Spannungstensor

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Ein Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe, der die mechanischen Spannungen an einem bestimmten Punkt innerhalb der Materie beschreibt. Er ist eine wesentliche Größe der Kontinuumsmechanik. Seine Komponenten haben die Dimension Kraft pro Fläche für die in der Festkörpermechanik die Einheit Megapascal MPa = N/mm² üblich ist.

Verwendet wird dieser Tensor vor allem in der Physik (Festkörperphysik, Spannungs- und Klassische Mechanik, teilweise Geophysik) und in der Elektrodynamik.

Definition[Bearbeiten]

Schnittspannungen in einem deformierten Körper

In einer gedachten Schnittfläche durch die Materie übt die in Gedanken weggeschnittene Materie auf die verbliebene Materie eine Spannung aus, die sich als Spannungsvektor \underline{s} aus einer Normalspannungskomponente \sigma_{nn} (rechtwinklig zur Schnittfläche wirkend) und zwei Schubspannungskomponenten \tau_{tn} (in der Schnittfläche wirkend) zusammensetzt, siehe Bild. Manchmal wird der Index der Normalspannungskomponente nur einfach notiert \sigma_{n}=\sigma_{nn}.

Am jeweiligen Ort schneiden sich drei solche gedachten Schnittflächen mit den Basisvektoren des Koordinatensystems \underline{e}_1, \underline{e}_2, \underline{e}_3 als Normalen. Die drei Spannungsvektoren in den drei Schnittflächen werden zum Spannungstensor zusammengefasst:

\underline{\underline{\sigma}} = \sum_{i,j=1}^{3} \sigma^{ij} \,\underline{e}_i \otimes \underline{e}_j.

Dabei bezeichnet \otimes das dyadische Produkt (Tensorprodukt zweier Vektoren).

In Matrizenschreibweise wird der Spannungstensor allgemein in folgender Form angegeben:


  \underline{\underline{\sigma}} = 
  \begin{bmatrix} 
    \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ 
    \tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\
    \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z}
  \end{bmatrix}

Da der Spannungstensor symmetrisch ist (\tau_{yx}=\tau_{xy} etc.) besteht er nicht aus neun unabhängigen Größen, sondern nur aus sechs und kann in der Voigtschen Notation als ein 6\times 1-Vektor geschrieben werden, wodurch die Notation deutlich vereinfacht wird:


  \underline{\sigma} = 
  \begin{bmatrix} \sigma_{x} \\ \sigma_{y} \\ \sigma_{z} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{xz} \\ \tau_{xy} \end{bmatrix}

Typen von Spannungstensoren[Bearbeiten]

Die Kontinuumsmechanik definiert mehrere Spannungstensoren:

  1. den in der Momentankonfiguration wirkenden Cauchy'schen Spannungstensor  \mathbf{T} ,
  2. den gewichteten Cauchy'schen Spannungstensor  \mathbf{S}=\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{T} ,
  3. den in der Referenz- oder Ausgangskonfiguration wirkenden zweiten Piola-Kirchoffschen Spannungstensor  \tilde{\mathbf{T}}=\det(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{F}^\mathrm{-T}=\mathbf{F}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{F}^\mathrm{-T} ,
  4. den in der Ausgangskonfiguration wirkenden, im Allgemeinen unsymmetrischen, ersten Piola-Kirchoffschen Spannungstensor  \mathbf{T}_{0}=\det(\mathbf{F})\mathbf{T}\mathbf{F}^\mathrm{-T}=\mathbf{S}\mathbf{F}^\mathrm{-T} und
  5. den in der Ausgangskonfiguration wirkenden konvektiven Spannungstensor  \tilde{\mathbf{t}}
=\det(\mathbf{F})\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}\mathbf{F}
=\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\mathbf{S}\mathbf{F} .

Darin ist  \mathbf{F} der Deformationsgradient. Der Cauchy'sche und der erste Piola-Kichoff'sche Spannungstensor erfüllen die Impulsbilanz. Die Komponenten des transponierten ersten Piola-Kichoff'schen Spannungstensors  \mathbf{T}_{0}^{\mathrm{T}} nennt man Nominalspannungen. Bis auf den ersten Piola-Kichoff'schen Spannungstensor sind alle genannten Spannungstensoren auf Grund der Drehimpulsbilanz symmetrisch.

