Ellipsoid

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Ein Ellipsoid ist die drei- oder mehrdimensionale Entsprechung einer Ellipse.

Bekannte angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind die Erde, der Jupiter und der Rugbyball.

Definition[Bearbeiten]

Ein Ellipsoid im dreidimensionalen Raum kann als gestrecktes oder gestauchtes (affines) Bild einer Kugeloberfläche (Sphäre) erklärt werden. Unter Verwendung kartesischer Koordinaten und Ausrichtung der Koordinatenachsen x, y und z nach den Symmetrieachsen des Ellipsoids lautet seine Gleichung

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0

mit positiven reellen Zahlen a, b und c, den Längen der Halbachsen.

Im n-dimensionalen Raum ist ein Ellipsoid

E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)^T\in R^n : x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}

die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit positiv definiter reeller (zu einer quadratischen Form gehörenden) Matrix Q = (q_{ij}).

Durch Hauptachsentransformation kann man Q auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren. Die Eigenvektoren dieser Matrix geben die Richtung der Hauptachsen an, die Kehrwerte der Wurzeln aus den Eigenwerten sind die Längen der zugehörigen Halbachsen.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Die folgenden Erläuterungen beschränken sich wieder auf Ellipsoide im dreidimensionalen Raum. Sind alle drei Halbachsen verschieden, spricht man von triaxialen (oder dreiachsigen) Ellipsoiden. Bei Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen entstehen Rotationskörper, in diesem Fall Rotationsellipsoide. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vgl. Erdellipsoid) oder andere Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

Erde als Ellipsoid[Bearbeiten]

Jupiters Durchmesser von Pol zu Pol ist deutlich kleiner als am Äquator (zum Vergleich roter Kreis)

Die Erde ist nur ungefähr eine Kugel. In Wirklichkeit ist sie durch die Drehung um sich selbst an den Polen abgeflacht und auch sonst sehr unregelmäßig geformt. Um diese Unregelmäßigkeit genauer zu beschreiben, wird statt der Kugel oft ein Rotationsellipsoid verwendet. Dieses dient in der Kartografie und Geodäsie als Bezugssystem zur Konstruktion von Vermessungsnetzen und der direkten Angabe geografischer Koordinaten. Durch das Ellipsoid wird die Erdfigur als Fläche konstanter Höhe angenähert (siehe Geoid und Meeresspiegel).

Der Planet Jupiter ist aufgrund seiner schnellen Rotation (und weil er zum größten Teil aus Gasen und durch Druck verflüssigten Gasen besteht) ein deutlich erkennbares Rotationsellipsoid.

Volumen des Ellipsoids[Bearbeiten]

Das Volumen V lässt sich mittels

V = \frac{4}{3} \pi a b c

aus dem Produkt der Halbachsen berechnen.

Oberfläche des Rotationsellipsoids[Bearbeiten]

Sei a \ge b \ge c und sei \varepsilon = \sqrt{1 - \left(\frac{c}{a}\right)^2} die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der xz-Ebene y = 0 ergibt. Dann ist für ein abgeplattetes (oblates) Ellipsoid mit a=b>c (Rotationsachse = z-Achse)

A = 2 \pi a^2 \left( 1 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \,\frac{\operatorname{artanh} \,\varepsilon}{\varepsilon} \right)

und für ein verlängertes (prolates) Ellipsoid mit a>b=c (Rotationsachse = x-Achse)

A = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac{a}{c} \, \frac{\arcsin \,\varepsilon}{\varepsilon} \right).

Oberfläche des triaxialen Ellipsoids[Bearbeiten]

Die Oberfläche des triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B. artanh oder arcsin. Die Flächenberechnung gelang Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der elliptischen Integrale. Sei a>b>c. Schreibt man

k=\frac ab \frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}} und \varphi=\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a},

so lauten die Integrale

E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\ \mathrm dx und F(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2 x^2}}\ \mathrm dx.

Die Oberfläche hat mit E und F nach Legendre[1] den Wert

A=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi)+(a^2-c^2) E(k,\varphi)\right).

Werden die Ausdrücke für k und \varphi sowie die Substitutionen

u=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}  und  v=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}

in die Gleichung für A eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise

A=2\pi c^2+2\pi ab \int_0^1 \frac{1-u^2 v^2 x^2}{\sqrt{1-u^2 x^2} \sqrt{1-v^2 x^2}}\ \mathrm dx.

Von Knud Thomsen stammt die (integralfreie) Näherungsformel

A\approx 4\pi\!\left(\frac{ (a b)^{1,6}+(a c)^{1,6}+(b c)^{1,6} }{3}\right)^{0,625}\,\!.

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.

Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids \left(c \to 0 \right) streben alle drei angegebenen Formeln für A gegen 2\pi ab, den doppelten Wert der Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen a und b.

Herleitung der Formeln für Rotationsellipsoide[Bearbeiten]

Mit den Definitionen der elliptischen Integrale E und F lassen sich die beiden rotationssymmetrischen Spezialfälle leicht aus der allgemeinen triaxialen Formel ableiten, denn E und F werden zu elementaren Funktionen.

Abgeplattetes Ellipsoid[Bearbeiten]

b = a, also wird k = 1, daraus folgt E(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \ \mathrm dx =\sin \varphi = \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a} und F(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{1-x^2}\ \mathrm dx = \operatorname{artanh} (\sin \varphi) = \operatorname{artanh} \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).
Eingesetzt in Legendres Gleichung ergibt das A = 2\pi c^2+\frac{2\pi a}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \operatorname{artanh}\left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right) + (a^2-c^2) \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).

Verlängertes Ellipsoid[Bearbeiten]

b = c, also wird k = 0, daraus folgt E(0,\varphi)= F(0,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \mathrm dx = \arcsin (\sin \varphi) = \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).
Eingesetzt in Legendres Gleichung ergibt das A=2\pi c^2+\frac{2\pi c}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right)+(a^2-c^2) \arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right)\right).

Zusammenfassen und Vereinfachen führt auf die im Abschnitt Oberfläche des Rotationsellipsoids angegebenen Ausdrücke. Alternativ lassen sich die Oberflächen auch als Mantelflächen rotierender Ellipsen (Rotationsellipsoid) berechnen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales Euleriennes, Bd. 1. Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Ellipsoid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen