar" liegen keine weiteren Informationen vor, nur für das gesamte nicht gewählte Torepaar gelten die ursprünglichen Werte von Anfang bis nach dem Letztentscheid weiterhin uneingeschränkt: Gewinnchance=2/3, Verlustrisiko=4/3 (es sind wie gesagt zwei Tore).

Sieht man sich jene beiden Tore jedoch als Einzeltore genauer an, so kommt hier wie gesagt ein wesentlicher, weiterer Aspekt hinzu: Auch ihre jeweilige Einzel-Gewinnchancen scheinen zwar auf den ersten Blick, ebenso wie bei dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tor, bei durchschnittlich je 1/3 und ihr Einzel-Verlustrisiko bei durchschnittlich je 2/3 zu liegen. Dies gilt jetzt aber als "einzige Information" nur noch weiterhin für dis Summe der beiden nicht gewählten Tore, also für das gesamte nicht gewählte Torepaar, aber nicht mehr für die beiden einzelnen nicht gewählten Tore "je für sich allein betrachtet". Für diese beiden Einzeltore sind das nur noch "relativierte Durchschnittswerte", die einzeln absolut nicht mehr zutreffen können, weil die Spielregel gleichzeitig von Anfang an dominant auch noch etwas Gegenteiliges sagt. Diese "Einzel-Wahrscheinlichkeiten" werden durch eine dominante Bestimmung der Spielregel völlig relativiert. Jene "vordergründigen" Werte sind ja noch lange nicht alles, was wir über jene Wahrscheinlichkeiten der beiden einzelnen, nicht gewählten Tore durch die Bestimmungen der Spielregel bereits wissen. Wir wissen durch die Spielregel zusätzlich schon genau, dass dabei gleichzeitig das Chancen-Risken-Verhältnis jener beiden Einzeltore, jedes für sich allein betrachtet, seit der ersten Torwahl des Kandidaten an niemals mehr 1:1 gleich sein kann, sondern zwingend und sonnenklar unterschiedlich ist. Deine mathematischen Berechnungen haben diese Dominante der Spielregel bisher ignoriert. Zumindest eines der beiden nicht gewählten Einzeltore ist und bleibt (!), seit der ersten Torwahl des Kandidaten, laut Spielregel von da ab bis zum endgültigen Schluss, also sogar bis nach der "Offenlegung", ein sicheres Ziegentor mit einer Gewinnchance von absolut Null und einem Verlustrisiko von absolut 1. Das steht gemäß Spielregel seit der "Torwahl" unabänderlich fest. Das wissen wir also "gleichzeitig", und das darf nicht ignoriert werden. Wir wissen auch, dass diese Unterschiedlichkeit der beiden nicht gewählten Einzeltore bis nach dem "Letztentscheid" unverändert bleiben wird: In jenem Torepaar ist (ohne jede Wahrscheinlichkeitsrechnung) seit der "Torwahl" und bis zum Schluss mit absoluter Sicherheit=1 zumindest ein Ziegentor garantiert, denn die Spielregel sieht nur ein einziges Auto vor. Jenes "imperative Ziegentor" hat ab der Torwahl des Kandidaten und sogar bis nach der "Offenlegung" eine Gewinnchance von absolut Null. Das "andere" Tor, sein "Partnertor", besitzt zwar – für sich allein betrachtet, eine "vordergründige" Gewinnchance von durchschnittlich 1/3. Doch steht unabänderlich fest, dass nur noch die gemeinsame Gewinnchance jener beiden Einzeltore unverändert ist, nicht aber ihre "Einzel-Gewinnchance". Nur die gemeinsame Gewinnchance des gesamten Torepaares ist durch die "Torwahl" unverändert geblieben und gilt weiterhin bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten (Gewinnchance=2/3, denn es sind zwei Tore, und Verlustrisiko=4/3, es sind ja wie gesagt zwei Tore). Da die Gewinnchance des "einen garantierten Ziegentores" nicht 1/3 sein kann sondern bekannterweise absolut Null ist, die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares jedoch bis nach dem Letztentscheid unverändert durchschnittlich 2/3 beträgt, vereinigt dessen zum Wechseln angebotenes, verschlossen gebliebenes "Partnertor" von der Torwahl an jene gesamte Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 auf sich allein. Die seit der "Torwahl" unterschiedliche Chancenstruktur jener beiden nicht gewählten Einzeltore ist schon vor dem "Öffnen" bekannt, und sie gilt auch noch unverändert nach dem Öffnen eines Ziegentores, also bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten unverändert.

Zeitliche Abfolge: "Welches" der beiden nicht gewählten Tore das "garantierte" Ziegentor ist, braucht niemanden zu interessieren. Bei der Torwahl stellte sich diese Frage noch nicht, und noch bevor sich die Frage nach "welches der beiden Tore" überhaupt stellen könnte, ist sie ja (vorgängig!) bereits durch den Moderator beantwortet worden: Mit dem Öffnen eines Ziegentores ist klar, dass sich dahinter von Anfang bis zum Schluss eine Niete befand und befindet. Und durch die Spielregel ist ja nur ein Ziegentor dort garantiert. Also: Auch nach dem Öffnen des Ziegentores wissen wir, wie bereits seit der "Torwahl", dass ein solches Ziegentor, wie durch die Spielregel garantiert, auch tatsächlich existiert (das ist allerdings wie gesagt keinerlei Erkenntnisgewinn), und dass die Gesamt-Gewinnchance des Torepaares von durchschnittlich 2/3 (es sind wie gesagt insgesamt zwei Tore) auch weiterhin, wie seit der "Torwahl" also auch nach dem Öffnen des Ziegentores gilt und bis nach der "Letztentscheidung" gelten wird. Gleichgültig, ob der Kandidat bei seinem "Letztentscheid" auf das angebotene, privilegierte "Partnertor" wechselt oder bei seinem erstgewählten Tor bleibt, und ob sich beim Öffnen dahinter ein Auto oder eine Ziege befindet, erst dann verändert sich die Wahrscheinlichkeit jenes gewählten Tores von durchschnittlich 2/3 beziehungsweise von 1/3 auf 1 oder auf Null, je nach fortune. Lieber Nijdam, bitte prüfe den Sachverhalt. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 23:36, 31. Dez. 2009 (CET)