Larmorpräzession

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Präzession des Spins

Unter der Larmorpräzession (nach dem irischen Physiker Joseph Larmor) versteht man die Präzession des Drehimpulses eines Teilchens mit einem magnetischen Dipolmoment um die Richtung eines von außen angelegten Magnetfelds. Sie ist insbesondere durch die Aufspaltung von Spektrallinien im Magnetfeld, den Zeeman-Effekt, beobachtbar.

Die Frequenz der Präzessionsbewegung wird Larmorfrequenz genannt. Sie unterscheidet sich von der Zyklotronfrequenz des Teilchens im entsprechenden Magnetfeld, beim Elektron um (fast genau) einen Faktor 2.

Larmor-Präzession[Bearbeiten]

Präzession (Beispiel des Schweren Kreisels)[Bearbeiten]

Hauptartikel: Präzession

Auf einen Spielzeug-Kreisel, der nicht in seinem Schwerpunkt gelagert ist und dessen Drehachse nicht lotrecht steht, wirkt die Schwerkraft mit einem Drehmoment \vec M, das senkrecht zur Schwerkraft und zur Kreiselachse liegt und daher den Kreisel umfallen lässt, wenn er sich nicht dreht. Bei (nicht zu langsamer) Rotation hingegen verursacht das Drehmoment eine Präzessionsbewegung, die die Kreiselachse und damit den Drehimpulsvektor auf einem Kreis um das Lot herum führt. Der Anstellwinkel zur Lotrechten bleibt dabei konstant, und die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist für alle Anstellwinkel gleich.

Präzession im Magnetfeld[Bearbeiten]

Die Larmorpräzession beruht darauf, dass jedes geladene Teilchen mit Drehimpuls \vec J auch einen magnetischen Dipol \vec \mu darstellt. Das gilt auch für insgesamt neutrale Teilchen (z. B. Neutron, neutrales Atom mit ungerader Elektronenzahl), die aus geladenen Teilchen zusammengesetzt sind, deren magnetische Momente sich nicht zu Null addieren. In einem Magnetfeld \vec B wirkt auf das Teilchen ein Drehmoment \vec M, das den Dipol zur Feldrichtung parallel zu stellen strebt. Es ist \vec M \mathord= \vec \mu\mathord \times \vec B. Größe und Richtung des Dipols werden durch den Drehimpulsvektor gegeben: \vec \mu \mathord= \gamma \vec J . Darin ist das gyromagnetische Verhältnis \gamma eine Konstante, die sich nach der Landé-Formel je nach Teilchenart für jedes Energieniveau berechnen lässt. Aus der Bewegungsgleichung des Kreisels, \dot{ \vec J} \mathord= \vec M, folgt die Präzession mit der Larmorfrequenz  f_\mathrm{Larmor} . Diese ist zu  \gamma und zur Flussdichte  B des Magnetfeldes proportional

 f_\mathrm{Larmor} = \frac{\gamma}{2 \pi} \cdot  B

bzw. als Kreisfrequenz (mit dem Landé-Faktor  g_J , der Ladung  q und der Masse  m des Teilchens)

 \omega_\mathrm{Larmor} = {2 \pi} \cdot f_\mathrm{Larmor} = \gamma \cdot  B  = g_J \, \frac{q}{2 \, m}\cdot  B \ .

Makroskopischer Effekt[Bearbeiten]

Die obige Beschreibung gilt gleichermaßen in der klassischen wie in der Quantenphysik. Hat man z. B. einen Wassertropfen durch ein starkes Magnetfeld etwas magnetisiert, bilden die dabei (teilweise) ausgerichteten magnetischen Momente der Protonen (Atomkerne des Wasserstoffs) zusammen einen schwachen makroskopischen Dipolmagnet, der über denselben gyromagnetischen Faktor mit einem kleinen Gesamtdrehimpuls verbunden ist. Wenn das Magnetfeld genügend rasch durch eines in einer anderen Richtung ersetzt wird, hält dieser Dipolmagnet noch kurze Zeit seine ursprünglichen Ausrichtung bei und vollführt die Larmor-Präzession. Dabei erzeugt er in einer Antennenspule eine leicht beobachtbare induzierte Wechselspannung, deren Frequenz die Larmorfrequenz ist. Die Amplitude der Wechselspannung nimmt in dem Maß ab, wie sich die senkrecht zur Feldrichtung liegende Stärke des rotierenden Dipols verringert, weil sich die makroskopische Magnetisierung an die neue Feldrichtung anpasst (longitudinale Relaxation), und weil die einzelnen Protonen aufgrund kleiner Störungen aus dem Takt geraten (transversale Relaxation). Sowohl die genaue Vermessung der Frequenz als auch die Beobachtung der Relaxation gehören in der Materialforschung zu den wichtigsten Hilfsmitteln bei der Erforschung der Strukturen und Reaktionen. In der Geophysik wird dies Verfahren im Protonenmagnetometer angewandt, um das Magnetfeld der Erde und seine Störungen genau zu vermessen.

