Kullback-Leibler-Divergenz

Die Begriffe Kullback-Leibler-Divergenz (kurz KL-Divergenz), Kullback-Leibler-Entropie, Kullback-Leibler-Information oder Kullback-Leibler-Abstand (nach Solomon Kullback und Richard Leibler) bezeichnen ein Maß für die Unterschiedlichkeit zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Typischerweise repräsentiert dabei eine der Verteilungen empirische Beobachtungen oder eine präzise Wahrscheinlichkeitsverteilung, während die andere ein Modell oder eine Approximation darstellt.

Hinweis: Die KL-Divergenz wird auch relative Entropie genannt, wobei der Begriff relative Entropie gelegentlich auch für die Transinformation verwendet wird.

Formal lässt sich die KL-Divergenz für die Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P$ und $Q$ diskreter Werte folgendermaßen bestimmen:

$D(P\|Q) = KL(P, Q)= \sum_{x \in X} P(x) \cdot \log {P(x) \over Q(x)}$

Werden die Verteilungen $P$ und $Q$ für kontinuierliche Werte durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $p$ und $q$ dargestellt, wird hingegen ein Integral berechnet:

$D(P\|Q) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x) \cdot \log \frac{p(x)}{q(x)} \; \mathrm dx$

Die Kullback-Leibler-Divergenz gibt aus informationstheoretischer Sicht an, wie viel Platz pro Zeichen im Mittel verschwendet wird, wenn eine auf $Q$ basierende Kodierung auf eine Informationsquelle angewendet wird, die der tatsächlichen Verteilung $P$ folgt. Somit besteht ein Zusammenhang zur Kanalkapazität.

Die konkrete Wahl der Basis des Logarithmus in der Berechnung hängt dabei davon ab, in welcher Informationseinheit gerechnet werden soll. In der Praxis gibt man die KL-Divergenz häufig in Bit bzw. Shannon an und verwendet dafür die Basis 2, seltener werden auch Nit (Basis $e$) und Ban (Basis 10) gebraucht.

Anstatt der Kullback-Leibler-Divergenz wird auch oft die Kreuzentropie verwendet. Diese liefert qualitativ vergleichbare Werte, kann jedoch ohne die genaue Kenntnis von $P$ geschätzt werden. In praktischen Anwendungen ist dies vorteilhaft, da die tatsächliche Hintergrundverteilung der Beobachtungsdaten meist unbekannt ist.

Belege

•  S. Kullback, R. A. Leibler: On information and sufficiency. In: Annals of Mathematical Statistics. 22, Nr. 1, März 1951, S. 79–86.
•  S. Kullback, John Wiley & Sons (Hrsg.): Information theory and statistics. 1959.
• Springer Online Reference Works. eom.springer.de, abgerufen am 31. März 2008 (englisch).