Kubische Anisotropie

Das dargestellte kubische Kristall wird durch zwei verschiedene Transformationen auf sich abgebildet: Drehungen um 90° um eine der schwarz gezeichneten Raumrichtungen oder 120° Drehungen um eine Raumdiagonale (rot). Nach solchen Drehungen weist die Probe eines kubisch anisotropen Materials unverändertes Verhalten auf.

Kubische Kristallstruktur des Diamanten.

Die kubische Anisotropie, gehörend zum gleichnamigen Kristallsystem, ist die einfachste Art der Richtungsabhängigkeit eines Materials. Das kubische Kristallsystem gehört zu den sieben Kristallsystemen in der Kristallographie. Es umfasst alle Punktgruppen, die in vier unterschiedlichen Richtungen jeweils eine dreizählige Dreh- oder Drehinversionsachse besitzen. Diese vier dreizähligen Achsen verlaufen in kubischen Kristallen entlang der vier Raumdiagonalen der Elementarzellen, deren Gestalt einem Würfel entspricht, siehe oberes Bild. In kubisch anisotropen Materialien sind die Atome in einem hexagonalen Gitter wie im oberen Bild oder wie im Diamant angeordnet, was die untere Animation darstellt.

Kubisch anisotrope Materialien haben die folgenden Eigenschaften:

1. Das Kraft-Verformungs-Verhalten ändert sich nicht, wenn das Material um 90° um bestimmte, aufeinander senkrecht stehende Achsen, die Orthotropieachsen, gedreht wird (im Bild schwarz, Kochsalzstruktur).
2. Im Bezugssystem parallel zu diesen Achsen gibt es keine Kopplung zwischen Normaldehnungen und Schubverzerrungen.
3. Ein ebenso unverändertes Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt sich, wenn das Material um 120° um bestimmte Achsen (die Raumdiagonalen, eine davon im Bild rot) oder um 180° um die Orthotropieachsen gedreht wird (Diamantstruktur, siehe Animation rechts).

Die kubische Anisotropie besitzt als Folge hiervon zwei Symmetriegruppen.

Den speziellen Fall, dass ein Material (an einem Teilchen) unabhängig von der Belastungsrichtung jeweils dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt, wird als Isotropie bezeichnet. Den allgemeinen Fall, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängt, wird dagegen als Anisotropie bezeichnet. Die kubische Anisotropie ist ein Spezialfall der Orthotropie und enthält ihrerseits die Isotropie als Sonderfall. Ein nicht-isotropes, kubisch anisotropes Material ist nicht transversal Isotrop. (Transversale Isotropie ist ein anderer Spezialfall der Orthotropie und enthält ihrerseits auch die Isotropie als Sonderfall.)

Viele Metalle und deren Salze sind kubisch anisotrop, z. B. Halbleitermetalle, die in der Halbleitertechnologie der Elektronik eine wichtige Rolle spielen, Alkalimetalle und deren Salze.

Symmetriegruppe

Die Richtungsabhängigkeit eines Materials zeichnet sich dadurch aus, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten unabhängig (invariant) gegenüber nur bestimmten Drehungen des Materials ist. Diese Drehungen bilden die Symmetriegruppe des kubisch anisotropen Materials. Die kubische Anisotropie besitzt – wie eingangs erwähnt – zwei Symmetriegruppen.

Die eine Gruppe beinhaltet alle 90°-Drehungen um drei bestimmte, zueinander senkrechte Achsen, die Orthotropieachsen genannt werden. Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials veranschaulichen zwei Experimente an einem Teilchen: Im ersten Experiment bringt man am Teilchen eine bestimmte Kraft auf und misst die resultierende Verformung. Im zweiten Experiment dreht man das Material zunächst nacheinander um beliebige Orthotropieachsen – und zwar jeweils um 90°. Dann bringt man dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung. Bei kubisch anisotropem Material wird man im zweiten Experiment dieselbe Verformung messen wie im ersten. Und zwar auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten.

