Gauß-Quadratur

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Die Gauß-Quadratur (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren zur numerischen Integration, das bei gegebenen Freiheitsgraden eine optimale Approximation des Integrals liefert. Bei diesem Verfahren wird die zu integrierende Funktion g aufgeteilt in g(x) = w(x) \cdot \Phi(x), wobei w eine Gewichtsfunktion ist und \Phi durch ein spezielles Polynom mit speziell gewählten Auswertungspunkten x_i approximiert wird. Dieses Polynom lässt sich exakt integrieren. Das Verfahren ist also von der Form

\int_a^bg(x)\,\mathrm dx = \int_a^b\Phi(x)w(x)\,\mathrm dx \approx \int_a^bp_n(x)w(x)\,\mathrm dx = \sum_{i=1}^{n}\Phi(x_i)\alpha_i.

Für die Gewichtsfunktion w gilt, dass sie größer gleich Null ist, sie hat endlich viele Nullstellen und ist integrierbar. \Phi ist eine stetige Funktion. Der Integrationsbereich [a,b] ist nicht auf endliche Intervalle beschränkt. Weiterhin werden x_{i} als Knoten oder Abszissenwerte und die Größen \alpha_i als Gewichte bezeichnet.

Das Verfahren wurde 1814 von Gauß veröffentlicht[1], in der heutigen Form mit orthogonalen Polynomen von Carl Gustav Jacobi 1826[2].

Eigenschaften[Bearbeiten]

Um optimale Genauigkeit zu erreichen, müssen die Abszissenwerte x_{i} einer Gauß-Quadraturformel vom Grad n genau den Nullstellen des n-ten orthogonalen Polynoms P_n vom Grad n entsprechen. Die Polynome P_1, P_2, ..., P_n müssen dabei orthogonal bezüglich des mit w gewichteten Skalarprodukts sein,

\delta_{i,j}=\langle P_i,P_j\rangle_w:=\int_a^b P_i(x)P_j(x)w(x)\,\mathrm dx

Für die Gewichte gilt:

\alpha_i = \int_a^b w(x)\prod_{j=1,j\neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\mathrm dx \quad i=1,\ldots,n

Die Gauß-Quadratur stimmt für polynomiale Funktionen, deren Grad maximal 2n-1 ist, mit dem Wert des Integrals exakt überein. Es lässt sich zeigen, dass keine Quadraturformel existiert, die alle Polynome vom Grad 2n exakt integriert. In dieser Hinsicht ist die Ordnung des Quadraturverfahrens optimal.

Ist die Funktion f nun kein Polynom mehr, jedoch hinreichend glatt, d.h. f\in C^{2n}[a,b], so kann für den Fehler \varepsilon(n) der Gaußquadratur mit n Stützstellen gezeigt werden[3]:

\varepsilon(n)=\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\langle P_n,P_n\rangle_w mit \xi\in(a,b)

Anwendung[Bearbeiten]

Die gaußsche Quadratur findet Anwendung bei der numerischen Integration. Dabei werden für eine gegebene Gewichtsfunktion und einen gegebenen Grad n, der die Genauigkeit der numerischen Integration bestimmt, einmalig die Stützpunkte x_i und Gewichtswerte \alpha_i berechnet und tabelliert. Anschließend kann für beliebige \Phi(x) die numerische Integration durch einfaches Aufsummieren von gewichteten Funktionswerten erfolgen.

Dieses Verfahren ist damit potentiell vorteilhaft

  1. wenn viele Integrationen mit derselben Gewichtsfunktion durchgeführt werden müssen und
  2. wenn \Phi(x) hinreichend gut durch ein Polynom approximierbar ist.

Für einige spezielle Gewichtsfunktionen sind die Werte für die Stützstellen und Gewichte fertig tabelliert.

Gauß-Legendre-Integration[Bearbeiten]

Hier handelt es sich um die bekannteste Form der Gauß-Integration auf dem Intervall [-1,1], sie wird oft auch einfach als Gauß-Integration bezeichnet. Es gilt w(x)=1. Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Legendre-Polynome erster Art. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle [a,b] erfolgt durch eine Variablentransformation.