Zusammenhang mit anderen Größen[Bearbeiten]

Für Gase reduziert sich der Spannungstensor gerade zum Druck p multipliziert mit der Einheitsmatrix \mathbf{1}:


  \underline{\underline{\sigma}}^P=-p\mathbf{1}

und wird Drucktensor genannt.[1]

Der Maxwell'sche Spannungstensor aus der Elektrodynamik ist eine Untermatrix des Energie-Impuls-Tensors.

Der Spannungstensor am Volumenelement[Bearbeiten]

Folgende Skizze verdeutlicht dies am Beispiel eines herausgeschnittenen sehr kleinen Volumenelements für kartesische Koordinaten; die Betrachtungen gelten für die rechte obere hintere Ecke:

Spannung2.svg

In einer konkreten Schnittfläche, deren Orientierung durch ihren nach außen gerichteten Normalenvektor \underline{n} beschrieben wird, ergibt sich der Spannungsvektor \underline{s}, indem man den Spannungstensor mit dem Normalenvektor multipliziert:

\underline{s} = \underline{\underline{\sigma}}^T \cdot \underline{n}

bzw. für einen symmetrischen Spannungstensor:

\underline{s} = \underline{\underline{\sigma}} \cdot \underline{n}.

Eigensystem[Bearbeiten]

Für Matrizen wie für Spannungstensoren kann man nach Eigenwerten  \sigma_i und Eigenvektoren  \underline{v}_i suchen, die das Eigenwertproblem

 \mathbf{T}\underline{v}_i=\sigma_i\underline{v}_i

lösen. Bei den symmetrischen Spannungstensoren, und nur die sollen hier untersucht werden, sind die Eigenwerte sämtlich reell. Die Eigenwerte werden Hauptspannungen und die (auf die Länge eins normierten) Eigenvektoren Hauptspannungsrichtungen genannt.

Die Eigenwerte ergeben sich aus der charakteristischen Gleichung

 \mathrm{det}(\mathbf{T}-\sigma_i\textbf{1})
=
-\sigma_i^3
+\mathrm{I}_1(\mathbf{T})\sigma_i^2
-\mathrm{I}_2(\mathbf{T})\sigma_i
+\mathrm{I}_3(\mathbf{T})=0 ,

worin die Koeffizienten für

\begin{array}{lcl}
\mathrm{I}_1(\mathbf{T})
&=&
\mathrm{Spur}(\mathbf{T})
=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}
\\[1ex]
\mathrm{I}_2(\mathbf{T})
&=&
\frac{1}{2}[\mathrm{I}_1{(\mathbf{T})}^2-\mathrm{I}_1(\mathbf{T}^2)]=\sigma_{xx}\sigma_{yy}+\sigma_{xx}\sigma_{zz}+\sigma_{yy}\sigma_{zz}-\sigma_{xy}^2-\sigma_{xz}^2-\sigma_{yz}^2
\\[1ex]
\mathrm{I}_3(\mathbf{T})
&=&
\mathrm{det}(\mathbf{T})
=\frac{1}{3}[\mathrm{I}_1(\mathbf{T}^3)
+3\mathrm{I}_1(\mathbf{T})\mathrm{I}_2(\mathbf{T})
-\mathrm{I}_1{(\mathbf{T})}^3]
\\[1ex]
&=&\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}+2\sigma_{xy}\sigma_{yz}\sigma_{xz}
-\sigma_{xx}\sigma_{yz}^2-\sigma_{xy}^2\sigma_{zz}-\sigma_{xz}^2\sigma_{yy}
\end{array}

stehen und die Komponenten  \sigma_{ij} die Spannungskomponenten im kartesischen x-y-z-System sind.

Die Hauptspannungsrichtungen  \underline{v}_i sind paarweise senkrecht zueinander und bilden somit auch eine orthonormale Basis. In diesem Basissystem besitzt der Spannungstensor Diagonalgestalt:

 \mathbf{T}={\sum}_{i=1}^3\sigma_i\underline{v}_i\otimes\underline{v}_i .

Die Beträge der Schnittspannungsvektoren

 |\underline{s}|
=
\sqrt{\mathbf{T}\underline{n}\cdot\mathbf{T}\underline{n}}

nehmen in den Hauptspannungsrichtungen  \underline{n}=\underline{v}_i Extremwerte an.

Beweis mit Lagrangeschen Multiplikatoren
Weil die Wurzelfunktion monoton mit ihrem Argument wächst, kann man einfacher die Extremwerte der Betragsquadrate suchen:

 f(\underline{n}, \lambda)
=
\mathbf{T}\underline{n}\cdot \mathbf{T}\underline{n}
-\lambda (\underline{n}\cdot \underline{n}-1)
\rightarrow
\mathrm{extremum}

Im Extremum verschwindet die Ableitung

 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\underline{n}}\cdot \underline{h}
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}
f(\underline{n}+s\underline{h}, \lambda)|_{s=0}
=\mathbf{T}\underline{h}\cdot \mathbf{T}\underline{n}
+ \mathbf{T}\underline{n}\cdot\mathbf{T}\underline{h}
-2\lambda \underline{n}\cdot \underline{h}
=2 (\mathbf{T}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}\underline{n}-\lambda \underline{n})\cdot
\underline{h}\stackrel{\displaystyle !}{=}0
\quad\forall\quad
\underline{h}\in \mathbb{R}^3
\rightarrow
\mathbf{T}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}\underline{n}=\lambda \underline{n}

Demnach ist  \underline{n} Eigenvektor von  \mathbf{T}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}=\mathbf{T T} . Die Eigenvektoren von  \mathbf{T T} stimmen mit den Eigenvektoren von  \mathbf{T} überein, denn

 \mathbf{T T}\underline{v}_i
=\mathbf{T}\sigma_i\underline{v}_i
=\sigma_i\mathbf{T}\underline{v}_i=\sigma_i^2\underline{v}_i

q.e.d.

Sortiert man die Hauptspannungen so, dass  |\sigma_1|\ge |\sigma_2|\ge |\sigma_3| gilt, dann tritt in der 1-Richtung der betraglich größte und in 3-Richtung der betraglich kleinste Schnittspannungsvektor auf.

Invarianten[Bearbeiten]

Wenn der Spannungstensor in einem anderen Basissystem  \lbrace
\underline{e}^{\mathrm{*}}_{1},\,
\underline{e}^{\mathrm{*}}_{2},\,
\underline{e}^{\mathrm{*}}_{3}\rbrace ausgedrückt wird

 \mathbf{T}
=\sum_{i,j=1}^3\sigma^{ij}\underline{e}_i\otimes\underline{e}_j
=\sum_{i,j=1}^3\sigma^{\mathrm{*}ij}\underline{e}_i^{\mathrm{*}}
\otimes\underline{e}_j^{\mathrm{*}}

ändern sich seine Komponenten von  \sigma^{ij} nach  \sigma^{\mathrm{*}ij} in charakteristischer Weise, so wie sich auch die Komponenten eines geometrischen Vektors beim Wechsel des Basissystems ändern. Der Betrag des Vektors ändert sich dabei aber nicht und genauso gibt es beim Spannungstensor sogenannte Invarianten, die sich bei einem Wechsel des Basissystems nicht ändern. Invariant sind:

  1. die Hauptinvarianten  \mathrm{I}_1(\mathbf{T})=\mathrm{Spur}(\mathbf{T}),\mathrm{I}_2(\mathbf{T}),\mathrm{I}_3(\mathbf{T})=\mathrm{det}(\mathbf{T}) ,
  2. die Hauptspannungen  \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 ,
  3. die Spuren der Potenzen  \mathrm{I}_1(\mathbf{T}),\mathrm{I}_1(\mathbf{T}^2),\mathrm{I}_1(\mathbf{T}^3),... und
  4. der Betrag  \parallel\mathbf{T}\parallel
:=\sqrt{\mathbf{T}\cdot \mathbf{T}}
:=\sqrt{\mathrm{Spur}(\mathbf{T T}^{\mathrm{T}})}
=\sqrt{\sigma_{xx}^2+\sigma_{yy}^2+\sigma_{zz}^2
+2\sigma_{xy}^2+2\sigma_{yz}^2+2\sigma_{xz}^2}
=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2} ,

siehe #Eigensystem. Von diesen Invarianten sind aber nur drei voneinander unabhängig und aus denen können dann alle anderen abgeleitet werden. Insbesondere gilt nach dem Satz von Vieta:

 \begin{array}{l}\mathrm{I}_1(\mathbf{T})=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3
\\[1ex]
\mathrm{I}_2(\mathbf{T})=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1
\\[1ex]
\mathrm{I}_3(\mathbf{T})=\sigma_1\sigma_2\sigma_3\end{array} .