Quantenmechanische Beschreibung[Bearbeiten]

Zeeman-Effekt[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zeeman-Effekt

Quantenmechanisch bewirkt das magnetische Moment im Magnetfeld eine Aufspaltung des Energieniveaus mit der Drehimpulsquantenzahl  J in äquidistante Niveaus zu den (2J\mathord+1) verschiedenen möglichen magnetischen Quantenzahlen  m_J . Der Niveauabstand ist immer \Delta E = \hbar \omega_\mathrm{Larmor} (darin ist \hbar das reduzierte Wirkungsquantum). Diese Aufspaltung wurde 1896 an optischen Spektrallinien erstmals beobachtet und war einer der ersten Zugänge zum Studium der Vorgänge in den Atomen und damit zur Entwicklung der Quantenmechanik.

In Formeln: Aus dem o.a. Drehmoment  \vec M ergibt sich, dass das Teilchen im Magnetfeld eine Zusatzenergie

 E_\mathrm{mag} = - \mu \cdot B \cdot \cos\theta \equiv - \mu_z \cdot B  \equiv - \gamma J_z B

hat, wobei  \mu_z die zu  \vec B parallele Komponente des Vektors  \vec \mu ist und die Feldrichtung als z-Achse gewählt wurde. Da zu  J_z die Quantenzahlen  m_J = -J, -(J-1), ...,J gehören (s. Richtungsquantelung), spaltet das Niveau in ebenso viele Zeeman-Niveaus auf. Ihre Energien sind

 E_{m_J} = - \gamma \hbar m_J B \ .

Präzessionsbewegung[Bearbeiten]

An einem einzelnen Zeeman-Zustand kann man nach der Quantenmechanik keine Bewegung ablesen, weder die Rotation um die Kreiselachse noch die Präzession der Kreiselachse um die z-Achse. Als Eigenzustand zu einer Energie E_m ist der Zustand stationär, d.h. mit fortschreitender Zeit ändert sich nicht seine Form, sondern nur die quantenmechanische Phase seines Zustandsvektors mittels des Phasenfaktors e^{-i E_m t/\hbar}. Zustände verschiedener Energie ändern ihre Phase verschieden schnell. Bei den je nach der magnetischen Quantenzahl m aufgespaltenen Zeeman-Zuständen mit Energie E_m = - m \hbar \omega_L ist der Phasenfaktor demnach e^{i\, m\,\omega_L \,t}. Da m \hbar gerade der Eigenwert zur z-Komponente des Drehimpulses des betreffenden Zeeman-Zustands ist, bedeutet dieser Phasenfaktor das gleiche wie eine Drehung um den Winkel \varphi = \omega_L t um die z-Achse. Für einen Zeeman-Zustand allein drückt sich diese Phase bzw. Drehung in keiner beobachtbaren Tatsache aus, nur eben im nach der Quantenmechanik prinzipiell beliebigen Phasenfaktor des zugehörigen Zustandsvektors.

Eine Dreh-Bewegung um die z-Achse kann man nur an einem Zustand beobachten, der zu jedem Moment eine gewisse Richtung quer zur z-Achse in messbarer Weise auszeichnet. Dazu muss er eine Überlagerung mehrerer Zeeman-Zustände sein. Welche Achse senkrecht zur z-Achse ausgezeichnet wird, hängt dann von der relativen Phase seiner Zeeman-Komponenten ab. Z. B. kann ein Teilchen mit Spin \tfrac{1}{2} die Zeeman-Zustände |m\mathord=+\tfrac{1}{2}\rangle und |m\mathord=-\tfrac{1}{2}\rangle haben, und der zur +x-Achse ausgerichtete Zustand ist durch die Überlagerung \left( |\mathord+\tfrac{1}{2}\rangle + |\mathord-\tfrac{1}{2}\rangle \right) gegeben (bis auf einen gemeinsamen Faktor, siehe auch Eigenschaften des Spin). Wenn sich die Phasen beider Komponenten aber aus irgendeinem Grund um 90° auseinander entwickelt haben, heißt der Zustand (bis auf einen gemeinsamen Faktor) \left( |\mathord+\tfrac{1}{2}\rangle + i |\mathord-\tfrac{1}{2}\rangle \right) und hat den Spin nach der +y-Achse hin ausgerichtet. Nach weiteren 90° Phasendifferenz heißt der Zustand \left( |\mathord+\tfrac{1}{2}\rangle - |\mathord-\tfrac{1}{2}\rangle \right) und ist nach -x ausgerichtet, usw.

Da sich mit fortschreitender Zeit die einzelnen Zustandsvektoren gerade so verändern, als ob sie alle um den gleichen Winkel \varphi = \omega_L t um die z-Achse gedreht worden wären, beschreibt dieselbe Überlagerung nun einen Zustand, der wirklich diese Drehung ausgeführt hat. Zeigte er am Anfang eine Polarisation, die nicht parallel zur z-Achse lag, dann zeigt er später dieselbe Form und Stärke der Polarisation, aber in einer entsprechend gedrehten Richtung.

Mit anderen Worten: Das beschriebene System rotiert ganz mit der Winkelgeschwindigkeit \omega_L, in völliger Übereinstimmung mit der Anschauung. Hier wird deutlich, dass die Energieaufspaltung der Drehimpulseigenzustände wie im Zeeman-Effekt eine so einfache räumliche Veranschaulichung erlaubt, weil sie äquidistant ist. Eine Aufspaltung proportional zum Quadrat der magnetischen Quantenzahl, wie z. B. durch die Wechselwirkung des elektrischen Quadrupolmoments mit einem inhomogenen elektrischen Feld, lässt sich so nicht interpretieren.

Magnetische Resonanz[Bearbeiten]

Durch Einstrahlen eines magnetischen Wechselfelds werden Übergänge zwischen den im Zeeman-Effekt aufgespaltenen Niveaus angeregt, wenn die Frequenz des Wechselfelds mit der Larmorfrequenz übereinstimmt (Resonanz). Mit Variieren der Frequenz entsteht ein Absorptionsspektrum mit einer sichtbaren Absorptionslinie. Diese Methode heißt je nach beobachtetem Objekt Elektronenspinresonanz oder Kernspinresonanz und erlaubt Messungen extremer Genauigkeit. Z. B. wird bei der Kernspinresonanz der Einfluss der chemischen Bindung des Atoms und seiner weiteren Umgebung messbar, weil er das am Kern wirkende Magnetfeld um Millionstelbruchteile verändert (chemische Verschiebung).

Auch diese Absorption von Energie kann makroskopisch verstanden werden, denn ein linear polarisiertes Wechselfeld enthält einen zirkular polarisierten Anteil, der bei der richtigen Frequenz auf den präzedierenden Dipol ein (in seinem Ruhesystem) konstantes Moment ausübt. Hat es die Richtung, "als ob es die Präzession beschleunigen wollte", wird dem Kreisel dabei Energie zugeführt. Die kann er aber nicht in Gestalt einer schnelleren Präzession speichern, sondern muss (bei gleichbleibender Larmorfrequenz) mit Vergrößerung des Einstellwinkels weg vom konstanten Feld \vec B reagieren. An einem großen Spielzeugkreisel, der im Schwerefeld präzediert, kann man dieses Verhalten direkt beobachten, wenn man mit dem Finger versucht, die Präzession zu beschleunigen (oder zu verlangsamen).

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • 13C-NMR-Spektroskopie, H.-O. Kalinowski, S. Berger, S. Braun; Georg Thieme Verlag
  • 13C-NMR-Spektroskopie, E. Breitmaier, G. Braun; Georg Thieme Verlag (ein Übungsbuch)