Die Stützpunkte (auch Gaußpunkte genannt) und Gewichte der Gauß-Legendre-Integration sind:

n=1 x_i \alpha_i
1 0 2
n=2 x_i \alpha_i
1 -\sqrt{\tfrac{1}{3}} \approx -0.57735026919 1
2  \sqrt{\tfrac{1}{3}} \approx 0.57735026919 1
n=3 x_i \alpha_i
1 -\sqrt{\tfrac{3}{5}} \approx -0.774596669241 \tfrac{5}{9} \approx 0.555555555556
2 0 \tfrac{8}{9} \approx 0.888888888889
3  \sqrt{\tfrac{3}{5}} \approx 0.774596669241 \tfrac{5}{9} \approx 0.555555555556
n=4 x_i \alpha_i
1 -\sqrt{ \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{7}\sqrt{\tfrac{6}{5}} } \approx -0.861136311594053 \tfrac{18-\sqrt{30}}{36} \approx 0.347854845137454
2 -\sqrt{ \tfrac{3}{7} - \tfrac{2}{7}\sqrt{\tfrac{6}{5}} } \approx -0.339981043584856 \tfrac{18+\sqrt{30}}{36} \approx 0.652145154862546
3  \sqrt{ \tfrac{3}{7} - \tfrac{2}{7}\sqrt{\tfrac{6}{5}} } \approx 0.339981043584856 \tfrac{18+\sqrt{30}}{36} \approx 0.652145154862546
4  \sqrt{ \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{7}\sqrt{\tfrac{6}{5}} } \approx 0.861136311594053 \tfrac{18-\sqrt{30}}{36} \approx 0.347854845137454
n=5 x_i \alpha_i
1 -\tfrac13\sqrt{5+2\sqrt{\tfrac{10}{7}}} \approx -0.906179845938664 \tfrac{322-13\sqrt{70}}{900} \approx 0.236926885056189
2 -\tfrac13\sqrt{5-2\sqrt{\tfrac{10}{7}}} \approx -0.538469310105683 \tfrac{322+13\sqrt{70}}{900} \approx 0.478628670499366
3 0 \tfrac{128}{225} \approx 0.568888888888889
4 \tfrac13\sqrt{5-2\sqrt{\tfrac{10}{7}}} \approx 0.538469310105683 \tfrac{322+13\sqrt{70}}{900} \approx 0.478628670499366
5 \tfrac13\sqrt{5+2\sqrt{\tfrac{10}{7}}} \approx 0.906179845938664 \tfrac{322-13\sqrt{70}}{900} \approx 0.236926885056189

Gauß-Tschebyschow-Integration[Bearbeiten]

Im Gegensatz zur Schulmethode ist die Breite der einzelnen Balken, hier Gewicht genannt, nicht konstant, sondern nimmt zu den Intervallrändern hin ab. Sie beträgt \Delta{}x_i = \tfrac{\pi}{n}\sqrt{1-x_i^2}.

Eine Variante der Gauß-Integration auf dem Intervall [-1,1] mit der Gewichtsfunktion w(x)=\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Die dazugehörigen orthogonalen Polynome sind die Tschebyschow-Polynome, deren Nullstellen und damit auch die Stützpunkte der Quadraturformel direkt in analytischer Form vorliegen:

x_{i,n}=\cos\left(\frac{2i-1}{2n}\,\pi\right)

während die Gewichte nur von der Anzahl der Stützpunkte abhängen

\alpha_{i,n}=\tfrac{\pi}{n}.

Die Erweiterung auf beliebige Intervalle [a,b] erfolgt durch eine Variablentransformation (siehe unten). Liegt der Integrand in der Form \textstyle \int_{-1}^1\,f(x)\,\mathrm dx vor, so kann er umgeformt werden in \textstyle \int_{-1}^{1}w(x)\,\sqrt{1-x^2}\,f(x)\,\mathrm dx. Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe \textstyle \tfrac{\pi}{n}\,\sum_{i=1}^n f(x_{i})\,\sqrt{1-x_i^2} approximiert. Durch Einsetzen der Stützpunkte in analytischer Form erhält man

\int_{-1}^1 \,f(x)\,\mathrm dx \approx \tfrac{\pi}{n}\,\sum_{i=1}^n f\left(\cos\left(\tfrac{2i-1}{2n}\,\pi\right)\right)\,\sin\left(\tfrac{2i-1}{2n}\,\pi\right)

was der n-fachen Anwendung der Mittelpunktsregel über dem Intervall 0 bis Pi entspricht. Der Fehler kann für einen geeigneten Wert für t zwischen 0 und Pi abgeschätzt werden über

\frac{d^{2n}\,\sin\,t\,f(\cos\,t)}{dt^{2n}}\,\left(\frac{\pi}{2n}\right)^{2n}\,\frac{b-a}{(2n+1)!}.