Die von Mises Vergleichsspannung

 \sigma_{v}=\sqrt{\sigma_{xx}^2+\sigma_{yy}^2+\sigma_{zz}^2
-\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xx}\sigma_{zz}-\sigma_{yy}\sigma_{zz}
+3(\sigma_{xy}^2+\sigma_{xz}^2+\sigma_{yz}^2)}
=\sqrt{\frac32\mathbf{T}^{\mathrm{D}}\cdot \mathbf{T}^{\mathrm{D}}}=\sqrt{-3\mathrm{I}_2(\mathbf{T}^{\mathrm{D}})}

ist eine Funktion der zweiten Hauptinvariante des spurfreien Spannungsdeviators

 \mathbf{T}^{\mathrm{D}}
=\mathbf{T}-\frac{1}{3}\mathrm{Spur}(\mathbf{T})\mathbf{1} ,

weswegen sie auf hydrostatische Spannungen (gleich große Normalspannungen in allen drei Raumrichtungen) nicht reagiert. Die zweite Hauptinvariante des Spannungsdeviators wird oftmals mit  {J}_2 bezeichnet.

Beispiel[Bearbeiten]

Der Cauchy'sche Spannungstensor habe die Form

 \mathbf{T}=\left(\begin{array}{ccc}
-2& 6& -4\\
6& 0& 6\\
-4& 6& -2
\end{array}\right)\,\mathrm{MPa}\, .

Seine charakteristische Gleichung lautet

 \mathrm{det}\left(\mathbf{T}-\sigma_i\textbf{I}\right)
=-\sigma_i^3
-4\,\mathrm{MPa}\,\sigma_i^2
+84{\,\mathrm{MPa}\,}^2\sigma_i
-144{\,\mathrm{MPa}\,}^3
=0 ,

die die Lösungen

 \sigma_1=6\,\mathrm{MPa}\,,\sigma_2=2\,\mathrm{MPa}\,,\sigma_3=-12\,\mathrm{MPa}\,

besitzt. Mit dem Ansatz

 \underline{v}_1={\left({1,}a,b\right)}^{\mathrm{T}}

bekommt man

 \mathbf{T}\underline{v}_1=\left(\begin{array}{ccc}-2& 6& -4\\
6& 0& 6\\
-4& 6& -2\end{array}\right)\,\mathrm{MPa}\,\left(\begin{array}{c}1\\
a\\
b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2+6a-4b\\
6+6b\\
-4+6a-2b\end{array}\right)\,\mathrm{MPa}\,\stackrel{\displaystyle !}{=}6
\,\mathrm{MPa}\,\left(\begin{array}{c}
1\\
a\\
b\end{array}\right)

mit der Lösung  a=2,b=1 und der Konsequenz

 \underline{v}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}} .

Entsprechend ermittelt man

 \underline{v}_2=\frac{1}{\sqrt2}(-1,0,1)^{\mathrm{T}},
\underline{v}_3=\frac{1}{\sqrt3}(1,-1,1)^{\mathrm{T}} .

Die Eigenvektoren sind paarweise senkrecht aufeinander. In dem Basissystem der Eigenvektoren hat der Spannungstensor Diagonalgestalt:

\mathbf{T} =
\left( \begin{array}{ccc}
\sigma_1 & 0 & 0 \\
0 & \sigma_2 & 0 \\
0 & 0 & \sigma_3
\end{array} \right)_{\underline{v}_i\otimes\underline{v}_j}
=
\left( \begin{array}{ccc}
6 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -12
\end{array} \right)_{\underline{v}_i\otimes\underline{v}_j}
\,\mathrm{MPa}

woran man die Invarianz seiner Spur prüfen kann.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Brandt, Dahmen: Mechanik: Eine Einführung in Experiment und Theorie. Springer, 2004, S. 326 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Literatur[Bearbeiten]