Die andere Symmetriegruppe beinhaltet 120°-Drehungen um eine bestimmte Achse, die (111)-Raumdiagonale, und bestimmte 180° Drehungen um die Orthotropieachsen. Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials zeigt sich im zweiten Experiment, wenn das Teilchen um 120° um die (111)- Raumdiagonale oder um 180° um eine Orthotropieachse gedreht wird. Bringt man wieder dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung, dann wird man bei kubisch anisotropem Material im zweiten Experiment wieder dieselbe Verformung messen wie im ersten.

Die Abhängigkeit von den Drehungen des Materials erkennt man, wenn man im zweiten Experiment nicht um Vielfache von 30° dreht. Wenn nicht der Spezialfall Isotropie vorliegt, wird man nun immer eine andere Verformung messen als im ersten Experiment.

Kubische Anisotropie in der linearen Elastizität

Gegeben sind zwei Tensoren zweiter Stufe ${\boldsymbol {\sigma }}$ und ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ mit 3×3-Koeffizienten $\sigma _{ij}$ bzw. $\varepsilon _{ij}$. Der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen diesen Koeffizienten gibt, ist:

$\sigma _{ij}=\sum _{k,l=1}^{3}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,,\quad i,j=1,2,3\,.$

Darin sind $C_{ijkl}$ 81 Koeffizienten mit denen die neun Komponenten $\varepsilon _{kl}$ auf neun Komponenten $\sigma _{ij}$ abgebildet werden. In der linearen Elastizitätstheorie, in der ${\boldsymbol {\sigma }}$ der symmetrische Spannungstensor und ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ der symmetrische Verzerrungstensor ist, reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Tensor-Komponenten auf sechs, so das nur 36 Koeffizienten $C_{ijkl}$ unabhängig sind. Im Fall der Hyperelastizität liegt noch die Symmetrie $C_{ijkl}=C_{klij}$ vor, so dass dann nur noch 21 Koeffizienten unabhängig sind. Diesen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen kann man nun in Voigt’scher Notation auch als Matrizengleichung schreiben:

$\sigma _{i}^{\text{v}}=\sum _{j=1}^{3}C_{ij}^{\text{v}}\varepsilon _{j}^{\text{v}}\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\&&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\&&&C_{44}^{\text{v}}&C_{45}^{\text{v}}&C_{46}^{\text{v}}\\&{\text{sym.}}&&&C_{55}^{\text{v}}&C_{56}^{\text{v}}\\&&&&&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}}$

Hier wurde die vierfache Indizierung ijkl mit dem Schema 11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5, 12→6 auf eine übersichtlichere doppelte Indizierung reduziert. Die Steifigkeitsmatrix $C^{\text{v}}$ mit den 21 unabhängigen Komponenten $C_{ij}^{\text{v}}$ repräsentiert den Elastizitätstensor des Materials. Das hochgestellte v wird im Folgenden unterdrückt, da bereits die Anzahl der Indizes die Voigt’sche Notation kennzeichnet.

Elastizitätsgesetz und Anisotropiefaktor

Ein Material ist kubisch anisotrop linear elastisch, wenn eine Orthonormalbasis existiert, so dass das Elastizitätsgesetz dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form (mit nur drei unabhängigen Einträgen) annimmt:

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\&&C_{11}&0&0&0\\&&&C_{44}&0&0\\&{\text{sym.}}&&&C_{44}&0\\&&&&&C_{44}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}}$

Im Sonderfall der Isotropie sind nur zwei der drei Einträge unabhängig und es gilt mit dem Schubmodul G und der zweiten Lamé-Konstanten λ:

$C_{11}=2G+\lambda \,,\quad C_{12}=\lambda \,,\quad C_{44}=G\quad \rightarrow \quad {\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}={\frac {2G}{2G+\lambda -\lambda }}=1\,.$

Der Bruch definiert den dimensionslosen Anisotropiefaktor nach Zener:

$A={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}\,.$

Der Anisotropiefaktor ist bei kubischer Anisotropie von eins verschieden, wie die folgende Tabelle zeigt.

Stoff	$C_{11}$ [MPa]	$C_{12}$ [MPa]	$C_{44}$ [MPa]	A [-]
Halbleiter (Diamantstruktur)
Diamant	1.020.000	250.000	492.000	1,3
Silizium	166.000	64.000	80.000	1,6
Germanium	130.000	49.000	67.000	1,7
Alkalimetalle (Kubisch raumzentriertes Gitter)
Lithium	13.500	11.400	8.800	8,4
Natrium	7.400	6.200	4.200	7,2
Kalium	3.700	3.100	1.900	6,7
Chloride der Alkalimetalle (Kochsalzstruktur)
Natriumchlorid	48.500	12.500	12.700	0,7
Kaliumchlorid	40.500	6.600	6.300	0,37
Rubidiumchlorid	36.300	6.200	4.700	0,31

Wenn der Anisotropiefaktor kleiner als eins ist, dann sind die Kristalle entlang der (100)-Würfelkanten am steifesten. Wenn der Anisotropiefaktor größer als eins ist, dann sind die Kristalle entlang der (111)-Raumdiagonale am steifesten, siehe auch das #Beispiel unten. Weitere kubisch kristallisierende, chemische Stoffe kann man in der Kategorie:Kubisches Kristallsystem nachschlagen.

Materialparameter

Die kubische Anisotropie ist ein Spezialfall der Orthotropie, die bei linearer Elastizität neun Materialparameter besitzt:

• Drei Elastizitätsmoduln und
• drei Querkontraktionszahlen bei Zug in Richtung einer Orthotropieachse sowie
• drei Schubmoduln bei Scherung in Ebenen senkrecht zu den Orthotropieachsen.

Die kubische Anisotropie ist der Spezialfall, in dem die drei Elastizitätsmoduln, die Querkontraktionszahlen und die Schubmoduln jeweils identisch sind. Ein kubisch anisotropes linear elastisches Material besitzt daher drei Materialparameter: Einen Elastizitätsmodul, eine Querkontraktionszahl und einen von diesen Werten unabhängigen Schubmodul. Die Dimension des Elastizitätsmoduls $E$ und des Schubmoduls $G$ ist Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahl $\nu$ dimensionslos ist. Die Querkontraktionszahl beschreibt, wie sich eine entlang einer Richtung – z. B. der 1-Richtung – gezogene Materialprobe quer dazu – z. B. in 2-Richtung – kontrahiert.

Damit lautet das Elastizitätsgesetz bei kubisch anisotroper, linearer Elastizität:

${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\&&&{\frac {1}{G}}&0&0\\&{\textsf {sym}}&&&{\frac {1}{G}}&0\\&&&&&{\frac {1}{G}}\end{bmatrix}} _{=:S}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}$

Durch Invertierung der Nachgiebigkeitsmatrix S bekommt man die Steifigkeitsmatrix C:

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\&{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\lambda &0&0&0\\&&{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\\&&&G&0&0\\&{\text{sym}}&&&G&0\\&&&&&G\end{bmatrix}} _{=:C}\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}}$

Die Nachgiebigkeitsmatrix S und Steifigkeitsmatrix C sind symmetrisch und an denselben Stellen mit von Null verschiedenen Werten besetzt. Die zweite Lamé-Konstante hängt über

$\lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$

mit dem Elastizitätsmodul und der Querkontraktionszahl zusammen. Der Anisotropiefaktor kann mit diesen Materialparametern ausgedrückt werden:

$A={\frac {2G(1+\nu )}{E}}={\frac {2\nu G}{(1-2\nu )\lambda }}\,.$

Isotropie stellt sich ein wenn A = 1 oder gleichbedeutend

$G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\quad {\textsf {oder}}\quad G={\frac {1-2\nu }{2\nu }}\lambda \quad {\textsf {oder}}\quad 2G+\lambda ={\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda$

gilt.

Stabilitätskriterien

Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen positiv definit sein müssen. Dies führt auf die Bedingungen:

• Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und
• die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).

Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten. Die Stabilitätskriterien lauten:

${\begin{array}{l}E,G>0\\\nu >-1\\1-2\nu >0\end{array}}$

Wenn die linke Seite der letzten Ungleichung gegen null geht, setzt das Material einer hydrostatischen Kompression zunehmend Widerstand entgegen.

Koordinatenfreie Darstellung

Bei der orthtropen linearen Elastizität hat das Material keine Zug-Scher-Kopplung aber drei Vorzugsrichtungen, die paarweise senkrechten Orthotropieachsen, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. Weil bereits zwei Orthotropieachsen die dritte festlegen, werden zur Definition der Vorzugsrichtungen nur zwei materielle Linienelemente ${\hat {k}}_{1,2}$ der Länge eins mit ${\hat {k}}_{1}\cdot {\hat {k}}_{2}=0$ benötigt. Aus diesen werden mit dem dyadischen Produkt „$\otimes$“ tensorielle Strukturvariable gebildet:

$\mathbf {K} _{1}:={\hat {k}}_{1}\otimes {\hat {k}}_{1}\quad {\textsf {und}}\quad \mathbf {K} _{2}:={\hat {k}}_{2}\otimes {\hat {k}}_{2}\,.$

Sei weiter ${\hat {k}}_{3}:={\hat {k}}_{1}\times {\hat {k}}_{2}$ der dritte Einheitsvektor, der $\{{\hat {k}}_{1},{\hat {k}}_{2}\}$ zu einer rechtshändigen Basis ergänzt und

$\mathbf {K} _{3}:={\hat {k}}_{3}\otimes {\hat {k}}_{3}=\mathbf {I} -\mathbf {K} _{1}-\mathbf {K} _{2}\,.$

Der Tensor I ist der Einheitstensor. Mit dem Koeffizienten $h={\frac {1-2\nu }{\nu }}\lambda -2G={\frac {E}{1+\nu }}-2G=2G{\frac {1-A}{A}}$ und dem Einheitstensor vierter Stufe ${\stackrel {4}{\mathbf {I} }}$ berechnet sich der konstante und symmetrische Elastizitätstensor vierter Stufe

${\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=2G{\stackrel {4}{\mathbf {I} }}+\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +h(\mathbf {K} _{1}\otimes \mathbf {K} _{1}+\mathbf {K} _{2}\otimes \mathbf {K} _{2}+\mathbf {K} _{3}\otimes \mathbf {K} _{3})\,.$

Bezüglich der Basis $\{{\hat {k}}_{1},{\hat {k}}_{2},{\hat {k}}_{3}\}$ ist in Voigt’scher Notation:

$C^{\text{v}}={\begin{bmatrix}2G+\lambda +h&\lambda &\lambda &0&0&0\\&2G+\lambda +h&\lambda &0&0&0\\&&2G+\lambda +h&0&0&0\\&&&G&0&0\\&{\text{sym.}}&&&G&0\\&&&&&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\&{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\lambda &0&0&0\\&&{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\\&&&G&0&0\\&{\text{sym}}&&&G&0\\&&&&&G\end{bmatrix}}$

Die Inverse des Elastizitätstensors lautet:

${\stackrel {4}{\mathbf {S} }}={\stackrel {4}{\mathbf {C} }}{}^{-1}={\frac {1}{2G}}{\stackrel {4}{\mathbf {I} }}-{\frac {\nu }{E}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +\underbrace {\left({\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}\right)} _{*}(\mathbf {K} _{1}\otimes \mathbf {K} _{1}+\mathbf {K} _{2}\otimes \mathbf {K} _{2}+\mathbf {K} _{3}\otimes \mathbf {K} _{3})$

Der Vorfaktor * hängt mit dem Anisotropiefaktor über

${\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}={\frac {A-1}{2G}}$

zusammen. Bezüglich der Basis $\{{\hat {k}}_{1},{\hat {k}}_{2},{\hat {k}}_{3}\}$ ist in Voigt’scher Notation:

