Ausdehnungskoeffizient

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Der Ausdehnungskoeffizient oder Wärmeausdehnungskoeffizient ist ein Kennwert, der das Verhalten eines Stoffes bezüglich Veränderungen seiner Abmessungen bei Temperaturveränderungen beschreibt – deswegen oft auch thermischer Ausdehnungskoeffizient genannt. Der hierfür verantwortliche Effekt ist die Wärmeausdehnung. Die Wärmeausdehnung ist abhängig vom verwendeten Stoff, es handelt sich also um eine stoffspezifische Materialkonstante. Da die Wärmeausdehnung bei vielen Stoffen nicht gleichmäßig über alle Temperaturbereiche erfolgt, ist auch der Wärmeausdehnungskoeffizient selbst temperaturabhängig und wird deshalb für eine bestimmte Bezugstemperatur oder einen bestimmten Temperaturbereich angegeben.

Es wird zwischen dem thermischen Längenausdehnungskoeffizienten α (auch linearer Wärmeausdehnungskoeffizient) und dem thermischen Raumausdehnungskoeffizienten γ (auch räumlicher Ausdehnungskoeffizient oder Volumenausdehnungskoeffizient oder kubischer Ausdehnungskoeffizient) unterschieden.

Längenausdehnungskoeffizient[Bearbeiten]

Der Längenausdehnungskoeffizient α ist die Proportionalitätskonstante zwischen der Temperaturänderung \text{d}T und der relativen Längenänderung \frac{\text{d}L}{L} eines Festkörpers. Mit ihm wird demnach die relative Längenänderung bei einer Temperaturänderung beschrieben. Er ist eine stoffspezifische Größe, der die Einheit K−1 (pro Kelvin) hat und über die folgende Gleichung definiert ist:


\alpha = \frac{1}{L} \, \frac{\text{d}L}{\text{d}T}

Die temperaturabhängige Länge eines Stabes kann über die Lösung dieser Differentialgleichung berechnet werden, sie lautet:


L(T) = L(T_0) \cdot \exp \left(\int_{T_0}^{T} \alpha (T) \ \text{d}T \right)

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Ausdehnungskoeffizienten \alpha(T)=\alpha(T_0) wird daraus zusammen mit der ursprünglichen Länge L_0=L(T_0) bei gleichmäßiger Erwärmung oder Abkühlung um die Temperaturdifferenz \Delta T=T-T_0:


L = L_0 \cdot \exp (\alpha \cdot \Delta T)

Für die meisten Anwendungen ist es ausreichend, folgende Näherung zu verwenden, bei der die Exponentialfunktion durch die ersten beiden Glieder ihrer Taylorreihe angenähert wurde:


L \approx L_0 (1 + \alpha \cdot \Delta T)

Die Längenänderung \Delta L=L-L_0 in linearer Näherung lautet somit:


\Delta L \approx \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T

Bei anisotropen Festkörpern kann auch die Messrichtung einen Einfluss haben, was in Bezug auf die Aussagekraft der Stoffwerte zu beachten ist.

Raumausdehnungskoeffizient[Bearbeiten]

Der Raumausdehnungskoeffizient γ hat wie der Längenausdehnungskoeffizient α die Einheit K−1. Er gibt das Verhältnis zwischen der relativen Volumenzunahme \frac{\text{d}V}{V} und der Temperaturänderung \text{d}T eines Körpers an. Mathematisch ist er definiert durch:


\gamma = \frac{1}{V} \left (\frac {\part V}{\part T} \right)_{p,N}

wobei die den partiellen Ableitungen als Index nachgestellten Größen Druck p und Teilchenzahl N konstant zu halten sind. Die temperaturabhängige Lösung hierfür lautet analog zu oben:


V(T) = V(T_0) \cdot \exp \left(\int_{T_0}^{T} \gamma (T) \ \mathrm dT \right)

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Raumausdehnungskoeffizient \gamma(T)=\gamma(T_0) ergibt sich zusammen mit V(T_0)=V_0:


V = V_0 \cdot \exp (\gamma \cdot \Delta T)

Ebenso wie für den Längenausdehnungskoeffizienten kann hier die Linearisierung als Näherung für kleine Temperaturänderungen benutzt werden:


V \approx V_0 (1 + \gamma \cdot \Delta T)

Mit einer Maxwell-Relation ist es möglich, den Raumausdehnungskoeffizienten mit der Entropie S in Verbindung zu bringen:


\gamma = \frac{1}{V} \left (\frac {\part V}{\part T} \right)_{p,N} = - \frac{1}{V} \left (\frac {\part S}{\part p} \right)_{T,N}

Da die Masse m = \rho(T) \cdot V(T) wegen der Massenerhaltung temperaturunabhängig ist, ergibt sich der Raumausdehnungskoeffizient aus der Dichte \rho(T) in Abhängigkeit von der Temperatur:


\gamma = - \frac{1}{\rho} \left (\frac{\part \rho}{\part T} \right)_p

Ist der Ausdehnungskoeffizient als Funktion der Temperatur bekannt, so ergibt sich die Dichte aus:


\rho(T) = \rho(T_0) \cdot \exp \left( - \int_{T_0}^{T} \gamma (T) \ \mathrm dT \right)

Hierbei ist T_0 eine beliebige Temperatur, z. B. T_0 = 298,15 K = 25 °C, bei der die Dichte \rho(T_0) bekannt ist.

Eduard Grüneisen hat gezeigt, dass der Quotient \alpha / c_p zwischen dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten \alpha und der spezifischen Wärmekapazität c_p näherungsweise unabhängig von der Temperatur ist.

Im Allgemeinen ist der Wärmeausdehnungskoeffizient eine positive Größe. Wegen des Massenerhaltungssatzes geht daher bei den meisten Stoffen eine Temperaturerhöhung mit einer Verringerung der Dichte einher. Manche Stoffe, wie beispielsweise Wasser zwischen 0 und 4 °C, zeigen jedoch in bestimmten Temperaturbereichen das als Dichteanomalie bezeichnete Verhalten, bei dem ein negativer Ausdehnungskoeffizient beobachtet wird. Außerdem gibt es Materialien, wie zum Beispiel einige Arten von Glaskeramik, deren Wärmeausdehnungskoeffizient nahezu null ist.

Der Wärmeausdehnungskoeffizient kann auf empirischem Wege durch Messungen ermittelt werden und gilt nur für den Stoff und für den Temperaturbereich, an dem beziehungsweise in dem die Messung erfolgte.

Zusammenhang zwischen Längen- und Raumausdehnungskoeffizienten[Bearbeiten]

Für isotrope Festkörper gilt, dass sich die Längenänderung in allen drei Raumrichtungen gleich verhält. Das Volumen eines Kastens ist gegeben durch das Produkt seiner Kantenlängen V=L_1\cdot L_2\cdot L_3. Das vollständige Differential des Volumens lautet dann:


\mathrm dV = L_1\cdot L_2\cdot  \mathrm dL_3 + L_1\cdot L_3\cdot  \mathrm dL_2 + L_2\cdot L_3\cdot  \mathrm dL_1

Eingesetzt in die Definition des Raumausdehnungskoeffizienten ergibt sich:


\gamma = \frac{1}{V} \frac{\mathrm dV}{\mathrm dT} = \frac{1}{L_3}\frac{\mathrm dL_3}{\mathrm dT}+\frac{1}{L_2}\frac{\mathrm dL_2}{\mathrm dT}+\frac{1}{L_1}\frac{\mathrm dL_1}{\mathrm dT}

Aufgrund der vorausgesetzten Isotropie sind die drei Terme auf der rechten Seite jeweils gleich dem Längenausdehnungskoeffizienten, es gilt also:


\gamma = 3 \cdot \alpha

Für isotrope Festkörper kann das Dreifache des Längenausdehnungskoeffizienten verwendet werden, um die Volumenausdehnung zu berechnen.

Ausdehnungskoeffizienten einiger Stoffe[Bearbeiten]

Feststoffe[Bearbeiten]

Längenausdehnungskoeffizient α einiger Feststoffe bei 20 °C
Bezeichnung α in 10−6 K−1 Quelle Bezeichnung α in 10−6 K−1 Quelle
Aluminium 23,1 [1] Magnesium 24,8 [1]
Beryllium 11,3 [1] Mangan 21,7 [1]
Blei 28,9 [1] Nickel 13,4 [1]
Chrom 4,9 [1] Platin 8,8 [1]
Diamant 1,18 [1] Silber 18,9 [1]
Eisen 11,8 [1] Silizium 2,6 [1]
Germanium 5,8 [1] Titan 8,6 [1]
Gold 14,2 [1] Wolfram 4,5 [1]
Graphit 1,9…2,9 [2] Zink 30,2 [1]
Invar 0,55…1,2 [1] Zinkcyanid −18,1 [3]
Kochsalz 40 [4] Zinn 22,0 [1]
Kupfer 16,5 [1] Zirconiumwolframat −8,7 [3]

Für Feststoffe werden in der Regel Längenausdehnungskoeffizienten verwendet. Da viele Materialien isotrop sind, können diese, wie oben beschrieben, auch zur Beschreibung der Volumenausdehnung verwendet werden. Für anisotrope Stoffe gelten verschiedene Ausdehnungskoeffizienten für die unterschiedlichen Raumrichtungen. Starke Anisotropie zeigen einige Verbundwerkstoffe, wie das Naturprodukt Holz: Die Ausdehnung quer zur Faser ist etwa 10 mal größer als längs der Faser.[5]

Die Legierung Invar wurde speziell entwickelt, um einen kleinen Ausdehnungskoeffizienten zu erhalten. Durch kleine Abweichungen der Zusammensetzung schwankt der Ausdehnungskoeffizient für diesen Stoff relativ stark.

