Lamé-Konstanten

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Die Lamé-Konstanten (nach Gabriel Lamé) sind zwei Materialkonstanten und legen alle Komponenten des Elastizitätstensors eines isotropen Materials im Rahmen der Kontinuumsmechanik fest. Ihre Einheit entspricht einem Druck (Kraft pro Fläche, in SI-Einheiten \mathrm{N}/\mathrm{m}^2).

Elastizitätstheorie[Bearbeiten]

In der linearen Elastizitätstheorie wird die lineare Abhängigkeit des Spannungstensors \sigma vom Verzerrungstensor \varepsilon durch den Elastizitätstensor C beschrieben. In Komponentenschreibweise und mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention lautet der lineare Zusammenhang

\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}.

Dabei sind die Spannungs- und Verzerrungstensoren Tensoren 2. Stufe und der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe. Im Falle des isotropen Hookeschen Gesetzes lässt sich dies zu

\sigma_{ij} = 2 \mu \varepsilon_{ij} + \lambda \; \mathrm{Spur}(\varepsilon)\delta_{ij}

vereinfachen. Dabei wird \lambda die erste Lamé-Konstante und \mu (der Schubmodul, Einheit \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}) die zweite Lamé-Konstante genannt und \delta_{ij} ist das Kronecker-Symbol. Zu Querdehnzahl (Poissonzahl) \nu und Elastizitätsmodul E besteht der Zusammenhang:

\lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} und
\mu=\frac{E}{2(1+\nu)}.

Siehe im Abschnitt #Zusammenhang zwischen Lamé-Konstanten und elastischen Konstanten für weitere Formeln in Abhängigkeit von den Lamé-Konstanten.

Herleitung[Bearbeiten]

Im Falle eines isotropen, linear elastischen Materials, d.h. der Spannungstensor hängt linear von den Komponenten des Verzerrungstensors ab, kann man ein skalares Potenzial U_0(\varepsilon_{ij}) definieren, das die Energiedichte des Materials in Abhängigkeit von der Verzerrung angibt und durch die Beziehung

\sigma_{ij}=\frac{\partial U_0}{\partial \varepsilon_{ij}}

eine Spannungs-Verzerrungs-Relation definiert. Diese Funktion darf nur von Invarianten des Verzerrungstensors abhängen, da die Wahl des Koordinatensystems nicht die Energiedichte des Beschriebenen Verzerrungzustandes ändern darf. Der Verzerrungstensor ist symmetrisch, daher hat er folgende Invarianten (in der Schreibweise mit Einsteinscher Summenkonvention)

I_1=\varepsilon_{ii},
I_2=\frac{1}{2}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ji},
I_3=\frac{1}{3}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{jk}\varepsilon_{ki}.

Um eine lineare Verzerrungs-Spannungs-Relation zu erhalten, darf das Potenzial nur quadratisch von den Komponenten des Verzerrungstensors abhängen. Daher und aufgrund der Koordinateninvarianz des Potenzials muss es die Form

U_0=C_1I_1^2+C_2I_2

haben, mit beliebigen Konstanten C_1 und C_2. Setzt man diesen Potenzialansatz in die Spannungs-Verzerrungs-Relation ein und führt einige Umformungen durch[1], so ergibt sich die Beziehung

\sigma_{ij}=2C_1\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+C_2\varepsilon_{ij}.

Mit den Definitionen

2C_1=\lambda und
C_2=2\mu

nennt man nun \lambda und \mu erste und zweite Lamé-Konstante. Das Gesetz

\sigma_{ij}=\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}

wird generalisiertes Hookesches Gesetz genannt.

Strömungslehre[Bearbeiten]

In den Navier-Stokes-Gleichungen der Strömungslehre

\rho \frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t}  = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v}+ (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}

ist \lambda die erste Lamé-Konstante und \mu die zweite Lamé-Konstante (die dynamische Viskosität, Einheit \mathrm{N} \cdot \mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}).[2]

Zusammenhang zwischen Lamé-Konstanten und elastischen Konstanten[Bearbeiten]

Größe ist gleich / Abhängig von 1. Lamé-Konstante: \lambda= Schubmodul (2. Lamé-Konstante): \mu= Youngs Elastizitätsmodul: E= Poissonzahl: \nu= Kompressionsmodul: K=
\lambda,\,\mu \lambda \mu \frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu} \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} \frac{3\lambda+2\mu}{3}
\lambda,\,E \lambda (E-3\lambda)+\frac{\sqrt{(E-3\lambda)^2+8\lambda E}}{4} E -(E+\lambda)+\frac{\sqrt{(E+\lambda)^2+8\lambda^2}}{4\lambda} (E+3\lambda)+\frac{\sqrt{(E+3\lambda)^2-4\lambda E}}{6}
\lambda,\,\nu \lambda \frac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu} \frac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} \nu \frac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}
\lambda,\,K \lambda \frac{3(K-\lambda)}{2} \frac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda} \frac{\lambda}{3K-\lambda} K
\mu,\,E \frac{\mu(2\mu-E)}{E-3\mu} \mu E \frac{E-2\mu}{2\mu} \frac{\mu E}{3(3\mu-E)}
\mu,\,\nu \frac{2\mu\nu}{1-2\nu} \mu 2\mu(1+\nu) \nu \frac{2\mu(1+\nu)}{3(1-2\nu)}
\mu,\,K \frac{3K-2\mu}{3} \mu \frac{9K\mu}{3K+\mu} \frac{3K-2\mu}{2(3K+\mu)} K
E,\,\nu \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \frac{E}{2(1+\nu)} E \nu \frac{E}{3(1-2\nu)}
E,\,K \frac{3K(3K-E)}{9K-E} \frac{3KE}{9K-E} E \frac{3K-E}{6K} K
\nu,\,K \frac{3K\nu}{1+\nu} \frac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} 3K(1-2\nu) \nu K

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1439836639, S. 27ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2.  Emmanuil G. Sinaiski: Hydromechanics. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 978-3-527-63378-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).