Jeans-Kriterium

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Das Jeans-Kriterium (auch Jeanssches Kriterium, benannt nach James Jeans) ist eine Bedingung für die Stabilität, ob eine kosmische Gaswolke kollabiert und aus ihr letztlich ein Stern entstehen kann. Handelt es sich bei der Gaswolke um eine protoplanetare Scheibe, kann das Jeans-Kriterium auch für die Entstehung von Gasplaneten herangezogen werden.

Während sich Gase unter irdischen Bedingungen in dem zur Verfügung stehenden Raum gleichmäßig ausbreiten, so werden dagegen größere Ansammlungen von Gasen im freien Weltall durch die Schwerkraft zusammengehalten und sind damit räumlich begrenzt.

Die kinetische Energie der Gasmoleküle und die damit verbundenen Kollisionen der Moleküle treibt die Gaswolke auseinander, die Gravitation verhindert dagegen eine weitere Ausdehnung. Daraus kann man eine Grenzmasse abschätzen, die Jeans-Masse M_{Jeans}, so dass die Gaswolke kollabiert, wenn diese Masse überschritten wird (Jeans-Kriterium). Mit im Hauptteil näher erläuterten Variablen gilt:

  M_{Jeans} =\alpha \left(\frac{1}{ \rho  }\right)^{1/2}\cdot\left(\frac{ k T}{G \mu}\right)^{3/2}

mit einem numerischen Vorfaktor \alpha, der von der der Abschätzung und ihrer Genauigkeit abhängt.

Das Jeans-Kriterium ist ein bedeutender Beitrag zur Theorie der Sternentstehung.

Hauptteil[Bearbeiten]

Es wird eine kugelförmige Gaswolke der Masse M und einer homogenen Dichte \rho, dem daraus zu berechnenden Radius R und der Temperatur T angenommen. Es wirken keine äußeren Kräfte auf diese Gaswolke und es findet auch keine Rotation der Wolke statt. Das Gas verhält sich wie ein ideales Gas. Spherical molecular cloud d hc2.png

Die Wolke beginnt zu kollabieren, falls die kontrahierenden Gravitationskräfte größer als die stabilisierende Kraft des Gasdruckes sind. Die Wolke zieht sich immer weiter zusammen, bis ein neuer Gleichgewichtszustand erreicht wird (Sternentstehung). Das Kriterium bestimmt die Masse (Jeans-Masse), ab der eine Kontraktion eintritt in Abhängigkeit von der Dichte, Masse und Temperatur der Gaswolke. Die Jeans-Masse kann sowohl über den Gleichgewichtsdruck als auch über das Energiegleichgewicht formuliert werden.

Bei Gleichgewicht der Drücke im Zentrum der Wolke gilt:

\ |p_{Gas}| = |p_{grav}|.

Aus der idealen Gasgleichung \ pV = nkT bzw. \ p = \frac{\rho}{\mu}kT und dem Gravitationsdruck im Inneren einer Kugel folgt als Gleichgewichtsbedingung

\frac{\rho}{\mu}kT = \frac{3G M^2}{8\pi R^4} ,

wobei p der Druck, V das Volumen, n Zahl der Gasmoleküle, µ die Masse des einzelnen Gasmoleküls, k die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur und G die Gravitationskonstante sind.

Daraus ergibt sich[1]:

  M_{Jeans} =\left(\frac{6}{ \pi }\right)^{1/2} \cdot\left(\frac{ k T}{G \mu}\right)^{3/2} \cdot  \left(\frac{1}{ \rho  }\right)^{1/2}

Der numerische Vorfaktor ist hier \alpha =\left(\frac{6}{ \pi }\right)^{1/2} \approx 1,38


Bei dem Ansatz über das Energiegleichgewicht steht die kinetische Energie \ E_{kin} = \frac{3}{2} nkT nach Verwendung des Virialsatzes zur gravitativen Bindungsenergie der Gaswolke wie folgt:

\ 2 E_{kin} = E_{grav}

bzw. mit n = M/µ

\ 3 \frac{M}{\mu}kT = \frac{3G M^2}{5R}


Die Auflösung nach M führt mit \ R = \sqrt[3]{\frac{3\, M}{4\, \pi\,\rho }} über die Energiebedingung zu folgender Jeans-Masse


 M_{Jeans} = \left(\frac{3}{ 4 \pi \rho  }\right)^{1/2}\cdot\left(\frac{5 k T}{G \mu}\right)^{3/2}

Also ein numerischer Vorfaktor \alpha \approx 5,46

Dichte-Temperaturdiagramm für verschiedene Jeans-Massen (M) für ein einatomiges Wasserstoffgas

Eine andere Ableitung von Jeans[2], ausgehend vom Durchmesser und Dichte der Wolke sowie der Schallgeschwindigkeit eines idealen Gases ergibt \alpha \approx 6,27.

Die Jeans-Masse ist somit für kalte Gaswolken kleiner als für heiße, dafür aber bei niedrigen Gasdichten höher. Wird diese Masse bei gegebenen Bedingungen überschritten, kollabiert die Gaswolke. Das nebenstehende Diagramm gibt die Abhängigkeit verschiedener Jeans-Massen von der Dichte und der Temperatur wieder. Als Gas wurde einatomiges Wasserstoffgas als häufigstes Element im Universum gewählt (Masse pro Atom: µ ≈ 1,67 ⋅ 10-27 kg). Die Jeans-Masse ist als Vielfaches der Sonnenmasse angegeben. Die Berechnung erfolgte wie oben ausgeführt über das Druckgleichgewicht. Die Berechnung über das Energiegleichgewicht führt zu einem leicht unterschiedlichen Ergebnis, allerdings muss dabei bedacht werden, dass beide Ansätze stark vereinfachte Näherungen sind.

Eine Wolke aus einatomigen Wasserstoffgas von beispielsweise 10 Sonnenmassen und einer Dichte von 10-17kg•m-3 kollabiert bei einer Temperatur von ≤ 10 K. Zur Veranschaulichung hätte eine solche Wolke etwa 6000 Atome pro cm3 und einen Durchmesser von 1,65 Lichtjahren (1,56 ⋅ 1013 Kilometer).

Literatur und Quellen[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siehe das Skript von Hermann Kolanoski, Einführung in die Astroteilchenphysik, HU Berlin, WS 2009/2010 in den Literaturangaben
  2. Siehe das Skript von Kolanoski in der Literatur