$S^{\text{v}}={\begin{bmatrix}S_{11}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&S_{11}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&&S_{11}&0&0&0\\&&&{\frac {1}{G}}&0&0\\&{\text{sym.}}&&&{\frac {1}{G}}&0\\&&&&&{\frac {1}{G}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\&&&{\frac {1}{G}}&0&0\\&{\text{sym.}}&&&{\frac {1}{G}}&0\\&&&&&{\frac {1}{G}}\end{bmatrix}}$

mit

$S_{11}={\frac {1}{2G}}-{\frac {\nu }{E}}+{\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}={\frac {1}{E}}$

Beispiel

Eine Probe aus Silizium und eine aus Kochsalz haben nach obiger Tabelle die Materialparameter

Parameter	C11	λ=C12	G=C44	E	ν	A
Einheit	MPa	MPa	MPa	MPa	-	-
Silizium	166.000	64.000	80.000	130.383	0,28	1,6
Kochsalz	48.500	12.500	12.700	43.377	0,20	0,7

Diese Proben werden in einem kartesischen Koordinatensystem in x-Richtung belastet, wobei aber nur kleine Verformungen auftreten sollen. Dann stehen der Spannungstensor ${\boldsymbol {\sigma }}$ und der Verzerrungstensor ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ über den Nachgiebigkeitstensor in Beziehung: ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\stackrel {4}{\mathbf {S} }}:{\boldsymbol {\sigma }}$. Bei reinem Zug in x-Richtung ist ${\boldsymbol {\sigma }}=\sigma {\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x}$:

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\left[{\frac {1}{2G}}{\stackrel {4}{\mathbf {I} }}-{\frac {\nu }{E}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +\left({\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}\right)(\mathbf {K} _{1}\otimes \mathbf {K} _{1}+\mathbf {K} _{2}\otimes \mathbf {K} _{2}+\mathbf {K} _{3}\otimes \mathbf {K} _{3})\right]:\sigma {\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x}$

Das mit dem Spur-Operator gebildete Frobenius-Skalarprodukt „:“ mit dem Tensor K₁ extrahiert die x-Komponente $k_{1x}$ des Basisvektors ${\hat {k}}_{1}$

$\mathbf {K} _{1}:({\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x})=({\hat {k}}_{1}\otimes {\hat {k}}_{1}):({\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x})=\operatorname {Sp} (({\hat {k}}_{1}\otimes {\hat {k}}_{1})\cdot ({\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x}))=({\hat {k}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{x})\operatorname {Sp} ({\hat {k}}_{1}\otimes {\hat {e}}_{x})=({\hat {k}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{x})^{2}=:k_{1x}^{2}\,,$

was entsprechend auch für die anderen beiden Tensoren K_2,3 gilt. So bekommt man den Verzerrungstensor

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\sigma \left[{\frac {1}{2G}}{\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x}-{\frac {\nu }{E}}\mathbf {I} +\left({\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}\right)\left(k_{1x}^{2}\mathbf {K} _{1}+k_{2x}^{2}\mathbf {K} _{2}+k_{3x}^{2}\mathbf {K} _{3}\right)\right]$

denn das Frobenius-Skalarprodukt des Einheitstensors mit der Dyade ${\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x}$ ist die Spur der Dyade, die gleich eins ist: $\mathbf {I} :({\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x})=\operatorname {Sp} ({\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x})={\hat {e}}_{x}\cdot {\hat {e}}_{x}=1$. Die Dehnung in x-Richtung lautet mithin:

$\varepsilon :={\hat {e}}_{x}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\hat {e}}_{x}={\boldsymbol {\varepsilon }}:({\hat {e}}_{x}\otimes {\hat {e}}_{x})=\sigma {\biggl [}{\frac {1}{2G}}-{\frac {\nu }{E}}+\left({\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}\right)\underbrace {\left(k_{1x}^{4}+k_{2x}^{4}+k_{3x}^{4}\right)} _{q}{\biggr ]}\,.$

Die Dehnung wird maßgeblich durch den Vorfaktor

${\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}={\frac {A-1}{2G}}$

beeinflusst, der eine lineare Funktion des Anisotropiefaktors A ist. Je nach Vorzeichen von A-1 wird der positive, von der Ausrichtung der Orthotropieachsen abhängige Term q addiert oder subtrahiert. Die erste Orthotropieachse des Kristalls werde nun nach der Vorschrift

