Präzession

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Präzession eines rotierenden Kreisels

Die Präzession ist allgemein die Richtungsänderung der Achse eines rotierenden Körpers, wenn äußere Kräfte ein Drehmoment auf ihn ausüben. Speziell in der Astronomie ist damit die Richtungsänderung der Erdachse gemeint, die eine Folge der Massenanziehung des Mondes und der Sonne in Verbindung mit der Abweichung der Erdfigur von der Kugelform ist.

Grundlagen[Bearbeiten]

Präzession bei Störung

Die Trägheit der rotierenden Kreiselmasse bewirkt bei „Störungen“ durch Krafteinwirkung F1 an der Kreiselachse eine Ausweichbewegung, als wirke am Angriffspunkt der Störkraft eine um 90° in Rotationsrichtung „weitergedrehte“ Kraft F2 (tangential zur Drehbewegung). Vorsicht: Die Betrachtungen hier und im Folgenden sind nur für „schnell rotierende“ Kreisel richtig; im Allgemeinen muss mit den Eulerschen Gleichungen gerechnet werden.

Demonstration der Kreiselgesetze[Bearbeiten]

Die Präzession ist neben der Stabilität der freien Kreiselachse das zweite der – technisch vielfach nutzbaren – grundlegenden Kreiselgesetze; sie lässt sich bei jedem Spielzeugkreisel beobachten, kann aber bei anspruchsvollerer Konstruktion auch in ihrer Richtungsumkehr zwischen „hängendem“ und „stehendem“ Kreisel demonstriert werden.

Setzt man einen Kreisel schräg auf, würde er infolge der Schwerkraft umkippen, wenn er nicht rotierte. Dieses „Kippmoment“ (analog F1) bewirkt bei einem rotierenden Kreisel, dass seine Drehachse aufgrund der Ausweichbewegung (durch F2) eine Bewegung ausführt, die Präzession.

Liegt die Drehachse des Kreisels insbesondere horizontal und ist der Kreisel auf der Drehachse, jedoch nicht im Schwerpunkt, gestützt, so präzediert die gesamte Anordnung um den Stützpunkt des Kreisels.

Technische Anwendungen der Präzession sind der Wendezeiger und die Unterstützung der Lenkung beim Fahrrad und beim Motorrad. Auch beim Gyrotwister kann man diesen Effekt deutlich spüren.

Das Beispiel Speichenrad[Bearbeiten]

Skizze zur Präzession des Speichenrades

Die Präzession zeigt sich zum Beispiel auch, wenn man ein ausgebautes, schnell rotierendes Rad eines Fahrrades zunächst an beiden Enden der Radachse in den Händen hält und dann eine Seite loslässt. Anders als ein stehendes Rad kippt das rotierende Rad nicht nach unten, sondern die Achse rotiert langsam zur Seite. Der Grund für die Präzession ist, dass die Gravitation ein Drehmoment auf das Rad ausübt.

Entsprechend der Skizze habe ein sich drehendes Speichenrad den Drehimpuls \vec L, also bei geeigneter Wahl der Koordinatenachsen

\vec L=\begin{pmatrix}0\\ 1\\0\end{pmatrix}.

Die Gravitationskraft greift am Schwerpunkt des Rades in der Mitte der Achse an, während die Achse nur an einer Seite im Ursprung O unterstützt wird. Dieser Stützpunkt ist vom Schwerpunkt um den Abstand d entfernt. Daher wirkt hier das Drehmoment

\vec D=\vec d\times\vec F_G=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}

mit d=1 und der nach unten gerichteten Gewichtskraft auf das Rad F_G=1.

D zeigt also in diesem Fall nach hinten. Da der Drehmomentvektor die zeitliche Ableitung des Drehimpulsvektors ist, \vec D=\dot{\vec L}, ergibt sich \vec L^\prime=\vec L+\vec D\,dt, wie in der Skizze eingetragen. Der Drehimpulsvektor \vec L, dessen Richtung durch die Lagerung des Rades mit der Achsrichtung \vec d des rotierenden Rades übereinstimmt, erfährt also eine Ablenkung in eine Richtung, die in der x-y-Ebene und rechtwinklig zum Drehimpulsvektor selbst liegt. Da dies fortwährend geschieht, beschreibt damit die Achse, um die das Rad rotiert, eine Kreisbewegung in der waagerechten x-y-Ebene.

