Verknüpfung (Mathematik)

In der Mathematik wird Verknüpfung als ein Oberbegriff gebraucht, um neben verschiedenen arithmetischen Rechenoperationen (wie Addition, Subtraktion usw.) auch geometrische Operationen (wie Spiegelung, Drehung u.a.) und weitere (gelegentlich auch logische) Operationen zu fassen. Eine Verknüpfung legt fest, wie mathematische Objekte gleicher oder ähnlicher Art miteinander verbunden werden. Bei einer relativ kleinen Anzahl von Elementen und einer Verknüpfung mit nur wenigen wie beispielsweise zwei Stellen, an denen Elemente als Operanden stehen können, ist diese Festlegung übersichtlich durch eine Verknüpfungstafel möglich, in der z.B. für eine 2-stellige Verknüpfung alle möglichen Paarungen aufgeführt sind und jeweils deren Resultat angegeben wird, das Ergebnis des Rechnens.

Das Wort Verknüpfung wird auch verwendet, um die Hintereinanderausführung oder Verkettung von Funktionen zu bezeichnen.

Allgemeine Definition

Für eine natürliche Zahl n seien n Mengen $A_1, \dotsc, A_n$ und eine weitere Menge $B$ gegeben. Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts $A_1 \times \dotsb \times A_n$ nach $B$ als n-stellige Verknüpfung bezeichnet. Eine solche Verknüpfung ordnet also jedem n-Tupel $(x_1, \dotsc, x_n)$ mit $x_1 \in A_1, \; \dotsc, \; x_n \in A_n$ eindeutig ein Element der Menge $B$ zu. Selbstverständlich können die Mengen $A_1, \dotsc, A_n$ und $B$ teilweise oder ganz übereinstimmen.

Im Sonderfall, dass nur $B$ vorkommt, also $A_i = B\ \mathrm{f\ddot ur}\ 1\leq i\leq n,$ wird die Verknüpfung

$\underbrace{B\times\dotsb\times B}_{n\text{-mal}}\to B$

innere n-stellige Verknüpfung oder n-stellige Operation auf $B$ genannt. Kommt B wenigstens einmal unter den $A_i$ vor, etwa

$A_i\neq B\ \mathrm{f\ddot ur}\ 1\leq i\leq m$ und $A_i=B\ \mathrm{f\ddot ur}\ m+1\leq i\leq n$

für ein $m$ mit $0\leq m<n,$ so heißt die Verknüpfung äußere n-stellige Verknüpfung auf $B$ mit Operatorenbereich $A_1 \times \dotsb \times A_m$. Die Elemente von $A_1 \times \dotsb \times A_m$ heißen dann Operatoren.

Eine innere $n$-stellige Verknüpfung auf $B$ kann man auch als äußere 2-stellige Verknüpfung auf $B$ beispielsweise mit dem Operatorenbereich $B^{n-1}$ betrachten.

Beispiel

Die durch

$(x,y,z) \mapsto \frac{x+y}{z^2+1}$

definierte Abbildung von $\R\times\R\times\R$ nach $\R$ ist eine dreistellige Verknüpfung bzw. dreistellige innere Verknüpfung auf $\R$.

Ist $f$ eine Abbildung von $\R$ nach $\R$, so ist durch

$\operatorname\bullet\colon\{f\}\times\R\to\R,\ (f,x)\mapsto f\operatorname\bullet x := f(x),$
jedem Paar aus der Abbildung f und einem Element x aus R wird das Bild dieses Elementes unter der Abbildung zugeordnet

eine zweistellige äußere Verknüpfung auf $\R$ mit Operatorenbereich $\{f\}$ und dem einzigen Operator $f$ gegeben.

Jede n-stellige Verknüpfung kann als $(n+1)$-stellige Relation aufgefasst werden.

Nullstellige Verknüpfungen

Eine nullstellige Verknüpfung von einer Menge $A$ nach einer Menge $B$ ist eine Abbildung von $A^0 = \{0\}$ nach $B$ $(A^0 = A^\emptyset = \{f \mid f\colon \emptyset \to A\} = \{\emptyset\} = \{0\})$, nämlich

$\operatorname{c}_b\colon A^0 \to B, 0 \mapsto b,$ für ein $b \in B$.

Da für jedes $b \in B$ genau eine Abbildung $\operatorname{c}_b$ existiert, gibt es eine Bijektion

$g\colon \{\operatorname{c}_b \mid b \in B\} \to B, \operatorname{c}_b \mapsto b,$

so dass jedes $\operatorname{c}_b$ nicht von $b$ zu unterscheiden ist. Man kann daher $\operatorname{c}_b$ auch als das Element $b \in B$ auffassen, also als eine Konstante in $B$.

Einstellige Verknüpfungen

Hauptartikel: Einstellige Verknüpfung

Einstellige Verknüpfungen sind Abbildungen einer Menge $A$ nach einer Menge $B$.

Beispiele:

• Gegeben sei eine Menge $A$. Für jedes Element $X$ der Potenzmenge $P(A)$, also für jede Teilmenge $X$ von $A$ sei definiert:

${}^{\operatorname c}\colon X \mapsto X^{\operatorname c} := A \setminus X$ (Komplement von $X$).

• Die Sinusfunktion

$\sin\colon \R \to \R, x \mapsto \sin(x),$

ist eine einstellige Verknüpfung.

Zweistellige (binäre) Verknüpfungen

Hauptartikel: Zweistellige Verknüpfung

Besonders häufig wird der Begriff „Verknüpfung“ im Sinn einer zweistelligen Verknüpfung verwendet. Wichtige Spezialfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Zweistellige Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert, also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige Verknüpfungen

Eher selten spricht man von drei- und mehrstelligen Verknüpfungen. Beispiele für eine dreistellige Verknüpfung sind:

• die Abbildung, die je drei Vektoren aus dem $\mathbb{R}^3$ ihr Spatprodukt (aus $\mathbb{R}$) zuordnet und
• die Ternärverknüpfung in einem Ternärkörper.

Verknüpfungen in der Algebra

Verknüpfungen dienen in der Algebra dazu, algebraische Strukturen zu definieren. Die Verknüpfungen müssen dabei bestimmte Bedingungen (Axiome) erfüllen.

Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Die Forderung, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll (Abgeschlossenheit), ist bereits in der Definition der inneren Verknüpfung enthalten.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung – Lern- und Lehrmaterialien