${\hat {k}}_{1}=\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}({\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z})\quad \rightarrow \quad k_{1x}=\cos(\alpha )$

bezüglich des globalen Basissystems ${\hat {e}}_{x,y,z}$ in Abhängigkeit vom Winkel α orientiert. Bei α=0° erfolgt der Zug parallel zur (100)-Richtung des Gitters, bei α≈54,7° in Richtung der (111)-Raumdiagonalen und bei α=90° in (011)-Richtung. Die Querkontraktionsrichtung, die durch die anderen beiden Achsen festgelegt wird, bestimmt sich daraus, dass die Formänderungsenergie, die proportional zum Produkt σ·ε ist, minimiert wird. Im Minimum muss der Faktor q bei positivem A-1 minimal und bei negativem A-1 maximal sein. Für Kochsalz, das ein negatives A-1 besitzt, ist die Ausrichtung

Verhältnis $V_{x}$ des gemessenen Elastizitätmoduls zum Materialparameter E bei Zug in x-Richtung an einer Silizium- und einer Kochsalzprobe in Abhängigkeit von der Ausrichtung der Probe.

${\begin{array}{rclcl}{\hat {k}}_{1}^{a}&=&\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}({\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z})&\rightarrow &k_{1x}^{a}=\cos(\alpha )\\{\hat {k}}_{2}^{a}&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {e}}_{y}-{\hat {e}}_{z})&\rightarrow &k_{2x}^{a}=0\\{\hat {k}}_{3}^{a}&=&-\sin(\alpha ){\hat {e}}_{x}+{\frac {\cos(\alpha )}{\sqrt {2}}}({\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z})&\rightarrow &k_{3x}^{a}=-\sin(\alpha )\end{array}}$

optimal und für Silizium, bei dem A-1 positiv ist, ist die Ausrichtung

${\begin{array}{rclcl}{\hat {k}}_{1}^{b}&=&\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}({\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z})&\rightarrow &k_{1x}^{b}=\cos(\alpha )\\{\hat {k}}_{2}^{b}&=&-{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {1}{2}}(\cos(\alpha )+1){\hat {e}}_{y}+{\frac {1}{2}}(\cos(\alpha )-1){\hat {e}}_{z}&\rightarrow &k_{2x}^{b}=-{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}\\{\hat {k}}_{3}^{b}&=&-{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {1}{2}}(\cos(\alpha )-1){\hat {e}}_{y}+{\frac {1}{2}}(\cos(\alpha )+1){\hat {e}}_{z}&\rightarrow &k_{3x}^{b}=-{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}\end{array}}$

optimal.