Im Sonderfall, wenn der Drehimpulsvektor \vec L zum Anfangszeitpunkt der Nullvektor ist, das Rad also nicht rotiert, wird ein kleines Zeitintervall später \vec L^\prime=\vec D\,dt. Es kommt also zu einer Drehung des Rades um eine waagerechte Achse in der Richtung des Vektors \vec D: Das Rad kippt in diesem Sonderfall wie erwartet nach unten.

Präzessionsperiode und Präzessionsfrequenz[Bearbeiten]

Die Präzessionsperiode wird bestimmt durch:

T_p = \frac{4\pi^2I_s}{MT_s}

Hierbei ist Is das Trägheitsmoment, Ts die Rotationsperiode und M das Drehmoment. Es handelt sich hierbei um eine Näherungsformel, die gilt, wenn T_s \ll T_p ist.

Die Präzessionsfrequenz ist der Rotationsfrequenz (Drehzahl) umgekehrt proportional: Je schneller der Körper rotiert, desto weniger schnell taumelt er. Die resultierende Winkeländerung pro Zeit wird bei der Rotation der Erde als Präzessionskonstante bezeichnet.

Präzession der Erdachse[Bearbeiten]

Prinzip und Beschreibung[Bearbeiten]

Präzessionsbewegung (P) der Erdachse (R) mit (stark überzeichneter) Nutation N

Die Erde hat keine exakte Kugelform, sondern durch die Abplattung des Erdellipsoids von 1:298,25 einen zusätzlichen „Äquatorwulst“ (engl. equatorial bulge) von 21 km. Dadurch bewirken die Gezeitenkräfte von Mond und Sonne ein Drehmoment, welches die Erdachse aufzurichten versucht und zur Präzession der Erdachse führt (auch als Lunisolare Präzession bezeichnet, in der Zeichnung mit P markiert). Die Erdachse beschreibt dadurch einen kegelartigen Umlauf um eine Achse, die rechtwinklig auf der Ekliptikebene steht. Der (nahezu) konstante Winkel zwischen der Erdachse und der Achse des Kegels ist die Schiefe der Ekliptik; er beträgt etwa 23,44°. Für einen vollen Kegelumlauf benötigt die Erdachse um die 25.700–25.800 Jahre. Dieser Zeitraum wird Zyklus der Präzession (auch Platonisches Jahr) genannt und durch die Präzessionskonstante beschrieben.

Auch die Ebene der Mondbahn, die gegenüber der Ekliptik um rund 5° geneigt ist, weist eine Präzessionsbewegung mit einer Periodenlänge von 18,6 Jahren auf; d.h. ihr Normalenvektor beschreibt einen Kegelumlauf mit dieser Umlaufdauer um den Normalenvektor der Ekliptik. Die dadurch verursachte Änderung des Drehmoments hat ebenfalls eine Auswirkung auf die Richtungsänderung der Erdachse: Dem kegelförmigen Präzessionsumlauf überlagert sich eine periodische Abweichung mit einer Amplitude von 9,2" und einer Periode von 18,6 Jahren. Diese nickende Bewegung der Erdachse heißt Nutation. In der Zeichnung ist sie mit N bezeichnet. Daneben gibt es noch weitere Nutationsanteile mit kürzeren Perioden und Amplituden unter 1". (Der hier verwendete astronomische Begriff der Nutation ist nicht identisch mit dem in der Mechanik verwendeten Begriff der Nutation in der Kreiseltheorie.)

Auswirkungen[Bearbeiten]

