Faserung

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, versteht man unter einer Faserung eine stetige Abbildung von topologischen Räumen, welche der Homotopie-Hochhebungseigenschaft bezüglich jedem topologischen Raum genügt. Faserungen spielen in der Homotopietheorie, einem Untergebiet der algebraischen Topologie, eine große Rolle. Grob gesprochen sind Faserungen Raumpaare mit einer Abbildung untereinander, die zulassen, dass man beliebige Homotopien in den Bildraum entlang der gegebenen Abbildung auf den Urbildraum "zurückziehen" kann.

Definition

Eine Faserung ist eine stetige Abbildung von topologischen Räumen

$p: E \longrightarrow B,$

die die Homotopie-Hochhebungseigenschaft erfüllt. Das heißt, dass es zu jedem topologischen Raum X und jeder stetigen Abbildung

$f: X \times I \longrightarrow B$

und einer Abbildung

$\bar{f} : X \times \{0\} \to E$,

so dass das Diagramm

$\begin{matrix} \bar{f}: X \times \{0\} & \longrightarrow & E \\ \ \downarrow \operatorname{id}_X \times 0 & & \downarrow p \\ f: X \times I \ & \longrightarrow & B \end{matrix}$

kommutiert, eine Abbildung

$F: X \times I \longrightarrow E$

gibt, so dass $f = p \circ F$ ist.

E nennt man Totalraum, B die Basis der Faserung. Das Urbild p ^{− 1}(b) eines Punktes $b \in B$ bezeichnet man mit Faser über b.

Beispiele

• Sei F ein beliebiger topologischer Raum und sei

$p : B \times F \to B$

eine Projektion auf den ersten Faktor, dann ist p eine Faserung.

• Jede Überlagerung ist eine Faserung,
• ebenso ist auch jedes Faserbündel eine Faserung.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1966 (McGraw-Hill Series in Higher Mathematics).