Elektrische Kapazität

Physikalische Größe
Name	Elektrische Kapazität
Formelzeichen der Größe	$C$
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI F M−1·L−2·T4·I2 CGS cm L

Die elektrische Kapazität (Formelzeichen $C$, von lateinisch capacitas = Fassungsvermögen; Adjektiv kapazitiv) ist eine physikalische Größe aus dem Bereich der Elektrostatik, die einen Proportionalitätsfaktor zwischen der elektrischen Spannung $U$ und dem elektrischen Fluss $\Psi$ zwischen zwei Raumpunkten ausdrückt:

$\Psi = C \cdot U$

Bei Akkumulatoren sowie Batterien benutzt man den Begriff „Kapazität“ für deren maximale Ladungsmenge $Q$, welche in einen Akkumulator gespeichert werden kann und wird in Amperestunden (Ah) angegeben. Amperestunden drücken allerdings die elektrische Ladung aus und nicht die hier dargestellte elektrische Kapazität.

Kapazität eines Kondensators

Eine technisch wesentliche Anwendung findet die Kapazität in Form von elektrischen Kondensatoren, welche durch die Angabe einer bestimmten Kapazität charakterisiert werden. Der Begriff „Kapazität“ wird umgangssprachlich auch synonym für das elektrische Bauelement Kondensator selbst (englisch capacitor) verwendet.

Kondensatoren stellen eine Leiteranordnung mit zwei Elektroden zur getrennten Speicherung von elektrischer Ladung $+Q$ und $-Q$ dar. In physikalischer Sicht rührt der elektrische Fluss $\Psi$ von den getrennten elektrischen Ladungen $+Q$ und $-Q$, die von der externen Spannungsquelle mit der Spannung $U$ auf die Elektroden transportiert werden, womit sich:

$Q = C \cdot U$

ergibt. Formal erfolgt dieser Zusammenhang über das Gaußsche Gesetz. Die elektrische Kapazität eines Kondensators kann dann als das Verhältnis der Ladungsmenge $Q$ zur angelegten Spannung $U$ ausgedrückt werden:

$C = \frac{Q}{U}$.

Diese Gesetzmäßigkeit gilt auch für die sogenannte Pseudokapazität, einer innerhalb enger Grenzen spannungsabhängigen elektrochemischen bzw. faradayschen Speicherung elektrischer Energie, die mit in einer Redoxreaktion und mit einem Ladungsaustausch an Elektroden von Doppelschichtkondensatoren verbunden ist, wobei allerdings im Gegensatz zu Akkumulatoren an den Elektroden keine chemische Stoffänderung eintritt.

Unter anderem die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) befasst sich mit Kapazitätsnormalen.

Einheit

Die elektrische Kapazität wird in der abgeleiteten SI-Einheit Farad gemessen. Ein Farad (1 F) ist diejenige Kapazität, die beim Anlegen einer Spannung von 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb (1 C = 1 As) speichert:

$[C]=\frac{[Q]}{[U]} = \frac{1\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{V}} = \frac{1\,\mathrm{As}}{1\,\mathrm{V}} = 1\,\mathrm{F}$

Ein Kondensator der Kapazität 1 Farad lädt sich bei einem konstanten Ladestrom von 1 Ampere in 1 Sekunde auf die Spannung 1 Volt auf. Die SI-Einheit Farad, genannt zu Ehren des englischen Physikers und Chemikers Michael Faraday, hat sich heutzutage international überall durchgesetzt.

Veraltete Einheit

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Kapazität von Kondensatoren häufig mit der Kapazitätseinheit cm beschriftet. Diese Angabe in Zentimetern rührt daher, dass die Kapazität im heute praktisch kaum noch gebrauchten Gaußschen Einheitensystem in der Längendimension ausgedrückt wird. So weist eine Metallkugel mit 5 cm Radius gegenüber einer im Unendlichen befindlichen Gegenelektrode eine Kapazität von 5 cm auf.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Papierkondensator der Firma SATOR aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazität von „5000 cm“ bei einer Prüfspannung von „2000 V“. Dies wäre eine Kapazität von ca. 5,6 nF im heute üblichen SI-Einheitensystem. Das entspricht der Kapazität einer Metallkugel von 5000 cm Radius.

Eine Kapazität von 1 cm im Gaußschen Einheitensystem entspricht ca. 1,1 pF im SI-Einheitensystem, der Umrechnungsfaktor ist 4πε₀. Diese Umrechnung kommt durch die Definition der Feldkonstante im Gaußschen Einheitensystem zustande:

$\varepsilon_0 := \frac {1} {4 \pi}$ im Gaußschen Einheitssystem (nicht im SI-System)

Kapazität bestimmter Leiteranordnungen

Bei einer Reihe von einfachen Leiteranordnungen lässt sich die Kapazität aufgrund der idealisierten Geometrie exakt bestimmen. Diesen Bestimmungen der Kapazität liegen häufig den als Kondensator verwendeten Bauelementen zugrunde. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele:

Bezeichnung	Kapazität	Schematische Darstellung
Plattenkondensator	$C = \varepsilon \cdot \frac{A}{d}$
Koaxialkabel oder Zylinderkondensator	$C=2\pi \varepsilon \, \frac{l}{\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$
Kugelkondensator	$C= \frac{4 \pi \varepsilon}{\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)}$
Kugel, Gegenelektrode als Grenzwert unendlich weit entfernt	$C = 4 \pi \varepsilon \cdot R_1$
Parallele Zylinder (Lecher-Leitung)	$C = \frac{\pi \varepsilon l}{\rm arcosh\left(\frac {d}{2R}\right)}$
Ein Leiter parallel über ebener Fläche.	$C = \frac{2\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{R}\right) }$	d > R
Zwei Kugeln mit identischem Radius a	$C = 2\pi \varepsilon a\left\{ \ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln \left( \frac{d}{a}-2\right) +O\left( \frac{d}{a}-2\right) \right\}$	d: Abstand der Kugeln, d > 2a γ: Euler-Mascheroni-Konstante

Hierin bezeichnet ggf. A die Fläche der Elektroden, d deren Abstand, l deren Länge, $R_1$ sowie $R_2$ deren Radien. Es gilt $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r}$, wobei $\varepsilon_0$ für die elektrische Feldkonstante des Vakuums und $\varepsilon_\mathrm{r}$ für die dielektrische Leitfähigkeit des Dielektrikums steht. In der schematischen Darstellung sind die Leiter hellgrau bzw. dunkelgrau und das Dielektrikum blau gefärbt.

Berechnungen zur Kapazität

Allgemeine Situation zur Kapazitätsbestimmung

Allgemeine Gleichungen für die Bestimmung der Kapazität gelten für Strom, Spannung und Ladung an einer elektrischen Kapazität:

$i(t) = \frac{\mathrm dQ(t)}{\mathrm dt}$

$u(t) = \frac{1}{C} \cdot \int i(t) \, \mathrm dt$

$i(t) = C \cdot \frac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt}$

Die Kapazität einer beliebigen Elektrodenanordnung oder Ladungsverteilung lässt sich mittels des Gaußschen Satzes herleiten:

$C = \frac{Q}{U} =\frac{ \oint_{A} \vec D \cdot \mathrm d \vec{A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}}$

$C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec {A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}}$

Dabei beträgt $\vec D = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \vec E$. Für ein Vakuum vereinfacht sich die o.g. Gleichung wegen $\varepsilon_r = 1$ zu:

$C = \varepsilon_0 \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec A }{\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec s}$

Literatur

• Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibinger: Theoretische Elektrotechnik. 18. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-78589-7.