Hyperbelzirkel des Frans van Schooten

Hyperbelzirkel des Frans van Schooten

Der Hyperbelzirkel des Frans van Schooten ist ein Mechanismus, der die Form einer Hyperbel erzeugt. Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk Exercitationum mathematicarum libri quinque in LIBER IV einen Hyperbelzirkel. Er ähnelt dem Ellipsenzirkel des Frans van Schooten.

Im Wesentlichen besteht der Hyperbelzirkel aus drei Teilen:

1. einer Raute mit den Gelenkpunkten $DLFM,$ mit der ersten Zirkelnadel im Brennpunkt $F$,
2. einer Diagonalschiene $|NO|$ aus zwei an den Enden verbundenen Stäben, mit dem Schreibstift in $e,$
3. einer Führungsschiene mit der zweiten Zirkelnadel im Punkt $C$. Die Führungsschiene ist nach dem Gelenkpunkt $D$ geschlitzt und verläuft durch den Punkt $e$.

Drei sogenannte Gleitsteine ermöglichen linear bewegliche Verbindungen. Einer davon führt den Gelenkpunkt $L$ der Raute, der zweite den Schreibstift im Punkt $e$ und der dritte Gleitstein führt den Gelenkpunkt $M$ der Raute. Die Diagonalschiene $|NO|$ ist nicht in einem Gelenkpunkt $|M|$ oder $|L|$ der Raute gelagert, sie ist deshalb in Längsrichtung von $O$ bis $L$ und von $N$ bis $M$ verschiebbar. Im Vergleich dazu ist im Ellipsenzirkel des Frans van Schooten der Diagonalstab $|OQ|$ im Gelenkpunkt $O$ der Raute gelagert.

Das Zeichnen einer Hyperbel mithilfe des Zeichenstiftes in $e$ soll die Hand verdeutlichen. Nach dem Einstechen des Zirkels in die Brennpunkte $C$ und $F,$ wird mit einer Hand mithilfe eines Griffes im Punkt $e$ der Hyperbelzirkel bewegt. Dabei zwingt die Führungsschiene ($C$ durch $D$ und $e,$) zusammen mit der Diagonalschiene $|NO,|$ den Schreibstift in $e$ in eine hyperbelförmige Bahn.

Aufgrund der Darstellung ist anzunehmen, dass der Hyperbelzirkel in bestimmten labilen Lagen (u. a. wenn Brennpunkte und Zeichenstift auf einer Linie liegen) mit der anderen Hand, am Punkt $M$ oder $L,$ einer Stützung bedarf.

Eine mögliche Begründung, weshalb die mit dem Hyperbelzirkel des Frans van Schooten gezogenen Kurven exakte Hyperbeln sind, ist im nachfolgenden Abschnitt Geometrische Betrachtung beschrieben.

Geometrische Betrachtung

Zur Verdeutlichung, weshalb die mit dem Hyperbelzirkel erzeugten Kurven exakte Hyperbeln sind, wird im Folgenden zuerst in einer Basiskonstruktion ein Hyperbelpunkt $e$ nach Definition mit Leitkreis bestimmt und im Anschluss daran der Hyperbelzirkel prinzipiell eingearbeitet. In Hyperbel zeichnen wird dessen Bewegungsablauf erläutert. Die Bezeichnungen der Punkte sind der obigen originären Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten entnommen.

Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis

Bild 1: Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis $k_{L}$
$|ek_{L}|=|eF|$ oder $|eD|=|eF|$
Basiskonstruktion für Hyperbelzirkel des Frans van Schooten

Mit den von Bild 1 eingesetzten Bezeichnungen der Punkte, lautet eine maßgebende Aussage der Definition mit Leitkreis, bezogen auf den rechten Ast der Hyperbel:

„Ist $k_{L}$ der Kreis um $C$ mit Radius $2a$, so hat $e$ vom Kreis $k_{L}$ denselben Abstand wie vom Brennpunkt $F$: $|ek_{L}|=|eF|\ .$ Man nennt $k_{L}$ den zu $F$ gehörigen Leitkreis der Hyperbel.“

Es beginnt mit dem Einzeichnen einer Geraden, der Mittelachse der späteren Hyperbel. Darauf wird der erste Scheitelpunkt $E$ beliebig markiert und anschließend, mit einem frei wählbaren Abstand, der zweite Scheitelpunkt $K$ festgelegt. Somit ist der Abstand $|EK|$ der Scheitelpunkte, gleichbedeutend mit dem Radius $2a$ des Leitkreises $k_{L},$ bestimmt. Nun setzt man mit einem abgeschätzten, aber gleichen Abstand zu $E$ bzw. $K,$ jeweils nach außen, die Brennpunkte $C$ und $F.$ Mit den gewählten Brennpunkten $C$ und $F$ sowie mit einem der beiden Scheitelpunkte $E$ oder $K$ (drei bekannte Punkte) ist die Hyperbel bereits mathematisch bestimmt. Die Hyperbel (grün) kann z. B. mithilfe einer Dynamischen‐Geometrie‐Software (DGS) eingetragen werden.

Es geht weiter mit dem Ziehen des Leitkreises $k_{L}$ um $C$ mit dem Radius $|EK|=2a$ für den rechten Ast der Hyperbel; es ergibt den Hilfspunkt $A.$ Um den Punkt $e$ zu finden, der zum Brennpunkt $F$ den gleichen Abstand hat wie zum Leitkreis $k_{L},$ zieht man mit beliebigem Radius, aber mit derselben Zirkelöffnung um $F$ den Kreis $k_{1}$ und um $A$ den Kreis $k_{2};$ dabei ergibt sich der zweite Hilfspunkt $B.$ Wird jetzt ein Kreis $k_{3}$ mit dem Radius $|CB|$ um $C$ eingezeichnet, wird sozusagen der Radius $|AB|$ des Kreises $k_{2}$ zum Radius $|CA|$ des Leitkreises $k_{L}$ addiert. Der Schnittpunkt des Kreises $k_{3}$ mit $k_{1}$ ist der gesuchte Punkt $e.$

Die nun folgende Halbgerade $H_{G}$ ab $C$ durch $e$ schneidet den Leitkreis $k_{L}$ in $D$ und liefert das gleichschenklige Dreieck $DFe$ (rosa) mit den beiden gleich langen Seitenlängen ${\overline {eD}}$ und ${\overline {eF}}.$ Abschließend wird noch die Mittelsenkrechte $M_{S}$ des Abstandes $|DF|$ eingetragen; wegen des gleichschenkligen Dreiecks $DFe$ verläuft sie durch den Punkt $e.$ Daraus folgt:

das gleichschenklige Dreieck $DFe$ mit

$|eD|=|eF|,$

ist eine halbe Raute, in der die Mittelsenkrechte $M_{S}$ und die Winkelhalbierende des Winkels $DeF$ Tangenten der Hyperbel sind. Somit ist der konstruierte Punkt $e$ ein Hyperbelpunkt.

Konstruktion des Hyperbelzirkels

• Damit der Hyperbelzirkel eine komplette Hyperbellinie zeichnen kann, ist es erforderlich, dass die Führungsschiene (ab $C$ durch $D$) oberhalb der Raute $DLFM$ (Zirkelnadel in $F$) liegt. Anzumerken ist, in der obigen originären Darstellung Hyperbelzirkel des Frans van Schooten liegt die Führungsschiene unterhalb der Raute. Mit dieser Position der Führungsschiene kann die Hyperbellinie nicht durch den Scheitelpunkt $K$ gezogen werden, sondern nur, z. B. gegen den Uhrzeigersinn, bis die Führungsschiene an der Zirkelnadel in $F$ der Raute anliegt.

Die Prinzipskizze (Bild 2) ist eine Weiterführung der Basiskonstruktion Hyperbelpunkt nach Definition mit Leitkreis $k_{L}$ (Bild 1). Für eine bessere Übersichtlichkeit wurden die irrelevanten Kreise, Punkte etc. ausgeblendet. Der Leitkreis $k_{L}$ sowie u. a. die Punkte $D$ und $F$ sind bereits in der vorangegangenen Konstruktion (Bild 1) bestimmt, es bedarf deshalb nur noch einer einfachen Einarbeitung der obig beschriebenen wesentlichen Teile des Hyperbelzirkels.

Zuerst werden die zwei Seitenlängen ${\overline {FM}}$ und ${\overline {FL}}$ der Raute, mit abgeschätzter Zirkelöffnung, deutlich größer als der Abstand $|Fe|$, auf der Mittelsenkrechten $M_{S}$ festgelegt. Die Verbindung der Gelenkpunkte $D$ mit $M$ sowie $D$ mit $L$ schließt sich an und vollendet die Raute $FMDL$ mit dem gleichschenkligen Dreieck $FDL$ (hellblau). Es folgt das Einzeichnen der Diagonalschiene, deren Länge ${\overline {NO}}$ größer ist, als die Diagonale $|LM|$ der Raute. Abschließend wird die Führungsschiene ab $C$ durch $D$ eingezeichnet. Sie schneidet die Diagonalschiene $|NO|$, wie vorgegeben, ebenfalls im Hyperbelpunkt $e$ des gleichschenkligen Dreiecks $DFe$ (rosa).

Bild 2: Prinzipskizze, Führungsschiene
(ab $C$ durch $D$) liegt oberhalb der Raute $DLFM$

Animation der Prinzipskizze

Hyperbel zeichnen

Wird der Hyperbelzirkel wie oben beschrieben von Hand bewegt, läuft der Punkt $D$ auf dem Leitkreis $k_{L}$ und der Schreibstift ($e$) im Spalt der Diagonalschiene $|NO|.$ Die Führungsschiene ($C$ durch $D$ und $e$) zwingt die Diagonalschiene $|NO|$ als konstante Mittelsenkrechte $M_{S},$ der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke $FDL$ und $DFe$, zu wirken. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Parabelzirkels gilt

$|eD|=|eF|$

Damit wird aufgezeigt: Die mit dem Hyperbelzirkel gezogenen Kurven sind exakte Hyperbeln.

Siehe auch

Fadenkonstruktion einer Hyperbel

Literatur

• C. Edward Sandifer: Van Schooten’s Ruler Constructions. In: Convergence August 2010. August 2010 (englisch, maa.org – Onlineversion vom November 2014).