Endlich erzeugte Gruppe

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Eine endlich erzeugte Gruppe ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Es handelt sich um einen Spezialfall einer Gruppe.

Definition[Bearbeiten]

Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt (oder auch: endlich erzeugbar), falls es eine endliche Teilmenge S \subset G gibt, die G erzeugt. Dies bedeutet, dass G die kleinste Untergruppe von G ist, die S enthält. Die Teilmenge S nennt man Erzeugendensystem von G.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Mit \langle S \rangle notiert man oftmals die von S erzeugte Gruppe. Das Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe ist jedoch nicht eindeutig.
  • In der Algebra betrachtet man insbesondere endlich erzeugte abelsche Gruppen, da man diese recht einfach klassifizieren kann.
  • Die endlichen Gruppen sind insbesondere endlich erzeugt, die Endlichkeit der Gruppe ist hinreichend für ihre endliche Erzeugbarkeit, aber nicht notwendig.
  • Notwendig für die endliche Erzeugbarkeit ist, dass die Gruppe eine abzählbare Menge ist. Dies ist aber nicht hinreichend.

Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten]

  • Die ganzen Zahlen (\Z,+) sind eine endlich erzeugte Gruppe mit Erzeugendensystem \{1\}.
  • Allgemeiner sind alle zyklischen Gruppen endlich erzeugte Gruppen.
  • Die Menge der positiven rationalen Zahlen (\mathbb{Q}^+,\cdot) bildet mit der Multiplikation eine Gruppe, die kein endliches Erzeugendensystem besitzt, also nicht endlich erzeugbar ist. Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe bildet die abzählbare Menge der Primzahlen.
  • Jede freie Gruppe über einer endlichen, mindestens zweielementigen Menge S ist nicht kommutativ, endlich erzeugt – S ist ein Erzeugendensystem – und abzählbar unendlich.

Literatur[Bearbeiten]