Cauchy-Verteilung

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Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt: \gamma im Bild entspricht s in der nebenstehenden Gleichung und x_0 entspricht t.

Die Cauchy-Lorentz-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy und Hendrik Antoon Lorentz) ist eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Während die Verteilung in der Stochastik als Cauchy-Verteilung bezeichnet wird, ist sie in der Physik als Lorentz-Verteilung bzw. Lorentz-Kurve oder Lorentz-Linie (z. B. in der Spektroskopie zur Beschreibung der Gestalt von Spektrallinien) oder als Breit-Wigner-Verteilung (z. B. zur Beschreibung von Resonanzkurven) bekannt.

Definition[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte

 f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}

mit s>0 und -\infty<t<\infty besitzt.

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

F(x) = P(X < x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right).

Mit dem Zentrum t=0 und dem Breitenparameter s=1 ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad

f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung ist eine Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind. Dementsprechend besitzt sie auch keine Momente oder momenterzeugende Funktion.

Median, Modus[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei t und den Modus ebenfalls bei t.

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie beträgt \log(4\,\pi\, s).

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist y \mapsto \exp(ity - s|y|).

Reproduktivität[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert (X_1+X_2+\dotsb +X_n)/n aus n Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.

Invarianz gegenüber Faltung[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite \Gamma_{a} und einem Maximum bei t_a mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite \Gamma_{b} und einem Maximum bei t_b ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite \Gamma_{c} = \Gamma_{a} + \Gamma_{b} und einem Maximum bei t_c = t_a + t_b.

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zu stetigen Gleichverteilung[Bearbeiten]

Ist U auf dem Intervall (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}) stetig gleichverteilt, dann ist X = \tan(U) standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten]

Der Quotient aus zwei unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zu studentschen t-Verteilung[Bearbeiten]

Die Standard-Cauchy-Verteilung ist der Spezialfall der studentschen t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.

Beziehung zur Lévy-Verteilung[Bearbeiten]

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Lévy-Verteilung mit dem Exponentenparameter \alpha=1.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten]

Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 % größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,326, so beträgt bei einer Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Zufallszahlen[Bearbeiten]

Zur Erzeugung cauchyverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion F(x) lautet hierbei F^{-1}(y) = -\cot(\pi y) (siehe Kotangens). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen u_i lässt sich daher durch x_i := -\cot ( \pi u_i ), oder wegen der Symmetrie auch durch x_i := \cot ( \pi u_i ), eine Folge Standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.

Literatur[Bearbeiten]

  •  William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 1. 3. Auflage. Wiley & Sons, 1968, ISBN 0471257087.
  •  William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 2. 2. Auflage. John Wiley & Sons, 1991, ISBN 0471257095.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Cauchy-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien