Heron-Verfahren

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Das Heron-Verfahren, Heron’sche Näherungsverfahren oder babylonische Wurzelziehen ist ein Rechenverfahren zur Berechnung einer Näherung der Quadratwurzel x einer Zahl a>0.

Verfahren[Bearbeiten]

Die Iterationsgleichung des Heron-Verfahrens kann aus dem Newton-Verfahren für die Nullstelle der quadratischen Funktion f(x)=x^2-a hergeleitet werden. Mit f'(x)=2x folgt aus der Rekursionsformel des Newton-Verfahrens x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} die Iterationsvorschrift:

x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2 - a}{2x_n}=\frac{x_n^2 + a}{2x_n}=\frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}.

Der Startwert x_0 der Iteration kann, solange er nicht gleich Null ist, beliebig festgesetzt werden, die Iteration konvergiert immer. Zu beachten ist, dass bei negativen Startwerten die Iteration gegen die negative Quadratwurzel konvergiert. Eine qualifizierte Schätzung für den Startwert erhält man aus der Taylorreihen-Entwicklung der binomischen Reihe um 1, deren zwei erste Glieder diese Gleichung liefern: x_0 = \tfrac{a+1}{2}

Beispiel[Bearbeiten]

Im folgenden einfachen Beispiel wird die Wurzel aus 9 als Annäherung mit drei Berechnungsschritten an den wahren Wert \textstyle \sqrt{9} = 3 gezeigt. Mit \textstyle a = 9 wird der Startwert \textstyle x_0= \frac{9+1}{2}=5 für die Iteration berechnet und in die Iterationsvorschrift eingesetzt:

x_1=\frac{5 + \frac{9}{5}}{2} =\frac {\frac {34}{5}} {2} =\frac{34}{10} = 3{,}4
x_2=\frac{\frac{34}{10} + \frac{9}{\frac{34}{10}}}{2} =\frac{\frac{34}{10} + \frac{90}{34}}{2}  =\frac{257}{85} =3{,}0235294\dots
x_3=\frac{\frac{257}{85} + \frac{9}{\frac{257}{85}}}{2} =\frac{\frac{257}{85} + \frac{765}{257}}{2}  =\frac{65537}{21845} =3{,}000091554\dots .

Konvergenz[Bearbeiten]

Für beliebiges  x_0>0 gilt

 x_n \ge x_{n+1} \ge \sqrt{a} \quad(n = 1, 2...),

d. h. der Näherungswert geht von oben gegen die gesuchte Wurzel, und

 \lim_{n \to \infty}x_n  = \sqrt{a},

d. h. das Verfahren konvergiert gegen die Wurzel.

Da sich das Heron-Verfahren aus dem Newtonschen Näherungsverfahren ableiten lässt, ist die Konvergenzordnung 2.

Das Verfahren konvergiert sehr schnell, wenn bereits eine gute Näherung vorliegt. Die Zahl der richtigen Stellen wird mit jedem Schritt etwa verdoppelt. Wenn die erste Näherung jedoch schlecht ist, braucht es viele Schritte, um eine gute Näherung zu erreichen.

Wenn zum Beispiel aus einer Ganzzahl a mit 200 Binärstellen die Wurzel berechnet werden soll und man mit x_0 = a als erster Näherung beginnt, dann wird die Näherung mit jedem Schritt um etwa eine Binärstelle kürzer, d. h. erst nach etwa 100 Schritten hat die Näherung die richtige Länge von 100 Stellen. Danach reichen sechs bis sieben weitere Schritte (\log_2 (100)), um alle 100 Stellen vor dem Komma richtig zu berechnen.

Es empfiehlt sich somit, einen möglichst genauen Startwert x_0 zu bestimmen. Im Beispiel sollte man zuerst die Bitlänge \lfloor \log_2(a) \rfloor + 1 von a ermitteln, und einen Startwert mit der halben Länge verwenden.

Fehlerabschätzung[Bearbeiten]

Für die Heron-Folge (x_n)_ {n \ge 1} gilt:

\frac{a}{x_n} \le \sqrt{a} \le x_n (Einschließung),

und für den Fehler die folgende Abschätzung

x_n-\sqrt{a} = \frac {1}{2x_{n-1}} \left( x_{n-1}-\sqrt{a} \right)^2 \le \frac {1}{2\sqrt{a}} \left( x_{n-1}-\sqrt{a} \right)^2 (quadratische Konvergenz).

Diese Fehlerabschätzung hat den Nachteil, dass \sqrt{a} nicht bekannt ist, sondern berechnet werden soll. Unter Verwendung der obigen Einschließung erhält man folgende praktikable Abschätzung:

x_n-\sqrt{a} = \frac {1}{2x_{n-1}} \left( x_{n-1}-\sqrt{a} \right)^2 \le  \frac {1}{2x_{n-1}} \left( x_{n-1}-\frac{a}{x_{n}} \right)^2 = \frac{1}{2x_{n-1} \cdot x_n^2} \left(x_{n-1} \cdot x_n-a \right)^2.

Angewandt auf obiges Beispiel erhält man:

x_3-3 = \frac {1}{2x_2} \left( x_2-3 \right)^2= 0{,}000091554\dots\le \frac{1}{2x_2 \cdot x_3^2} \left(x_2 \cdot x_3-9 \right)^2=0{,}0000922\dots.

Geometrische Veranschaulichung des Heron-Verfahrens[Bearbeiten]

Dem Heron-Verfahren liegt die Idee zu Grunde, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt A eine Seitenlänge von \sqrt A hat. Ausgangspunkt des Verfahrens ist ein beliebiges Rechteck mit Flächeninhalt A. Schritt für Schritt wird das Seitenverhältnis des Rechtecks so geändert, dass sich seine Form immer mehr der eines Quadrats annähert, während der Flächeninhalt gleich bleibt. Die Seitenlängen des Rechtecks sind die Näherungswerte für \sqrt A.

Im ersten Schritt wird eine beliebige Seitenlänge x_0 für das Rechteck gewählt. Damit dieses den gewünschten Flächeninhalt hat, wird die zweite Seitenlänge mit der Formel

y_0 = \frac A {x_0}

berechnet. Als Beispiel soll die Wurzel aus 9 berechnet werden. Für die eine Seitenlänge wird der Wert 9 gewählt, sodass sich die andere Seitenlänge zu 1 berechnet. Das erste Rechteck hat deshalb die folgende Form.

Part 1 of a geometric example of Herons method.svg

Die Ähnlichkeit dieses Rechteckes mit einem Quadrat ist gering. Das kommt auch dadurch zum Ausdruck, dass die Seitenlängen 1 und 9 sehr schlechte Näherung für die Wurzel aus 9, deren genauer Wert 3 ist, sind.

Um eine bessere Annäherung an ein Quadrat zu erhalten, muss die lange Seite gekürzt und die kurze Seite verlängert werden. Als neue Länge der langen Seite wird der Mittelwert

x_1 = \frac{x_0 + y_0}{2}

der beiden bisherigen Seitenlängen genommen. Die Länge der anderen Seite berechnet sich wie oben zu

y_1 = \frac A {x_1}

Im Beispiel ergibt sich als Mittelwert die Seitenlänge 5. Die dazugehörige kurze Seite hat eine Länge von 1,8.

Part 2 of a geometric example of Herons method.svg

Auch hier ist die Ähnlichkeit zu einem Quadrat noch gering. Allerdings ist das neue Rechteck im Vergleich zum vorhergehenden kompakter.

Der beschriebene Ablauf wird in jedem weiteren Schritt des Heron-Verfahrens wiederholt. Der Mittelwert der Seitenlängen eines Rechtecks entspricht der Länge der langen Seite des neuen Rechtecks und die Länge der kurzen Seite lässt sich daraus jeweils wie oben beschrieben berechnen. Im Beispiel entstehen so in den nächsten zwei Schritten die folgenden beiden Rechtecke.

