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Ein Ellipsoid ist die 3-dimensionale Entsprechung einer Ellipse. So wie sich eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auffassen lässt, gilt:
Ein Ellipsoid (als Fläche) ist ein affines Bild der Einheitskugel
Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der (kartesischen) Koordinaten. Sie liefern Ellipsoide mit Gleichungen
Solch ein Ellipsoid ist punktsymmetrisch zum Punkt , dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen sind (analog zu einer Ellipse) die Halbachsen des Ellipsoids und die Punkte ihre 6 Scheitel.
Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein Rotationsellipsoid.
Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder dreiachsig.
Alle Ellipsoide sind symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt die Rotationssymmetrie bezüglich der Rotationsachse noch hinzu. Eine Kugel ist zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt symmetrisch.
Die Punkte auf der Einheitskugel können wie folgt parametrisiert werden (s. Kugelkoordinaten):
Skaliert man die einzelnen Koordinaten mit den Faktoren so ergibt sich eine Parameterdarstellung des Ellipsoids :
mit und
Volumen eines Ellipsoids
Das Volumen des Ellipsoids ist
Eine Kugel mit Radius hat das Volumen
Herleitung
Der Schnitt des Ellipsoids mit einer Ebene in der Höhe ist die Ellipse mit den Halbachsen . Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist . Das Volumen ergibt sich dann aus
Die Oberfläche eines abgeplatteten Rotationsellipsoids mit ist
die des verlängerten Ellipsoids ()
Eine Kugel mit Radius hat die Oberfläche (s. Kugel).
Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids
Die Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B. oder oben beim Rotationsellipsoid. Die Flächenberechnung gelang Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der elliptischen Integrale. Sei . Schreibt man
und
so lauten die Integrale
und
Die Oberfläche hat mit und nach Legendre[1] den Wert
Werden die Ausdrücke für und sowie die Substitutionen
und
in die Gleichung für eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise
Von Knud Thomsen stammt die (integralfreie) Näherungsformel
Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.
Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids streben alle drei angegebenen Formeln für gegen den doppelten Wert der Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen und .
Ebene Schnitte eines Ellipsoids
Der Schnitt eines Ellipsoids mit einer Ebene ist
eine Ellipse, falls er wenigstens zwei Punkte enthält,
Der erste Fall folgt aus der Tatsache, dass eine Ebene eine Kugel in einem Kreis schneidet und ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse übergeht.
Eine affine Abbildung lässt sich durch eine Verschiebung um und eine reguläre 3×3-Matrix beschreiben:
, wobei die Spaltenvektoren der Matrix sind.
Die Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids ergibt sich aus der obigen Parameterdarstellung der Einheitskugel und der Beschreibung einer affinen Abbildung:
Umgekehrt gilt: Wählt man einen Vektor beliebig und die Vektoren beliebig, aber linear unabhängig, so beschreibt die obige Parameterdarstellung in jedem Fall ein Ellipsoid. Bilden die Vektoren ein Orthogonalsystem, so sind die Punkte die Scheitel des Ellipsoids und die zugehörigen Halbachsen.
Zu einer Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids lässt sich auch eine implizite Beschreibung angeben. Für ein Ellipsoid mit Mittelpunkt im Ursprung, d. h. , ist
Bemerkung: Das durch obige Parameterdarstellung beschriebene Ellipsoid ist in dem (eventuell schiefen) Koordinatensystem (Ursprung), (Basisvektoren) die Einheitskugel.
Die Eigenvektoren von A bestimmen die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids und die Eigenwerte von A sind die Kehrwerte der Quadrate der Halbachsen: , und .[3]
Ellipsoid in der projektiven Geometrie
Schließt man den 3-dimensionalen affinen Raum und die einzelnen Quadriken projektiv durch eine Fernebene bzw. Fernpunkte (Quadriken) ab, so sind die folgenden Quadriken projektiv äquivalent, d. h., es gibt jeweils eine projektive Kollineation, die die eine Quadrik in die andere überführt: