Grüneisen-Parameter

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Der Grüneisen-Parameter \gamma oder auch \Gamma (nach Eduard Grüneisen) beschreibt die Abhängigkeit der Frequenz von Gitterschwingungen (Phononen) in einem Kristall von der relativen Volumenänderung, die ihrerseits von der Temperatur abhängt. Er dient der Beschreibung anharmonischer Effekte in Kristallen, die weder elektrisch leitend noch magnetisch sind, und wird verwendet in der Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen.

Beschreibung[Bearbeiten]

In einem einfachen Modell nimmt man an, dass alle Wechselwirkungen in einem Kristall harmonisch sind. Dies beschreibt reale Festkörper jedoch nur unzureichend, da diese z. B. eine Volumenausdehnung mit steigender Temperatur zeigen, was von einem solchen harmonischen Modell nicht berücksichtigt wird. Darum führt man Terme höherer Ordnung in das Wechselwirkungs-Potential im Festkörper ein und erhält neue Effekte.

Somit hängt jetzt die relative Änderung δω/ω der Schwingungsfrequenz eines Phonons bestimmten Impulses und in einem bestimmten Phononenzweig linear von der relativen Volumenausdehnung δV/V ab:

\frac{\delta \omega}{\omega} = -\gamma \cdot \frac{\delta V}{V}

Dabei ist der dimensionslose Grüneisenparameter definiert als:

\gamma = -\frac{\partial(\ln \omega)}{\partial(\ln V)} = -\frac{V}{\omega} \cdot \frac{\partial \omega}{\partial V}

Typische Werte für \gamma liegen bei Zimmertemperatur zwischen 1 und 2 (s. hier), d. h. das Volumen und die Phononenfrequenzen ändern sich etwa gleich stark.

Streng genommen muss für jede Mode ein eigener Grüneisenparameter definiert werden, insbesondere können sich transversale und longitudinale Moden unterscheiden. Allerdings skalieren im Debye- bzw. Einstein-Modell alle Frequenzen mit der Debye-Frequenz \omega_D bzw. mit der Einstein-Frequenz \omega_E. Entsprechend gibt es auch nur eine Grüneisenkonstante für alle Moden:

\gamma = -\frac{\partial(\ln \omega_{D/E})}{\partial(\ln V)} = -\frac{3 B \cdot \alpha}{c_V}

mit

Dies ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass spezifische Wärme und Ausdehnungskoeffizient eine ähnliche Temperaturabhängigkeit aufweisen. Deshalb ist die Definition eines konstanten Grüneisenparameters sinnvoll.

Eine thermodynamische Darstellung des Grüneisen-Parameters beschreibt die Änderung des Drucks p mit der inneren Energie U bei konstantem Volumen V:

\gamma = V \cdot \left( \frac{\partial p}{\partial U} \right)_V

Damit wird der Grüneisen-Parameter direkt messbar. Man kann die innere Energie in einem Bereich des Kristalls bei konstantem Volumen erhöhen, wenn man z.B. mit einem Laserpuls einstrahlt. Dabei wird eine Druckwelle erzeugt, die man dann an der Kristalloberfläche detektiert.

Quellen[Bearbeiten]