Cauchy-Verteilung

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Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt: \gamma im Bild entspricht s in der nebenstehenden Gleichung und x_0 entspricht t.

Die Cauchy-Lorentz-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy und Hendrik Antoon Lorentz) ist eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Während die Verteilung in der Stochastik als Cauchy-Verteilung bezeichnet wird, ist sie in der Physik als Lorentz-Verteilung bzw. Lorentz-Kurve oder Lorentz-Linie (z. B. in der Spektroskopie zur Beschreibung der Gestalt von Spektrallinien) oder als Breit-Wigner-Verteilung (z. B. zur Beschreibung von Resonanzkurven) bekannt.

Definition[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte

 f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}

mit s>0 und -\infty<t<\infty besitzt.

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

F(x) = P(X < x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right).

Mit dem Zentrum t=0 und dem Breitenparameter s=1 ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad

f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung gilt als Prototyp einer Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind. Dementsprechend besitzt sie auch keine Momente oder momenterzeugende Funktion.

Median, Modus[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei t und den Modus ebenfalls bei t.

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie beträgt \log(4\,\pi\, s).

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist y \mapsto \exp(ity - s|y|).

Reproduktivität[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert (X_1+X_2+\dotsb +X_n)/n aus n Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.

Invarianz gegenüber Faltung[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite \Gamma_{a} und einem Maximum bei t_a mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite \Gamma_{b} und einem Maximum bei t_b ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite \Gamma_{c} = \Gamma_{a} + \Gamma_{b} und einem Maximum bei t_c = t_a + t_b.

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur Lévy-Verteilung[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Lévy-Verteilung mit dem Exponentenparameter \alpha=1.

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten]

Der Quotient aus zwei unabhängigen Standard-normalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zu Studentschen t-Verteilung[Bearbeiten]

Für n=1 und mit \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Studentschen t-Verteilung.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten]

Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 % größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,326, so beträgt bei einer Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Zufallszahlen[Bearbeiten]

Zur Erzeugung cauchyverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion F(x) lautet hierbei F^{-1}(y) = -\cot(\pi y) (siehe Kotangens). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen u_i lässt sich daher durch x_i := -\cot ( \pi u_i ), oder wegen der Symmetrie auch durch x_i := \cot ( \pi u_i ), eine Folge Standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.

Literatur[Bearbeiten]

  •  William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 1. 3. Auflage. Wiley & Sons, 1968, ISBN 0471257087.
  •  William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 2. 2. Auflage. John Wiley & Sons, 1991, ISBN 0471257095.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Cauchy-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien