Elektrische Kapazität

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Physikalische Größe
Name Elektrische Kapazität
Formelzeichen der Größe C
Größen- und
Einheitensystem		 Einheit Dimension
SI
Farad (F)
M−1·L−2·T4·I2
CGS
Länge (L)

Die elektrische Kapazität (Formelzeichen C, v. lat. capacitas = Fassungsvermögen; Adjektiv kapazitiv) ist eine physikalische Größe, die die Fähigkeit eines zu diesem Zweck gebauten Kondensators oder einer elektrische Leiteranordnungen definiert, elektrische Ladung zu speichern. Die elektrische Kapazität wird als Verhältnis der zugeführten Ladungsmenge Q zur entstandenen Spannung U bestimmt:

C=\frac{Q}{U}.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Einheit

Die elektrische Kapazität wird in der abgeleiteten SI-Einheit Farad gemessen. Ein Farad (1 F) ist die Kapazität eines Kondensators, der beim Anlegen einer Spannung von 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb (As) speichert:

[C]=\frac{[Q]}{[U]} = \frac{1\,\mathrm{As}}{1\,\mathrm{V}} = 1\,\mathrm{F}

Die SI-Einheit Farad, genannt zu Ehren des englischen Physikers und Chemikers Michael Faraday, hat sich heutzutage international überall durchgesetzt.

[Bearbeiten] Veraltete Einheit

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.
Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Kapazität von Kondensatoren allerdings häufig mit der Kapazitätseinheit cm beschriftet. Diese ist keine Längenangabe, sondern rührt daher, dass die Kapazität im heute praktisch kaum noch gebrauchten elektrostatischen CGS-Einheitensystem in der Längendimension ausgedrückt wird.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Papierkondensator der Firma SATOR aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazität laut Aufdruck von „5000 cm“ bei einer Prüfspannung von „2000 V“. Dies wäre eine Kapazität von ca. 5,6 nF im heute üblichen SI-Einheitensystem. Eine Kapazität von 1 cm im CGS-Einheitensystem entspricht 1,1 pF im SI-Einheitensystem, der Umrechnungsfaktor ist 4πε0.

[Bearbeiten] Umgangssprachliche Begriffsverwendung

Der Begriff „Kapazität“ wird unter Elektrotechnikern und Elektronikern häufig auch synonym für das elektrische Bauelement Kondensator (engl.: capacitor) verwendet. Hierbei handelt es sich aber um eine umgangssprachliche, streng genommen unzutreffende Vereinfachung, ein ähnlicher Fall wie der des elektrischen Widerstandes. Siehe auch: "Kapazitätsnormal".

Beim Akkumulator benutzt man als Begriff für seine „Kapazität“ die in Amperestunden angegebene Ladungsmenge. Man legt dabei den Betriebsspannungbereich des Akkumulators zugrunde (z.B. 44 Ah/3V), womit es sich auch hier wie bei Kondensatoren um eine Kapazität handelt.

[Bearbeiten] Kapazitiver Widerstand

für den kapazitiven Widerstand ZC bei der Frequenz f gilt

Z_C=\frac{1}{\omega \cdot C}=\frac{1}{2\pi f\cdot C}

[Bearbeiten] Zeitkonstante

Reihenschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C
Reihenschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C
Spannung VC an der Kapazität als Funktion der Zeit
Spannung VC an der Kapazität als Funktion der Zeit
Strom IR = IC durch Widerstand und Kapazität als Funktion der Zeit
Strom IR = IC durch Widerstand und Kapazität als Funktion der Zeit

Das Bild zeigt die typische Anwendung einer Kapazität als Teil einer elektrischen Schaltung. Die Spannung Vin (in diesem Beispiel wird die angelsächsische Symbolik genutzt, d. h. das Symbol V statt U für die elektrische Spannung; vgl. Bild) wird zum Zeitpunkt t = 0 an die Reihenschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C gelegt. Nach den Gesetzmäßgkeiten von Reihenschaltungen gelten für die Spannung die Zusammenhänge

\;\!V_{in}=V_R + V_C
\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}

Die Differentialgleichung liefert die Lösungen

\,\!V_C(t) = V_{in}\left(1 - e^{-t/RC}\right)
\,\!V_R(t) = V_{in}\cdot e^{-t/RC}
\,\!I_C(t) = \frac{V_{in}}{R}e^{-t/RC}

Das Produkt RC nennt man Zeitkonstante τ (griechisch: tau), die angibt

  • zu welchem Zeitpunkt nach dem Einschalten die Spannung VC an der Kapazität 63,2 % der Anfangsspannung Vin erreicht hat
  • zu welchem Zeitpunkt nach dem Einschalten der (Lade-)Strom IC durch die Kapazität auf 36,8 % des Anfangswertes Vin/R gesunken ist.

Die Zeitkonstante ist Ursache, dass bei großen Kapazitäten geraume Zeit vergehen kann, bis die Spannung VC ihren Nennwert erreicht.

[Bearbeiten] Beispiel

Ein Kondensator mit C = 100 µF wird über einen Widerstand R = 20 kΩ an eine Spannung Vin = 40 V gelegt. Aus der Zeitkonstante τ = RC = 2 s und den Zeitangaben im Bild folgt, dass nach 3τ = 6 s die Spannung am Kondensator erst 95% des Endwertes 40 V erreicht.

[Bearbeiten] Kapazität bestimmter Leiteranordnungen

Kondensatoren als Bauelemente, die wegen ihrer Kapazität eingesetzt werden, sind ausführlich im Artikel Kondensator (Elektrotechnik) dargestellt. Bei einer Reihe von -übersichtlichen- Leiteranordnungen lässt sich die Kapazität exakt bestimmen. Sie liegen häufig den als Kondensator verwendeten Bauelementen zugrunde. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele:

Bezeichnung Kapazität Schematische Darstellung
Plattenkondensator C = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \cdot \frac{A}{d}
Zylinderkondensator C=2\pi \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}
Kugelkondensator C=4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)^{-1}
Kugel C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} R_1
Parallele Zylinder (Lecher-Leitung) C = \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{\rm arcosh\left(\frac {d}{2R}\right)}

Hierin bezeichnet ggf. A die Fläche der Leiter, d deren Abstand, l deren Länge, R1 sowie R2 deren Radien. In der schematischen Darstellung sind die Leiter hellgrau bzw. dunkelgrau und das Dielektrikum blau gefärbt.

[Bearbeiten] Allgemeine Formel

Stromdefinition:

i(t) = dQ(t) / dt

Strom-Spannungs-Beziehungen:

u(t) = 1/C* \int i(t)dt
i(t) = C * du(t) / dt


Allgemeine Situation zur Kapazitätsbestimmung
Allgemeine Situation zur Kapazitätsbestimmung

Für eine beliebige Konfiguration gilt zur Bestimmung der Kapazität folgendes:

C = \frac{Q}{U} =\frac{ \oint_{A} \vec D \vec {dA} }{\int_s \vec E \vec {ds}}

Im Vakuum vereinfacht sich dies zu:

C = \varepsilon_0 \frac{ \oint_{A} \vec E \vec {dA} }{\int_s \vec E \vec {ds}}
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Kapazit%C3%A4t“
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