Kunststoffe (Polymere) sind von der Struktur und den Eigenschaften sehr vielfältig und bestehen meist aus einem Gemisch verschiedener reiner Stoffe. Der Ausdehnungskoeffizient schwankt entsprechend mit der tatsächlichen Zusammensetzung, ist aber in der Regel deutlich höher als für Metalle, das heißt größer als 50 · 10−6 K−1.[2] Unterhalb ihres Glasübergangs haben Polymere, bzw. allgemein amorphe Feststoffe, in der Regel einen deutlich kleineren Ausdehnungskoeffizienten als oberhalb.

Flüssigkeiten[Bearbeiten]

Raumausdehnungskoeffizient γ einiger Flüssigkeiten bei 20 °C
Bezeichnung γ in 10−3 K−1 Quelle Bezeichnung γ in 10−3 K−1 Quelle
Aceton 1,46 [1] Mineralöl, Hydrauliköl 0,7
Benzol (bei 25 °C) 1,14 [1] NaK 0,16
Chloroform 1,21 [1] Quecksilber 0,1811 [1]
Ethanol 1,40 [1] Tetrachlormethan 1,21 [1]
Essigsäure 1,08 [1] Wasser (bei 0 °C) −0,068
Glycerin 0,520 [1] Wasser (bei 20 °C) 0,207
Methanol 1,49 [1] Wasser (bei 100 °C) 0,782

Für Flüssigkeiten kann der Raumausdehnungskoeffizient angegeben werden. Sie dehnen sich isotrop, also in alle Richtungen gleichermaßen aus. Ihre Form wird durch das sie beinhaltende Gefäß vorgegeben, weshalb es sich nicht anbietet den Längenausdehnungskoeffizienten für sie zu bestimmen, obwohl er formal berechnet werden kann.

Flüssigkeiten haben in der Regel einen deutlich größeren Ausdehnungskoeffizienten als Feststoffe. Deshalb werden Angaben für sie oft in Tausendstel pro Kelvin gemacht, anstelle von Millionstel pro Kelvin für Feststoffe. In den Tabellen dieses Abschnitts sind die Einheiten dementsprechend gewählt.

Gase[Bearbeiten]

Thermische Ausdehnung von Gasen, einigen Flüssigkeiten und einigen Festkörpern

Gase unter Normaldruck und weit oberhalb des Siedepunktes verhalten sich näherungsweise wie ein ideales Gas. Dieses dehnt sich proportional zur absoluten Temperatur aus. Dieser einfache lineare Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur resultiert in einem sich stark mit der Temperatur ändernden Ausdehnungskoeffizienten  \gamma , der umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur ist:


\gamma_\mathrm{Gas}=\frac{1}{T}

Der Ausdehnungskoeffizient für ideale Gase ist bei 20 °C 1 / 293,15 K−1 (3,41 · 10−3 K−1). Allgemein kann der Ausdehnungskoeffizient durch die thermischen Zustandsgleichung idealer Gase als γ(T) oder durch die thermischen Zustandsgleichung realer Gase als γ(T,p) berechnet werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Gerhard Ondracek: Werkstoffkunde. Leitfaden für Studium und Praxis. 2., überarbeitete Auflage. Expert-Verlag, Sindelfingen 1986, ISBN 3-88508-966-1.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac William M. Haynes (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. A ready-reference Book of chemical and physical Data. 92. Auflage. CRC Press, Boca Raton FL u. a. 2011, ISBN 978-1-439-85511-9, online.
  2. a b Werner Martienssen, Hans Warlimont (Hrsg.): Springer Handbook of Condensed Matter and Material Data. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-44376-2.
  3. a b Christian Georgi, Heinrich Kern: Festkörper mit negativer thermischer Ausdehnung (= Schriftenreihe Werkstoffwissenschaften. Bd. 18). In: Lothar Spiess, Heinrich Kern, Christian Knedlik: Thüringer Werkstofftag 2004. Köster, Berlin 2004, ISBN 3-89574-519-7, S. 63–68.
  4. Lloyd Hunter: The Variation with Temperature of the Principal Elastic Moduli of NaCl near the Melting Point. In: Physical Review. Bd. 61, 1942, S. 84–90, doi:10.1103/PhysRev.61.84.
  5. The coefficients of thermal expansion of wood and wood products (PDF; 5,1 MB) Abgerufen am 10. Mai 2012.

Siehe auch[Bearbeiten]