Verknüpfung (Mathematik)

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In der Mathematik wird Verknüpfung als ein Oberbegriff gebraucht, um neben verschiedenen arithmetischen Rechenoperationen (wie Addition, Subtraktion usw.) auch geometrische Operationen (wie Spiegelung, Drehung u. a.) und weitere (gelegentlich auch logische) Operationen zu fassen. Eine Verknüpfung legt fest, wie mathematische Objekte gleicher oder ähnlicher Art miteinander verbunden werden. Bei einer relativ kleinen Anzahl von Elementen und einer Verknüpfung mit nur wenigen wie beispielsweise zwei Stellen, an denen Elemente als Operanden stehen können, ist diese Festlegung übersichtlich durch eine Verknüpfungstafel möglich, in der z. B. für eine 2-stellige Verknüpfung alle möglichen Paarungen aufgeführt sind und jeweils deren Resultat angegeben wird, das Ergebnis des Rechnens.

Das Wort Verknüpfung wird auch verwendet, um die Hintereinanderausführung oder Verkettung von Funktionen zu bezeichnen.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Für eine natürliche Zahl n seien n Mengen A_1, \dotsc, A_n und eine weitere Menge B gegeben. Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts A_1 \times \dotsb \times A_n nach B als n-stellige Verknüpfung bezeichnet. Eine solche Verknüpfung ordnet also jedem n-Tupel (x_1, \dotsc, x_n) mit x_1 \in A_1, \; \dotsc, \; x_n \in A_n eindeutig ein Element der Menge B zu. Selbstverständlich können die Mengen A_1, \dotsc, A_n und B teilweise oder ganz übereinstimmen.

Im Sonderfall, dass nur B vorkommt, also A_i = B\ \mathrm{f\ddot ur}\ 1\leq i\leq n, wird die Verknüpfung

\underbrace{B\times\dotsb\times B}_{n\text{-mal}}\to B

innere n-stellige Verknüpfung oder n-stellige Operation auf B genannt. Kommt B wenigstens ein Mal unter den A_i vor, etwa

A_i\neq B\ \mathrm{f\ddot ur}\ 1\leq i\leq m und A_i=B\ \mathrm{f\ddot ur}\ m+1\leq i\leq n

für ein m mit 0\leq m<n, so heißt die Verknüpfung äußere n-stellige Verknüpfung auf B mit Operatorenbereich A_1 \times \dotsb \times A_m. Die Elemente von A_1 \times \dotsb \times A_m heißen dann Operatoren.

Eine innere n-stellige Verknüpfung auf B kann man auch als äußere zweistellige Verknüpfung auf B mit dem Operatorenbereich B^{n-1} betrachten.

Beispiel[Bearbeiten]

Die durch

(x,y,z) \mapsto \frac{x+y}{z^2+1}

definierte Abbildung von \R\times\R\times\R nach \R ist eine dreistellige Verknüpfung bzw. innere dreistellige Verknüpfung auf \R.

Ist f eine Abbildung von \R nach \R, so ist durch

*\colon\, \{f\} \times \R \to \R,\, (f, x) \mapsto f * x := f(x),
(jedem aus der Abbildung _f und einem Element _x aus _R gebildeten Paar wird das Bild dieses Elementes unter der Abbildung _f zugeordnet)

eine äußere zweistellige Verknüpfung auf \R mit Operatorenbereich \{f\} und dem einzigen Operator f gegeben.

Jede n-stellige Verknüpfung kann als (n+1)-stellige Relation aufgefasst werden.

Nullstellige Verknüpfungen[Bearbeiten]

Als eine nullstellige Verknüpfung von einer Menge A nach einer Menge B kann eine Abbildung von A^0 nach B angesehen werden. Es gilt

A^0 = A^\emptyset = \{f \mid f\colon\, \emptyset \to A\} = \{\emptyset\} = \{0\} = 1,

daher lässt sich jede dieser Abbildungen wie folgt angeben:

\operatorname{c}_b\colon \{\emptyset\} \to B,\, \emptyset \mapsto b, für ein b \in B.

Jede nullstellige Verknüpfung ist damit konstant und \operatorname{c}_b \in B^{\{\emptyset\}} = B^1 lässt sich wiederum als die Konstante b \in B auffassen.

Da stets B^0 = \{\emptyset\} gilt, kann jede nullstellige Verknüpfung \{\emptyset\} \to B als innere Verknüpfung auf B betrachtet werden: B^0 \to B.

Einstellige Verknüpfungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Einstellige Verknüpfung

Einstellige Verknüpfungen sind Abbildungen einer Menge A nach einer Menge B.

Beispiele[Bearbeiten]

{}^{\operatorname c}\colon X \mapsto X^{\operatorname c} := A \setminus X (Komplement von X).
\sin\colon \R \to \R, x \mapsto \sin(x),
ist eine einstellige Verknüpfung.

Zweistellige (binäre) Verknüpfungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zweistellige Verknüpfung

Besonders häufig wird der Begriff „Verknüpfung“ im Sinn einer zweistelligen Verknüpfung verwendet. Wichtige Spezialfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Zweistellige Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert, also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige Verknüpfungen[Bearbeiten]

Eher selten spricht man von drei- und mehrstelligen Verknüpfungen. Beispiele für eine dreistellige Verknüpfung sind:

  • die Abbildung, die je drei Vektoren aus dem \mathbb{R}^3 ihr Spatprodukt (aus \mathbb{R}) zuordnet und
  • die Ternärverknüpfung in einem Ternärkörper.

Verknüpfungen in der Algebra[Bearbeiten]

Verknüpfungen dienen in der Algebra dazu, algebraische Strukturen zu definieren. Die Verknüpfungen müssen dabei bestimmte Bedingungen (Axiome) erfüllen.

Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Die Forderung, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll (Abgeschlossenheit), ist bereits in der Definition der inneren Verknüpfung enthalten.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung – Lern- und Lehrmaterialien