Beweis

Für die Orientierung der Orthotropieachsen ${\hat {k}}_{2,3}$ steht nur ein Freiheitsgrad zur Verfügung, für den die x-Komponente k2x des zweiten Basisvektors gewählt wird und der so angepasst werden muss, dass q extremal wird. Mit Unbekannten a und b schreiben sich die zu ermittelnden Orthotropieachsen ${\begin{array}{rcl}{\hat {k}}_{2}&=&k_{2x}{\hat {e}}_{x}+(a+b){\hat {e}}_{y}+(a-b){\hat {e}}_{z}\\{\hat {k}}_{3}&=&-{\sqrt {2}}\sin(\alpha )b{\hat {e}}_{x}+\left[{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}k_{2x}-\cos(\alpha )(a-b)\right]{\hat {e}}_{y}+\left[\cos(\alpha )(a+b)-{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}k_{2x}\right]{\hat {e}}_{z}\,.\end{array}}$ Der Basisvektor ${\hat {k}}_{2}$ muss senkrecht zu ${\hat {k}}_{1}$ sein und die Länge eins haben: ${\begin{array}{rclcl}{\hat {k}}_{1}\cdot {\hat {k}}_{2}&=&0=\cos(\alpha )k_{2x}+{\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2}}}(a+b+a-b)=\cos(\alpha )k_{2x}+{\sqrt {2}}\sin(\alpha )a&\rightarrow &a=-{\frac {\cos(\alpha )}{{\sqrt {2}}\sin(\alpha )}}k_{2x}\\{\hat {k}}_{2}\cdot {\hat {k}}_{2}&=&1=k_{2x}^{2}+(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=k_{2x}^{2}+2{\frac {\cos ^{2}(\alpha )}{2\sin ^{2}(\alpha )}}k_{2x}^{2}+2b^{2}&\rightarrow &b={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1-{\frac {k_{2x}^{2}}{\sin ^{2}(\alpha )}}}}\,.\end{array}}$ Der negative Wert für b führt auf eine gleichwertige Ausrichtung. Die x-Komponente des dritten Basisvektors lautet demzufolge $k_{3x}=-{\sqrt {2}}\sin(\alpha )b=-{\sqrt {\sin ^{2}(\alpha )-k_{2x}^{2}}}\,.$ Mit den x-Komponenten berechnet sich die Zielgröße $q=\cos ^{4}(\alpha )+k_{2x}^{4}+(\sin ^{2}(\alpha )-k_{2x}^{2})^{2}\,,$ die extremal werden soll. Für die Ermittlung des Extremums werden die Ableitungen gebildet: ${\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} k_{2x}}}&=&4k_{2x}^{3}+2(\sin ^{2}(\alpha )-k_{2x}^{2})\cdot (-2k_{2x})=4[2k_{2x}^{2}-\sin ^{2}(\alpha )]k_{2x}{\stackrel {\displaystyle !}{=}}0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} k_{2x}^{2}}}&=&24k_{2x}^{2}-4\sin ^{2}(\alpha )\end{array}}$ Im Extremum verschwindet die Ableitung nach k2x in der ersten Zeile und das Vorzeichen der zweiten Ableitung in der zweiten Zeile entscheidet über die Art des Extremums: Minimum bei positivem Vorzeichen und Maximum bei negativem. Die eine Lösung k2x=0, bei der q ein Maximum einnimmt, kann direkt abgelesen werden. Hier ist a=0 und $b=1/{\sqrt {2}}$, dem die Ausrichtung ${\hat {k}}_{1,2,3}^{a}$ genügt. Die andere Lösung entspricht einem Minimum von q und beinhaltet $k_{2x}=-\sin(\alpha )/{\sqrt {2}}$, a=cos(α)/2 und b=1/2, was auf die Ausrichtung ${\hat {k}}_{1,2,3}^{b}$ führt.

Der bei Zug in x-Richtung gemessene Elastizitätsmodul E_x ist das Verhältnis σ/ε der Spannungen zu den Dehnungen in x-Richtung. Wird dieses E_x= σ/ε in Beziehung gesetzt zum Materialparameter E, ergibt sich ein dimensionsloses Verhältnis

$V_{x}:={\frac {\sigma }{E\varepsilon }}={\frac {A}{1+(A-1)[(1+\nu )(k_{1x}^{4}+k_{2x}^{4}+k_{3x}^{4})-\nu ]}}\,.$

Mit der gewählten Ausrichtung der Probe und Zug in x-Richtung ergibt sich der Faktor $V_{x}$ wie im Bild. Bei α=0° ist jedenfalls $k_{1x}^{4}+k_{2x}^{4}+k_{3x}^{4}=1$ und somit $V_{x}=1$. Während Silizium bei Zug in Richtung der Raumdiagonalen am steifesten reagiert ist das bei Kochsalz bei Zug in Gitterrichtung der Fall. Bei isotroper Elastizität wäre der Faktor $V_{x}$ unabhängig von der Ausrichtung der Probe konstant gleich eins, läge also auf einer zur Abszisse parallelen Geraden.

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer, 2012, ISBN 3-642-24119-0. 
• J. Betten: Kontinuumsmechanik–Elastisches und inelastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe. Springer, 2012, ISBN 3-642-62645-9. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X. 
• R. E. Newnham: Properties of materials. Oxford University Press, 2005, ISBN 978-0-19-852075-7.