Part 3 of a geometric example of Herons method.svg Part 4 of a geometric example of Herons method.svg

Das letzte Rechteck ist schon annähernd quadratisch. Die Seitenlänge 3,024 liegt entsprechend nah bei 3, dem exakten Wert von \sqrt 9.

Implementierung in Software[Bearbeiten]

Das Verfahren eignet sich besonders gut zur Implementierung in Software, da nur Grundrechenarten benötigt werden, s. o. Es wird heute angesichts der breiten Verfügbarkeit numerischer Prozessorhardware aber nur noch selten benötigt.

Wenn dazu noch eine Gleitkommadarstellung mit einem Zweier-Exponenten benutzt wird, wird der Ansatz relativ einfach, als Beispiel wird die Wurzel aus 5 betrachtet und der relative Fehler zum Endwert (also abs((xi - x) / x)) verfolgt:

  • Zunächst wird von diesem Zweier-Exponenten eine gerade Anzahl abgespaltet, so dass als Exponent entweder eine -1 oder 0 übrig bleibt, die Zahl also auf das Intervall [ ½ , 2 ] normalisiert wird. In diesem Intervall ist die Wurzelfunktion eine nur schwach gekrümmte Kurve, lässt sich also numerisch gut behandeln. Beispiel: \sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 1,25} = 2 \cdot \sqrt{1,25} \approx 2 \cdot 1,118034 = 2,236068, es wird also vorerst nur noch a=1,25 mit dem Ziel x=1,118034 behandelt.
  • Als Startwert für die eigentliche Iteration approximiert man diese Kurve durch eine noch einfachere, die sich direkt (ohne Iteration) berechnen lässt. Mit dieser Anfangsberechnung wird der Startwert ermittelt, mit dem die folgende Iteration begonnen wird. Man kann diese Kurve mehr oder weniger aufwendig ansetzen, mit den steigend komplizierteren Ansätzen unten lässt sich ggf. ein Iterationsschritt einsparen:
    • eine einfache Konstante (beispielsweise 1),
      Beispiel: x0 = 1; rel. Fehler=1,1*10-1;
    • eine Gerade mit Steigung 1/2 und einer additiven Konstante von 1/2 (als Vereinfachung des nachfolgenden Falls),
      Beispiel: x0=1/2+1,25/2=1,125; rel. Fehler=6,2*10-3;
    • eine Gerade mit Steigung 1/2 und einer additiven, optimierten Konstante von \left( 2\cdot
\sqrt[4]{2} - \sqrt{2} \right)^2 / 2 \approx 0{,}4648415 ,
      Beispiel: x0=0,929683/2+1,25/2=1,089841; rel. Fehler=2,5*10-2;
    • eine Gerade mit optimierter Steigung und einer additiven Konstante (hier nicht näher betrachtet).
  • Ausgehend von dem so ermittelten Startwert x0 führt man eine feste Anzahl von Iterationsschritten durch. Die nötige Anzahl, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen, lässt sich dank der obigen Fehlerabschätzung als Worst Case innerhalb des Startintervalls direkt ausrechnen. Bei 32 Bits Mantisse und dem mittleren Startansatz braucht man beispielsweise nur drei Schritte. Diese fest gewählte Anzahl erspart wesentlich aufwendigere Abfragen auf Erreichung der Genauigkeit. Der Ersatz der genannten Konstanten durch die Zahl 1,0 ändert daran nichts. Auch der noch kompliziertere Ansatz brächte zumindest bei dieser Genauigkeit keine Einsparung eines weiteren Iterationsschritts. Bei höheren Genauigkeitsanforderungen kann das anders aussehen.
    Beispiel mit drei Schritten nach Ansatz 1 (Konstante 1, mit den anderen Ansätzen konvergiert es noch einen Schritt schneller):
    x1=(x0+a/x0)/2=(1+1,25/1)/2=1,125; rel. Fehler=6,2*10-3
    x2=(x1+a/x1)/2=(1,125+1,25/1,125)/2=1,118056; rel. Fehler=2,0*10-5
    x3=(x2+a/x2)/2=(1,118056+1,25/1,118056)/2=1,118034; rel. Fehler=0
    Man sieht die Wirkung der quadratischen Konvergenz, dass sich der Fehler von Schritt zu Schritt jeweils quadriert oder die Anzahl gültiger Stellen bzw. der negative Fehlerexponent grob verdoppelt.
  • Zum Schluss wird der Exponent restauriert, indem man die Hälfte des im ersten Schritt abgespalteten Werts wieder hinzufügt.
    Beispiel: x =2 * x3 = 2,236068 .

Verallgemeinerung des Verfahrens[Bearbeiten]

Dieses Verfahren lässt sich verallgemeinern, so dass \sqrt[k]{a} für a>0 berechnet wird. Je größer k ist, desto mehr Schritte werden benötigt, um die Wurzel genau zu berechnen.

Dabei wird das Newton-Verfahren zur Bestimmung der positiven Nullstelle \sqrt[k]{a} der Funktion f(x)=x^k-a angewandt. Mit f'(x)=kx^{k-1} folgt aus der Rekursionsformel des Newton-Verfahrens x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} die Iterationsvorschrift:

x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^k - a}{kx_n^{k-1}}=\frac{(k-1)x_n^{k}+a}{kx_n^{k-1}}.

Hier muss die Folge mit einem geeigneten Startwert x_0 für den gesuchten Wert von \sqrt[k]{a} gestartet werden.

Für ganzzahliges positives k gelten die gleichen Konvergenzaussagen wie oben für k=2.

Bestimmung des Kehrwerts[Bearbeiten]

Für k=-1 erhält man ein Verfahren mit dem (ohne Verwendung der Division!) der Kehrwert \sqrt[-1]{a}=1/a näherungsweise errechnet werden kann:

x_{n+1}=\frac{(-1-1)x_n^{-1}+a}{(-1)x_n^{-1-1}}=2x_n-ax_n^2=(2-ax_n) \cdot x_n.

Dieses Verfahren konvergiert für alle x_0\in\left( 0,2/a \right) quadratisch gegen 1/a.

Die Iteration ermöglichte für erste Computer ohne eingebaute Division die Zurückführung dieser Operation auf Multiplikation und Subtraktion. Die Division von zwei Zahlen wurde so ausgeführt, dass der Kehrwert des Nenners bestimmt wurde und mit dem Zähler multipliziert wurde.

Beispiel[Bearbeiten]

Es soll 1/3 näherungsweise berechnet werden mit dem Startwert x_0=\frac12 < \frac23:

x_1=\left(2-3\cdot \frac 12 \right) \cdot \frac 12=\frac14=0{,}25,
x_2=\left(2-3\cdot \frac 14 \right) \cdot \frac 14=\frac5{16}=0{,}3125,
x_3=\left(2-3\cdot \frac 5{16} \right) \cdot \frac 5{16}=\frac{85}{256}=0{,}33203125.

Für den Startwert x_0=\frac23 erhält man

x_1=\left(2-3\cdot \frac 23 \right) \cdot \frac 23=0,
x_2=\left(2-3\cdot 0\right) \cdot 0=0,

somit keine Konvergenz gegen den gesuchten Wert von \frac13.

Historisches[Bearbeiten]

Das Verfahren war in Mesopotamien bereits zur Zeit von Hammurapi I. (ca. 1750 v. Chr.), eines Königs von Babylon, bekannt..[1] Um 100 n. Chr. wurde es von Heron von Alexandria im ersten Buch seines Werkes Metrica beschrieben.[2]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Bernd Ziegenbalg: Algorithmen: Von Hammurapi bis Gödel. Harri Deutsch Verlag 2007, ISBN 978-3-8171-1814-4, S. 54 (Auszug (Google))
  2. John J. O’Connor, Edmund F. RobertsonHeron-Verfahren. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)