Zusammen mit dem Kegelumlauf der Erdachse dreht sich auch die zur Erdachse rechtwinklig liegende Ebene, der Äquator. Dabei dreht sich die zum Frühlingspunkt gerichtete Gerade, in der sich der Äquator mit der Ekliptik unter dem Winkel von 23,44° schneidet, auf der Ekliptik mit einer Umlaufdauer von ebenfalls rund 25.800 Jahren im Uhrzeigersinn (bei Betrachtung aus der Richtung des nördlichen Poles). Seine Winkelgeschwindigkeit von 360° in 25.800 Jahren oder rund 50" pro Jahr ist die Präzessionskonstante. Der Frühlingspunkt ist eine Bezugsachse sowohl des äquatorialen als auch des ekliptikalen Koordinatensystems, deren räumliche Orientierungen sich somit infolge der Präzession allmählich ändern. Damit ändern sich auch die auf das äquatoriale System bezogenen Koordinaten der Fixsterne. Dieser Effekt ist schon seit über zweitausend Jahren bekannt. Der griechische Astronom Hipparchos verglich etwa um 150 v. Chr. die Sternörter seines neu gemessenen Kataloges mit den Daten aus mehrere hundert Jahre alten Aufzeichnungen und stellte Unterschiede fest. Die Babylonier dürften das Phänomen der Präzession aber schon etwa 170 Jahre früher entdeckt haben. Jedoch erst im 16. Jahrhundert hat Nikolaus Kopernikus die Neigung der Erdachse und ihre Bewegung als Ursache für die Verschiebung des Frühlingspunkts erkannt.[1]

Die Präzession der Erdachse wirkt sich auch auf die Definition eines Jahres aus. Allgemein versteht man unter einem Jahr den Zeitraum, in dem die in der Ekliptik umlaufende Gerade von der Sonne zur Erde (oder von der Erde zur Sonne) ihre Richtung um 360° (gegen den Uhrzeigersinn, bei Betrachtung aus der Richtung des nördlichen Poles) ändert. Beim siderischen Jahr wird diese Richtungsänderung auf eine Bezugsachse bezogen, die sich nicht entlang der Ekliptik bewegt. Beim tropischen Jahr ist die Bezugsachse dagegen der Frühlingspunkt. Da der Frühlingspunkt selbst sich aufgrund der Präzession der Erdachse mit einer Winkelgeschwindigkeit von 50" pro Jahr im Uhrzeigersinn auf der Ekliptik verlagert, ist die resultierende Winkelgeschwindigkeit der Geraden von der Erde zur Sonne relativ zum Frühlingspunkt etwas größer und damit ein tropisches Jahr etwas kürzer als ein siderisches Jahr. Weil der Frühlingspunkt innerhalb von 25.800 Jahren einen Umlauf von 360° ausführt, ist in diesem Zeitraum die Anzahl der Umläufe der Geraden von der Erde zur Sonne relativ zum Frühlingspunkt um 1 größer als relativ zu einer festen Bezugsachse. Die Differenz zwischen einem tropischen und einem siderischen Jahr summiert sich also in 25.800 Jahren zu einem ganzen Jahr; folglich ist ein tropisches Jahr um ein 25800stel Jahr ≈ 20 Minuten kürzer als ein siderisches Jahr. Für die Jahreszeiten auf der Erde ist nicht die Richtung der Sonne in Bezug auf ein absolut festliegendes Koordinatensystem, sondern in Bezug auf das äquatoriale Koordinatensystem maßgeblich, dessen 3. Achse die präzedierende Erdachse ist; so ist etwa der Frühlingsanfang immer dann, wenn die Sonne in der Richtung des Frühlingspunktes steht, ungeachtet dessen, dass dieser sich langsam bewegt. Deshalb ist das Kalenderjahr durch die geltende Schaltjahrsregelung so festgelegt, dass es sich im langfristigen Mittel gut an das tropische Jahr anpasst.

Gegenwärtig zeigt die Erdachse recht genau in Richtung des Polarsterns, so dass alle Fixsterne scheinbar eine Kreisbahn um ihn beschreiben. Als Folge der Präzession liegt der Himmelspol aber nicht fest beim Polarstern, sondern er wandert auf einem Kreis mit einem Radius von 23,5° (Schiefe der Ekliptik) um den Ekliptikpol. In 12.000 Jahren wird er sich bei der Wega im Sternbild Leier befinden, dem zweithellsten nördlichen Stern, und das Sternbild „Großer Hund“ beispielsweise wird von Mitteleuropa aus nicht mehr sichtbar sein, vom Sternbild Orion nur noch die sogenannten Schultersterne.

Im Rahmen der Milanković-Zyklen gibt es einen Einfluss der Präzession auf die Eiszeiten, über dessen Ausmaß aber noch Unklarheit herrscht.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Nicolaus Copernicus: De revolutionibus orbium coelestium, 3. Buch, Kapitel 1

Weblinks[Bearbeiten]