Bajčičák startete erstmals im Dezember 1995 in Brusson über 15 km Freistil im Weltcup. Seine ersten Weltcuppunkte erreichte er im Januar 1997 über 10 km klassisch in Hakubo mit Platz 30, die erste Top-10-Platzierung gelang ihm mit Rang 7 im Januar 2001 über 15 km klassisch in Soldier Hollow. Seinen einzigen Weltcup gewann Bajčičák im Februar 2005 in Reit im Winkl über 15 km Freistil, dazu erreichte er im März desselben Jahres beim Skiathlon in Falun mit Rang 3 ein weiteres Weltcuppodium. Im Januar 2008 wurde er zudem Dritter einer Verfolgungs-Etappe der Tour de Ski. Insgesamt viermal platzierte er sich zudem beim 50-km-Rennen am Holmenkollen in Oslo unter den besten Zehn; sein bestes Ergebnis dort war Platz vier im März 2005.
Seine besten Ergebnisse bei Weltmeisterschaften, bei denen Bajčičák seit 1999 durchgängig teilnahm, waren Platz vier im Skiathlon in Oberstdorf 2005 und Rang sechs im 50-km-Massenstartrennen in der klassischen Technik in Sapporo 2007.
Bajčičák startete zudem für die Slowakei bei den Olympischen Winterspielen in Nagano, Salt Lake City, Turin, Vancouver und Sotschi. Seine besten Platzierungen erreichte er dabei mit Platz sechs im Skiathlon 2006 und jeweils Rang zwölf über 50 km klassisch in Salt Lake City und mit der slowakischen Staffel in Vancouver.
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