Laurent-Polynom

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Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition[Bearbeiten]

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring R ist ein Ausdruck der Form

 p(X) = \sum_{k\in \Z} a_k X^k, \quad a_k\in R,

bei dem nur endlich viele Ringelemente a_k von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome[Bearbeiten]

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: {}\quad\quad \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, + \, \sum_{i\in\Z} b_iX^i = \sum_{i\in\Z} (a_i+b_i)X^i,

Multiplikation: \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, \cdot \, \sum_{j\in\Z} b_jX^j = \sum_{k\in\Z} \left(\sum_{i,j: i + j = k} a_i b_j\right)X^k.

Diese Operationen machen die Menge R[X,X^{-1}] zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über R. Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen a \in R in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: a \cdot \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, = \, \sum_{i\in\Z} (a a_i)\,X^i.

In vielen Anwendungen ist R ein Körper, R[X,X^{-1}] ist dann eine R-Algebra.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Man erhält R[X,X^{-1}] aus dem Polynomring R[X], indem man die Unbestimmte X invertiert. Der Laurent-Ring über R ist damit die Lokalisierung von R[X] nach der von den positiven Potenzen von X erzeugten Halbgruppe.
  • Die Einheiten von R[X,X^{-1}] sind von der Form aX^i, wobei a\in R eine Einheit und i\in \Z ist.
  • Der Laurent-Ring über R ist isomorph zum Gruppenring von \Z über R.

Derivationen des Laurent-Rings[Bearbeiten]

Es sei R ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf R[X,X^{-1}] eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

\frac{\partial}{\partial X}:\, \sum_{i\in\Z} a_iX^i \mapsto \sum_{i\in\Z} i\cdot a_iX^{i-1}

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes p(X)\in R[X,X^{-1}] durch die Definition \textstyle T_{p(X)}:=p(X)\frac{\partial}{\partial X} eine Derivation gegeben und man kann beweisen, dass dies die allgemeinste Derivation auf R[X,X^{-1}] ist. (Ist T eine solche Derivation, so ist p(X):=T(1\cdot X) \in R[X,X^{-1}] und man kann T=T_{p(X)} zeigen.)

Die Derivationen \textstyle d_n := T_{-X^{n+1}} = -X^{n+1}\frac{\partial}{\partial X},\, n\in\Z, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

  •  [d_m,d_n] \,=\, (m-n)d_{m+n} für alle m,n\in \Z.

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

  • d_0(X^n) = -n\cdot X^n für alle n\in \Z.

Daher nennt man -d_0\, auch die Grad-Derivation.

Quellen[Bearbeiten]

Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5