Gauß-Hermite-Integration[Bearbeiten]

Gauß-Integration auf dem Intervall (-\infty,\infty). Es gilt w(x)=e^{-x^2}. Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Hermite-Polynome. Liegt der Integrand in der Form \textstyle \int_{-\infty}^{\infty}\,f(x)\,\mathrm dx vor, so kann er umgeformt werden in \textstyle \int_{-\infty}^{\infty}w(x)\,e^{x^2}\,f(x)\,\mathrm dx. Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe \textstyle \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_{i}^2}\,\alpha_i approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Hermite-Integration:

n=1 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i^2}
1 0 \sqrt{\pi} \approx 1.7724538509055159 1.7724538509055159
n=2 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i^2}
1 -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707106781187 \frac{\sqrt{\pi }}{2} \approx 0.886226925453 1.46114118266
2 \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707106781187 \frac{\sqrt{\pi }}{2} \approx 0.886226925453 1.46114118266
n=3 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i^2}
1 -\sqrt{\frac{3}{2}} \approx -1.22474487139 \frac{\sqrt{\pi }}{6} \approx 0.295408975151 1.32393117521
2 0 \frac{2 \sqrt{\pi }}{3} \approx 1.1816359006 1.1816359006
3 \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1.22474487139 \frac{\sqrt{\pi }}{6} \approx 0.295408975151 1.32393117521
n=4 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i^2}
1 -1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177
2 -0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
3 0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
4 1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177

Gauß-Laguerre-Integration[Bearbeiten]

Gauß-Integration auf dem Intervall [0,\infty). Es gilt w(x)=e^{-x}. Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Laguerre-Polynome. Liegt der Integrand in der Form \textstyle \int_{0}^{\infty}\,f(x)\,\mathrm dx vor, so kann er umgeformt werden in \textstyle \int_{0}^{\infty}w(x)\,e^{x}\,f(x)\,\mathrm dx. Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe \textstyle \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_i}\,\alpha_{i} approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Laguerre-Integration:

n=1 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i}
1 1 1 2.7182818284590451
n=2 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i}
1 2-\sqrt{2} \approx 0.585786437627 \frac{1}{4} \left(2+\sqrt{2}\right) \approx 0.853553390593 1.53332603312
2 2+\sqrt{2} \approx 3.41421356237 \frac{1}{4} \left(2-\sqrt{2}\right) \approx 0.146446609407 4.45095733505
n=3 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i}
1 0.415774556783 0.711093009929 1.07769285927
2 2.29428036028 0.278517733569 2.7621429619
3 6.28994508294 0.0103892565016 5.60109462543
n=4 x_i \alpha_i \alpha_i\,e^{x_i}
1 0.322547689619 0.603154104342 0.832739123838
2 1.74576110116 0.357418692438 2.04810243845
3 4.53662029692 0.038887908515 3.63114630582
4 9.3950709123 0.000539294705561 6.48714508441

Variablentransformation bei der Gauß-Quadratur[Bearbeiten]

Ein Integral über [a, b] wird auf ein Integral über [−1, 1] zurückgeführt, bevor man die Methode der Gauß-Quadratur anwendet. Dieser Übergang kann durch t(x):=\frac{1}{b-a}(2x-a-b) mit t(a)=-1 und t(b)=1 sowie t^{-1}(y)=\frac{b-a}{2}y+\frac{a+b}{2} und Anwendung der Integration durch Substitution auf folgende Weise geschehen:


\int_a^b f(t)\,dt = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x 
+ \frac{a+b}{2}\right)\,dx

Nach Anwendung der Gauß-Quadratur gilt die Approximation


\int_a^b f(t)\,dt \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n \alpha_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)
.

Adaptives Gauß-Verfahren[Bearbeiten]

Da der Fehler bei der Gauß-Quadratur, wie oben erwähnt, abhängig von der Anzahl der gewählten Stützstellen ist und sich mit einer größeren Anzahl Stützstellen gerade der Nenner erheblich vergrößern kann, legt dies nahe, bessere Näherungen mit größerem n zu erhalten. Die Idee ist, zu einer vorhandenen Näherung G_{n}, eine bessere Näherung, beispielsweise G_{2n+1}, zu berechnen, um die Differenz zwischen beiden Näherungen zu betrachten. Sofern der geschätzte Fehler \varepsilon:=\left|G_{2n+1}-G_{n}\right| eine gewisse absolute Vorgabe \varepsilon_{Tol} überschreitet, ist das Intervall aufzuteilen, sodass auf \left[a,\frac{a+b}{2}\right] und \left[\frac{a+b}{2},b\right] die G_n-Quadratur erfolgen kann. Jedoch ist die Auswertung einer 2n+1 Gauß-Quadratur ziemlich kostspielig, da insbesondere für n< m im Allgemeinen m neue Stützstellen berechnet werden müssen, sodass sich für die Gauß-Quadratur mit Legendre-Polynomen, die adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur anbietet.

Adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur[Bearbeiten]

Die präsentierte Kronrod-Modifikation, welche nur für die Gauß-Legendre-Quadratur existiert, basiert auf der Verwendung der bereits gewählten n Stützstellen und der Hinzunahme von n+1 neuen Stützstellen.[4] Während die Existenz optimaler Erweiterungen für die Gauß-Formeln von Szegö belegt wurde, leitete Kronrod (1965) für die Gauß-Legendre-Formeln optimale n+1 Punkte her, die den Präzisionsgrad 3n+1 sicherstellen.[4] Wenn die mithilfe der erweiterten Knotenzahl von 2n+1 berechnete Näherung als K_{2n+1} definiert wird, lautet die Fehlerschätzung:


\varepsilon:=\left|K_{2n+1}-G_{n}\right|\text{.}

Diese kann dann mit einem \varepsilon_{tol} verglichen werden, um dem Algorithmus ein Abbruchkriterium zu geben. Die n+1 Kronrod-Knoten und -Gewichte zu den n Gauß-Legendre-Knoten und Gewichten sind für n\in\{3,7\} in der folgenden Tabelle festgehalten. Die Gauß-Knoten wurden mit einem (G) markiert.

n=3 x_i \alpha_i
1 ~0.960491268708020283423507092629080 ~0.104656226026467265193823857192073
2 ~0.774596669241483377035853079956480 (G) ~0.268488089868333440728569280666710
3 ~0.434243749346802558002071502844628 ~0.401397414775962222905051818618432
4 0 (G) ~0.450916538658474142345110087045571
5 ~-0.434243749346802558002071502844628 ~0.401397414775962222905051818618432
6 ~-0.774596669241483377035853079956480 (G) ~0.268488089868333440728569280666710
7 ~-0.960491268708020283423507092629080 ~0.104656226026467265193823857192073
n=7 x_i \alpha_i
1 ~0.991455371120812639206854697526329 ~0.022935322010529224963732008058970
2 ~0.949107912342758524526189684047851 (G) ~0.063092092629978553290700663189204
3 ~0.864864423359769072789712788640926 ~0.104790010322250183839876322541518
4 ~0.741531185599394439863864773280788 (G) ~0.140653259715525918745189590510238
5 ~0.586087235467691130294144838258730 ~0.169004726639267902826583426598550
6 ~0.405845151377397166906606412076961 (G) ~0.190350578064785409913256402421014
7 ~0.207784955007898467600689403773245 ~0.204432940075298892414161999234649
8 0 (G) ~0.209482141084727828012999174891714
9 ~-0.207784955007898467600689403773245 ~0.204432940075298892414161999234649
10 ~-0.405845151377397166906606412076961 (G) ~0.190350578064785409913256402421014
11 ~-0.586087235467691130294144838258730 ~0.169004726639267902826583426598550
12 ~-0.741531185599394439863864773280788 (G) ~0.140653259715525918745189590510238
13 ~-0.864864423359769072789712788640926 ~0.104790010322250183839876322541518
14 ~-0.949107912342758524526189684047851 (G) ~0.063092092629978553290700663189204
15 ~-0.991455371120812639206854697526329 ~0.022935322010529224963732008058970

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Krylov, V. I.: "Approximate Calculation of Integrals". MacMillan, New York, 1962.
  • Davis, P. und Rabinowitz, P.: Methods of Numerical Integration. 2nd. ed., Academic Press, 1984.
  • Stroud, A. H. und Secrest, D.: Gaussian Quadrature Formulas. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1966.
  • Stroud, A. H.: Approximate Calculation of Multiple Integrals. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.

Quellen[Bearbeiten]

  1. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Comm. Soc. Sci. Göttingen Math., Band 3, 1815, 29-76, Gallica, datiert 1814, auch in Werke, Band 3, 1876, S. 163-196
  2. Jacobi Über Gauß´ neue Methode die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 1, 1826, 301-308, Online, und Werke, Band 6
  3. Freund, Ronald W.; Hoppe, Ronald H. W.: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. Zehnte, neu bearbeitete Auflage. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2007, S. 195
  4. a b Piessens, Robert ; Doncker-Kapenga, Elise de ; Überhuber, Christoph W. ; Kahaner, David K.: QUADPACK: A subrotine package for automatic integration. Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1983, S. 16-17